自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(經(jīng)管類)自學資料

1/76自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類）自學資料第一章隨機事件與隨機事件的概率1.1隨機事件例一，擲兩次硬幣，其可能結果有：｛上上；上下；下上；下下｝則出現(xiàn)兩次面向相同的事件A與兩次面向不同的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的。引例二，擲一次骰子，其可能結果的點數(shù)有：｛1，2，3，4，5，6｝則出現(xiàn)偶數(shù)點的事件A，點數(shù)≤4的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件。從引例一與引例二可見，有些事件在一次試驗中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，即它沒有確定性結果，這樣的事件，我們叫隨機事件。（一）隨機事件：在一次試驗中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件，叫隨機事件，習慣用A、B、C表示隨機事件。由于本課程只討論隨機事件，因此今后我們將隨機事件簡稱事件。雖然我們不研究在一次試驗中，一定會出現(xiàn)的事件或者一定不出現(xiàn)的事件，但是有時在演示過程中要利用它，所以我們也介紹這兩種事件。必然事件：在一次試驗中，一定出現(xiàn)的事件，叫必然事件，習慣用Ω表示必然事件。例如，擲一次骰子，點數(shù)≤6的事件一定出現(xiàn)，它是必然事件。不可能事件：在一次試驗中，一定不出現(xiàn)的事件叫不可能事件，而習慣用φ表示不可能事件。例如，擲一次骰子，點數(shù)>6的事件一定不出現(xiàn)，它是不可能事件。（二）基本（隨機）事件隨機試驗的每一個可能出現(xiàn)的結果，叫基本隨機事件，簡稱基本事件，也叫樣本點，習慣用ω表示基本事件。例如，擲一次骰子，點數(shù)1,2,3,4,5,6分別是基本事件，或叫樣本點。全部基本事件叫基本事件組或叫樣本空間，記作Ω，當然Ω是必然事件。（三）隨機事件的關系（1）事件的包含：若事件A發(fā)生則必然導致事件B發(fā)生，就說事件B包含事件A，記作。例如，擲一次骰子，A表示擲出的點數(shù)≤2，B表示擲出的點數(shù)≤3。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。所以A發(fā)生則必然導致B發(fā)生。顯然有（2）事件的相等：若，且就記A=B，即A與B相等，事件A等于事件B，表示A與B實際上是同一事件。（四）事件的運算（1）和事件：事件A與事件B中至少有一個發(fā)生的事件叫事件A與事件B的和事件，記作：或A+B（2）積事件：事件A與事件B都發(fā)生的事件叫事件A與事件B的積事件，記作：AB或A∩B（3）差事件：事件A發(fā)生而且事件B不發(fā)生的事件叫事件A與事件B的差事件，記作（A-B）（4）互不相容事件：若事件A與事件B不能都發(fā)生，就說事件A與事件B互不相容（或互斥）即AB=Φ

（5）對立事件：事件A不發(fā)生的事件叫事件A的對立事件。記作例如在考試中A表示考試成績?yōu)閮?yōu)，B表示考試不及格。A與B互不相容，但不對立。下面圖1.1至圖1.6用圖形直觀的表示事件的關系和運算，其中正方形表示必然事件或樣本空間Ω。圖1.1表示事件事件A圖1.2陰影部分表示A+B圖1.3陰影部分表示AB圖1.4陰影部分表示A-B圖1.5表示A與B互不相容圖1.6陰影部分表示事件的運算有下面的規(guī)律：

（1）A+B=B+A，AB=BA叫交換律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫結合律（AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律（4）叫對偶律例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的運算表示以下事件。（1）A，B，C三事件中，僅事件A發(fā)生（2）A，B，C三事件都發(fā)生A，B，C三事件都不發(fā)生（4）A，B，C三事件不全發(fā)生（5）A，B，C三事件只有一個發(fā)生（6）A，B，C三事件中至少有一個發(fā)生解：（1）（2）ABC（3）（4）（5）（6）A+B+C例2.某射手射擊目標三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，請用A1、A2、A3的運算來表示B0、B1、B2、B3解：（1）（2）（3）（4）1.2隨機事件的概率（一）頻率：（1）在相同條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生了nA次，則事件A發(fā)生的次數(shù)nA叫事件A發(fā)生的頻數(shù)。（2）比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記作fn（A），即歷史上有不少人做過拋硬幣試驗，其結果見下表，用A表示出現(xiàn)正面的事件：試驗人nnAfn（A）摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016從上表可見，當試驗次數(shù)n大量增加時，事件A發(fā)生的頻率fn（A）會穩(wěn)定某一常數(shù)，我們稱這一常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值。例如從上表可見拋硬幣試驗，正面出現(xiàn)的事件A的頻率fn（A）的穩(wěn)定值大約是0.5。（二）概率：事件A出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值叫事件A發(fā)生的概率，記作P（A）實際上，用上述定義去求事件A發(fā)生的概率是很困難的，因為求A發(fā)生的頻率fn（A）的穩(wěn)定值要做大量試驗，它的優(yōu)點是經(jīng)過多次的試驗后，給人們提供猜想事件A發(fā)生的概率的近似值。粗略地說，我們可以認為事件A發(fā)生的概率P（A）就是事件A發(fā)生的可能性的大小，這種說法不準確，但人們?nèi)菀桌斫夂徒邮?，便于應用。下面我們不加證明地介紹事件A的概率P（A）有下列性質(zhì)：（1）0≤P（A）≤1（2）P（Ω）=1，P（Φ）=0（3）若A與B互斥，即AB=Φ，則有P（A+B）=P（A）+P（B）若A1，A2，……，An互斥，則有（三）古典概型：若我們所進行的隨機試驗有下面兩個特點：（1）試驗只有有限個不同的結果；（2）每一個結果出現(xiàn)的可能性相等，則這種試驗模型叫古典概型。例如，擲一次骰子，它的可能結果只有6個，假設骰子是均勻的，則每一種結果出現(xiàn)的可能性都是1/6，所以相等，這種試驗是古典概型。下面介紹古典概型事件的概率的計算公式：設是古典概型的樣本空間，其中樣本點總數(shù)為n，A為隨機事件，其中所含的樣本點數(shù)為r則有公式：例1，擲一次骰子，求點數(shù)為奇數(shù)點的事件A的概率。解：樣本空間為Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝∴n=6,r=3由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的計算公式只需知道樣本空間中的樣本點的總數(shù)n和事件A包含的樣本點的個數(shù)r就足夠，而不必一一列舉樣本空間的樣本點，因此，當樣本空間的樣本點總數(shù)比較多或難于一一列舉的時候，也可以用分析的方法求出n與r的數(shù)值即可。例2，從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)碼中，取出三個不同的數(shù)碼，求所取3個數(shù)碼不含0和5的事件A的概率。解：從10個不同數(shù)碼中，任取3個的結果與順序無關，所以基本事件總數(shù)A事件中不能有0和5，所以只能從其余8個數(shù)碼中任取3個，所以A中的基本事件例3，從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字中任取一個，放回后再取一個，求所取兩個數(shù)字不同的事件A的概率。解：（1）第一次取一個數(shù)字的方法有9種；第二次取一個數(shù)字的方法與第一次相同也是9種；由乘法原則，知兩次所取的數(shù)字方法有9×9=92（種）每一種取法是一個基本事件，所以n=92（2）所取兩個數(shù)字不同時，相當于從中任取兩個數(shù)，其結果與順序有關，所取取法有：也可按（1）的乘法原則求r，第一次的取法有9種，第二次的數(shù)字與第1次不同，所以只有8種，所以取法共有9×8（種）∴r=9×8（四）概率的加法公式請先看下面引例：擲一次骰子，A=｛1，3，5｝，B=｛1，2，3｝請求：（1）P（A）；（2）P（B）；（3）P（A+B）；（4）P（AB）解：（1）（2）（3）（4）由本例看出，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），本例的結果具有普遍性，下面我們不加證明地介紹下面公式：特別情形：

（1）如果A與B互斥，即AB=Φ則P（AB）=0這時（2）因為A與有性質(zhì)所以當上面等式中左邊的概率P（A）不易求得，而且A的對立事件的概率則較易計算時，便可以通過容易計算的求難計算的概率P（A）。例1若P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求P（B）解：因為P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）∴P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A）=0.8+0.3-0.5=0.6例2，袋中有10件產(chǎn)品，其中有6件正品，4件次品，從只任取3件，求所取3件中有次品的事件A的概率。解：A表示有次品，它包含有1件次品，有2件次品，有3件次品三類事件，計算比較復雜。而對立事件則表示沒有次品，即都是正品的事件，比較簡單。因為基本事件總數(shù)事件包含的基本事件加法公式可推廣如下：（五）概率的減法公式

因為，而，而BA與明顯不相容。特別地，若，則有AB=A所以當例1，已知P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求解：1.3條件概率（一）條件概率和乘法公式符號叫在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，叫條件概率，需要指出的是條件概率仍是事件A的概率，但是它有條件，條件是以B已經(jīng)發(fā)生為前提，或者是以B已經(jīng)發(fā)生為條件。

例1，某廠有200名職工，男、女各占一半，男職工中有10人是優(yōu)秀職工，女職工中有20人是優(yōu)秀職工，從中任選一名職工。用A表示所選職工優(yōu)秀，B表示所選職工是男職工。求（1）P（A）；（2）P（B）；（3）P（AB）；（4）；解：（1）（2）（3）AB表示所選職工既是優(yōu)秀職工又是男職工（4）表示已知所選職工是男職工。在已知所選職工是男職工的條件下，該職工是優(yōu)秀職工，這時n=100,r=10

由本例可以看出事件A與事件不是同一事件,所以它們的概率不同,即由本例還可看出,事件AB與事件也不相同，事件AB表示所選職工既是男職工又是優(yōu)秀職工，這時基本事件總數(shù)n1=200，r=10。而事件則表示已知所選職工是男職工，所以基本事件總數(shù)n2=100，r=10，所以雖然P（AB）與不相同，但它們有關系，由本例可以看出本例的結果具有普遍性。下面我們不加證明地給出下面的乘法公式：顯然有：若P（A）>0則有將上面的結果改寫為整式有

∴公式叫概率的乘法公式。乘法公式可以推廣為：（二）全概公式

定義：若事件組滿足條件（1）互不相容（2）在一次試驗中，事件組中至少發(fā)生一個，即就說事件組是樣本空間Ω的一個劃分。例如事件組A與有所以事件組是樣本空間的一個劃分。例如某產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠分別生產(chǎn)，A1表示該產(chǎn)品由甲廠生產(chǎn)，A2表示該產(chǎn)品由乙廠生產(chǎn)，A3表示該產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)，則事件組A1，A2，A3滿足：（1）（2）所以事件組A1，A2，A3是樣本空間的一個劃分。下面介紹全概公式

設是樣本空間Ω的一個劃分，B是一個事件，則有：證：∵又∵ΩB=B∵互不相容∴也互不相容∴用乘法公式上式可改寫為特別地（1）若是Ω的一個劃分，則有（2）∵是Ω的一個劃分，所以全概公式的優(yōu)點是當P（B）不易求而且條件概率容易計算時，可用全概公式求P（B）例1，袋中有5個球，其中有3個紅球，2個白球，從中每次取出一個球（不放回）用A表示第一次取到紅球，B表示第二次取到紅球，求（1）P（A）；（2）P（B）解：（1）用古典概型n=5,r=3（2）直接求P（B）很困難，因為B發(fā)生的概率與事件A發(fā)生與之有關，用古典概型容易求得：所以可用全概公式計算可見第一次，第二次取到紅球的概率相同。例2，已知男人中有5%是色盲，女人中有1%是色盲，若人群中男女各半。當在人群中任取一人，問該人是色盲的概率是多少？解：用B表示該人是色盲者，A表示該人是男人.直接求P（B）比較困難，原因在于該人是色盲的概率與該人的性別有關，但已知（三）逆概公式（貝葉斯公式）由可得公式叫逆概公式（貝葉斯公式）當P（A）,P（B），已知時，可反過來求。例1，某地七月份下暴雨的概率為0.7，當下暴雨時，有水災的概率為0.2；當不下暴雨時，有水災的概率為0.05，求：（1）該地七月份有水災的概率.（2）當該地七月份已發(fā)生水災時，下暴雨的概率.解：用B表示該地七月有水災；A表示該地七月下暴雨已知（1）（2）例2，某種產(chǎn)品分別由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)，甲廠產(chǎn)量占50%，次品率為0.01，乙廠產(chǎn)量占30%，次品率為0.02，丙廠產(chǎn)量占20%，次品率為0.05，求：（1）該產(chǎn)品的次品率（2）若任取一件，該件是次品，求這件次品分別是甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品的概率。解：用B表示產(chǎn)品是次品，A1表示甲廠的產(chǎn)品，A2表示乙廠的產(chǎn)品，A3表示丙廠的產(chǎn)品。所以表示已知產(chǎn)品甲廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品表示已知產(chǎn)品是乙廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品。表示已知該產(chǎn)品是丙廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品。則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是甲廠產(chǎn)品；則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是乙廠產(chǎn)品；則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是丙廠產(chǎn)品；∴（1）（2）1.4事件的獨立性（一）事件的獨立性（1）定義：若P（AB）=P（A）P（B），就說事件A與事件B相互獨立。（2）A與B獨立的性質(zhì)性質(zhì)一，若A與B獨立，則而若A與B獨立，則證：∵A與B獨立，∴P（AB）=P（A）P（B）（1）當P（A）>0時，（2）當P（B）>0時，性質(zhì)一說明A與B相互獨立時，A發(fā)生與否，對B發(fā)生的概率沒有影響，而且，B發(fā)生與否也對A發(fā)生的概率沒有影響。性質(zhì)二，若A與B獨立，則有（1）與獨立（2）與B獨立（3）A與獨立證：用獨立性定義：（1）∵A與B獨立，∴P（AB）=P（A）P（B）由對偶公式∴與獨立（2）∴與B相互獨立（3）∴A與相互獨立由A與B獨立這一定義可推廣有下列結果：若A，B，C相互獨立，則有P（ABC）=P（A）P（B）P（C）若相互獨立，則有例1.種子的發(fā)芽率為0.98，求三粒種子中至少有一粒發(fā)芽的概率。（解一）用B表示三粒種子中至少有一粒發(fā)芽A1表示第一粒種子發(fā)芽A2表示第二粒種子發(fā)芽A3表示第三粒種子發(fā)芽很明顯，A1，A2，A3相互獨立（解二）用對偶公式例2.甲、乙、丙三人獨立破譯敵碼。甲能破譯的概率為;乙能破譯的概率為;丙能破譯的概率為.求密碼被破譯的概率。解：用B表示敵碼被破譯∴B=甲+乙+丙（二）重復獨立試驗概型先請看引例：某人射擊目標的命中率為P，他向目標射擊三槍，求這三槍中恰中二槍的概率。解：用B表示射擊三槍，恰中二槍的事件A1表示第一槍擊中目標A2表示第二槍擊中目標A3表示第三槍擊中目標其中A1，A2，A3獨立由本例可見與，大小相同都是P2（1-P），總共有三類，相當于從1，2，3這三個數(shù)中，任取二個的方法數(shù)由本例可以推廣為：某人射擊目標的命中率為P（即每次命中率都是P），他向目標射擊n槍，則這n槍中恰中k槍的概率為：P（射擊n槍，恰中k槍）=一般地，有下面普遍結果：如果在每一次試驗中，事件A發(fā)生的概率不變都是P（A）=p，則在這樣的n次重復相同的試驗中，事件A發(fā)生k次的概率的計算公式為：P（在n次重復試驗中，A發(fā)生k次）=其中P表示在每一次試驗時，A的概率，記為p=P（A），習慣用符號Pn（k）表示在n次重復試驗中，事件A發(fā)生k次的概率。例1.一射手對目標獨立射擊4次，每次射擊的命中率P=0.8，求（1）恰好命中兩次的概率；（2）至少命中一次的概率。解：（1）（2）用B表示至少命中1次的事件則表示最多命中0次的事件，故表示恰好命中0次的事件例2.五臺同類型的機床同時獨立工作，每臺車床在一天內(nèi)出現(xiàn)故障的概率P=0.1，求在一天內(nèi)：（1）沒有機床出現(xiàn)故障的概率；（2）最多有一臺機床出現(xiàn)故障的概率。解：（1）所求概率為：（2）所求概率為：本章考核內(nèi)容小結（一）了解隨機事件的概率的概念，會用古典概型的計算公式計算簡單的古典概型的概率（二）知道事件的四種關系（1）包含：表示事件A發(fā)生則事件B必發(fā)生（2）相等：（3）互斥：與B互斥（4）對立：A與B對立AB=Φ，且A+B=Ω（三）知道事件的四種運算（1）事件的和（并）A+B表示A與B中至少有一個發(fā)生性質(zhì)：（1）若，則A+B=A（2）且（2）事件積（交）AB表示A與B都發(fā)生性質(zhì)：（1）若，則AB=B∴ΩB=B且（2）（3）事件的差：A-B表示A發(fā)生且B不發(fā)生∴，且A-B=A-AB（4）表示A不發(fā)生性質(zhì)（四）運算關系的規(guī)律（1）A+B=B+A，AB=BA叫交換律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫結合律（AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律（A+B）（A+C）=A+BC（4）叫對偶律（五）掌握概率的計算公式（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）特別情形①A與B互斥時：P（A+B）=P（A）+P（B）②A與B獨立時：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）③推廣P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）（2）推廣：當事件獨立時，P（AB）=P（A）P（B）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）性質(zhì)若A與B獨立與B，A與，與均獨立（六）熟記全概率公式的條件和結論若A1，A2，A3是Ω的劃分，則有簡單情形熟記貝葉斯公式若已知，則（七）熟記貝努利重復試驗概型的計算公式第二章隨機變量及其變量分布2.1離散型隨機變量（一）隨機變量引例一：擲骰子?？赡芙Y果為Ω={1,2,3,4,5,6}.我們可以引入變量X,使X=1，表示點數(shù)為1；x=2表示點數(shù)為2；…，X=6，表示點數(shù)為6。引例二，擲硬幣，可能結果為Ω={正，反}.我們可以引入變量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。引例三，在燈泡使用壽命的試驗中，我們引入變量X，使a<X<b，表示燈泡使用壽命在a（小時）與b（小時）之間。例如，1000≤X≤2000表示燈泡壽命在1000小時與2000小時之間。0<X<4000表示燈泡壽命在4000小時以內(nèi)的事件。定義1：若變量X取某些值表示隨機事件。就說變量X是隨機變量。習慣用英文大寫字母X,Y,Z表示隨機變量。例如，引例一、二、三中的X都是隨機變量。（二）離散型隨機變量及其分布律定義2若隨機變量X只取有限多個值或可列的無限多個（分散的）值，就說X是離散型隨機變量。例如，本節(jié)中的引例一、引例二的X是離散型隨機變量。定義3若隨機變量X可能取值為且有（k=1,2,…,n,…）或有其中，第一行表示X的取值，第二行表示X取相應值的概率。就說公式（k=1,2,…,n,…）或表格是離散型隨機變量x的（概率）分布律，記作分布律有下列性質(zhì)（1）；（2）由于事件互不相容。而且是X全部可能取值。所以反之，若一數(shù)列具有以上兩條性質(zhì)，則它必可以作為某隨機變量的分布律。例1設離散型隨機變量X的分布律為求常數(shù)c。解由分布律的性質(zhì)知1=0.2+c+0.5,解得c=0.3.例2擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記X為出現(xiàn)的點數(shù)，求X的分布律。解X的全部可能取值為1,2,3,4,5,6,且則X的分布律為在求離散型隨機變量的分布律時，首先要找出其所有可能的取值，然后再求出每個值相應的概率。（三）0-1分布與二項分布下面，介紹三種重要的常用離散型隨機變量，它們是0-1分布、二項分布與泊松分布。定義4若隨機變量X只取兩個可能值：0,1,且P{X=1}=p,P{X=0}=q其中0<p<1,q=1-p,則稱X服從0-1分布。X的分布律為在n重貝努利試驗中，每次試驗只觀察A是否發(fā)生，定義隨機變量X如下：因為，所以X服從0-1分布。0-1分布是最簡單的分布類，任何只有兩種結果的隨機現(xiàn)象，比如新生兒是男是女，明天是否下雨，抽查一產(chǎn)品是正品還是次品等，都可用它來描述。例1一批產(chǎn)品有1000件，其中有50件次品，從中任取1件，用{X=0}表示取到次品，{X=1}表示取到正品，請寫出X的分布律。解定義5若隨機變量X的可能取值為0,1,…,n，而X的分布律為;其中，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，簡記為X～B（n,p）。顯然，當n=1時，X服從0-1分布，即0-1分布實際上是二項分布的特例。在n重貝努利試驗中，令X為A發(fā)生的次數(shù)，則;即X服從參數(shù)為n,p的二項分布。二項分布是一種常用分布，如一批產(chǎn)品的不合格率為p，檢查n件產(chǎn)品，n件產(chǎn)品中不合格品數(shù)X服從二項分布；調(diào)查n個人，n個人中的色盲人數(shù)Y服從參數(shù)為n,p的二項分布，其中p為色盲率；n部機器獨立運轉(zhuǎn)，每臺機器出故障的概率為p，則n部機器中出故障的機器數(shù)Z服從二項分布，在射擊問題中，射擊n次，每次命中率為p，則命中槍數(shù)X服從二項分布。例2某特效藥的臨床有效率為0.95，今有10人服用，問至少有8人治愈的概率是多少？解設X為10人中被治愈的人數(shù)，則X～B(10，095)，而所求概率為（四）泊松分布定義6設隨機變量X的可能取值為0,1,…,n,…，而X的分布律為其中λ>0，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，簡記為X～p(λ)即若X～p(λ)，則有例1設X服從泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4}.解設X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則由已知，得解得λ=2，則2.2隨機變量的分布函數(shù)（一）分布函數(shù)的概念對于離散型隨機變量X，它的分布律能夠完全刻畫其統(tǒng)計特性，也可用分布律得到我們關心的事件，如等事件的概率。而對于非離散型的隨機變理，就無法用分布率來描述它了。首先，我們不能將其可能的取值一一地列舉出來，如連續(xù)型隨機變量的取值可充滿數(shù)軸上的一個區(qū)間(a,b)，甚至是幾個區(qū)間，也可以是無窮區(qū)間。其次，對于連續(xù)型隨機變量X，取任一指定的實數(shù)值x的概率都等于0，即P{X=x}=0。于是，如何刻畫一般的隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律成了我們的首要問題。定義1設X為隨機變量，稱函數(shù)F(x)=P{X≤x},x∈(-∞,+∞)為X的分布函數(shù)。注意，隨機變量的分布函數(shù)的定義適應于任意的隨機變量，其中也包含了離散型隨機變量，即離散型隨機變量既有分布律也有分布函數(shù)，二者都能完全描述它的統(tǒng)計規(guī)律性。例1若X的分布律為求(1)F(1),(2)F(2.1),(3)F(3),(4)F(3.2)解由分布函數(shù)定義知F(x)=P(X≤x)∴(1)F(1)=P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.3(2)F(2.1)=P(X≤2.1)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.6(3)F(3)=P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.1+0.3+0.3=0.9(4)F(3.2)=P(X≤3.2)=1-P(X>3.2)=1-P(X=4)=1-0.1=0.9（二）分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)有以下基本性質(zhì)：（1）0≤F(x)≤1.由于F(x)=P{X≤x}，所以0≤F(x)≤1.（2）F(x)是不減函數(shù)，即對于任意的有因為當時，，即從而（3）F(-∞)=0，F(xiàn)(+∞)=1，即從此，我們不作嚴格證明，讀者可從分布函數(shù)的定義F(x)=P{X≤x}去理解性質(zhì)（3）。（4）F(x)右連續(xù)，即證明略。例1設隨機變量X的分布函數(shù)為其中λ>0為常數(shù)，求常數(shù)a與b的值。解，由分布函數(shù)的性質(zhì)F(+∞)=1，知a=1；又由F(x)的右連續(xù)性，得到由此，得b=-1.2.3連續(xù)型隨機變量及概率密度（一）連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義若隨機變量X的分布函數(shù)為其中f(t)≥0。就是說X是連續(xù)型隨機變量，并且非負函數(shù)f(x)是連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。由連續(xù)型隨機變量及概率密度函數(shù)的定義知概率密度有下列性質(zhì)（1）（2）（3）（a≤b）前面已曾經(jīng)證明，由于連續(xù)型隨機變量是在一個區(qū)間或幾個區(qū)間上連續(xù)取值，所以它在任何一點上取值的概率為零，即若X是連續(xù)型隨機變量則有P(X=x)=0,其中X是任何一個實數(shù)?！嘤校?）f(x)≥0證（1）在微積分中已知積分上限的函數(shù)對上限x的導數(shù)它說明分布函數(shù)是概率密度的原函數(shù)，并且證明連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是處處可導函數(shù)，所以連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)處處連續(xù)。（2）（3）∵P(a<X≤b)=F(b)-F(a)因為F(x)是f(x)的原函數(shù)因此，對連續(xù)型隨機變量X在區(qū)間上取值的概率的求法有兩種：（1）若F(x)已知，則P(a<X≤b)=F(b)-F(a)（2）若f(x)已知，則P(a<X≤b)=例1設求（1）c（2）解（1）而時，p(x)=0,（2）3.2均勻分布與指數(shù)分布以下介紹三種最常用的連續(xù)型概率分布，均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布，本小節(jié)先介紹前兩種。

定義2.若隨機變量X的概率密度為則稱X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，簡記為X~U（a,b）容易求得其分布函數(shù)為均勻分布的概率密度f（x）和分布函數(shù)F（x）的圖像分別見圖2.3和圖2.4

均勻分布的概率密度f（x）在[a,b]內(nèi)取常數(shù)，即區(qū)間長度的倒數(shù)。均勻分布的均勻性是指隨機變量X落在區(qū)間[a,b]內(nèi)長度相等的子區(qū)間上的概率都是相等的。均勻分布的概率計算中有一個概率公式。設，則使用這個公式計算均勻分布的概率很方便，比如，設，則例5.公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客在5分鐘內(nèi)任一時刻到達汽車站是等可能的，求乘客候車時間在1到3分鐘內(nèi)的概率。解：設X表示乘客的侯車時間，則X~U（0,5），其概率密度為所求概率為

定義3.若隨機變量X的概率密度為其中λ＞0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，簡記為，其分布函數(shù)為f（x）和F（x）的圖形分別見圖2.5和圖2.6指數(shù)分布常被用作各種“壽命”的分布，如電子元件的使用壽命、動物的壽命、電話的通話時間、顧客在某一服和系統(tǒng)接受服務的時間等都可以假定服從指數(shù)分布，因而指數(shù)分布有著廣泛的應用。例:若某設備的使用壽命X（小時）～E（0.001）求該設備使用壽命超過1000小時的概率。解：∵λ＝0.001∴∴P（1000＜X）＝P（1000＜X＜+∞）＝F（+∞）－F（1000）＝1－｛1－e-1｝=e-1=（三）正態(tài)分布

定義4.若隨機變量X的概率密度為其中μ,σ2為常數(shù)，－∞＜μ＜+∞，σ＞0，則稱X服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布，簡記為X~N（μ,σ2）f（x）的圖形見圖2.7

習慣上，稱服從正態(tài)分布的隨機變量為正態(tài)隨機變量，又稱正態(tài)分布的概率密度曲線為正態(tài)分布曲線。設X~N（μ,σ2），則X的分布函數(shù)為特別地，當μ＝0，σ＝1時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布N（0，1）。為區(qū)別起見，標準正態(tài)分布的概率密度和分布函數(shù)分別記為，即的圖象見圖2.8

顯然，的圖象關于y軸對稱，且在x=0處取得最大值。通常我們稱為標準正態(tài)分布函數(shù)，它有下列性質(zhì)：（1）由定積分的幾何意義及的對稱性可得（2）由（1）知（3）因為是X服從標準正態(tài)即X~N（0，1）時的分布函數(shù)，所以有當

上面公式中，不等式中是否有等號并不影響公式的正確性，原因是連續(xù)隨機變量X取一個數(shù)的概率為0，即P（X＝K）＝0所以下面的公式同樣成立其中標準正態(tài)分布函數(shù)的可用教材中的附表1求得，其中同樣有例1.若X~N（0，1）求（1）P（X＜2.12）；（2）P（X＞－0.23）；（3）P（－0.2＜X≤2.12）解：（1）P（X＜2.12）＝P（－∞＜X＜2.12）＝Φ（2.12）－Φ（－∞）＝Φ（2.12）＝0.9830（2）P（X＞－0.23）＝P（－0.23＜X＜+∞）＝Φ（+∞）－Φ（－0.23）＝1－Φ（－0.23）由性質(zhì)Φ（－x）＝1－Φ（x）得Φ（－0.23）＝1－Φ（0.23）∴P（X＞－0.23）＝Φ（0.23）＝0.5910（3）P（－0.2＜X≤2.12）＝Φ（2.12）－Φ（－0.2）＝Φ（2.12）－｛1－Φ（0.2）｝＝Φ（2.12）+Φ（0.2）－1＝0.9830+0.5793－1＝0.5623從此可以看出：盡管正態(tài)分布取值范圍是（－∞，+∞），但它的值落在［μ－3σ,μ+3σ］的概率為0.9973，幾乎是肯定的，這個性質(zhì)被稱為正態(tài)分布的“3σ規(guī)則”。為了方便今后的應用，對于標準正態(tài)隨機變量，我們引入α分位的定義。定義5.設X~N（0,1）若ua滿足條件P｛X＞ua｝＝α，0＜α＜1，則稱點ua為標準正態(tài)分布的上側(cè)α分位數(shù)（見圖2.12）例2.用上側(cè)分位數(shù)ua的定義求（1）u0.005（2）u0.025（3）u0.01（4）u0.05（5）u0.1解：因為P（X＞uα）＝α∴P（X＞uα）＝1－P（X＜uα）＝1－Φ（uα）＝α∴Φ（uα）＝1－α（1）Φ（u0.005）＝1－0.005＝0.995Φ（2.58）＝0.995u0.005=2.58（2）∵Φ（u0.025）＝1-0.025=0.975∵Φ（1.96）＝0.975∴u0.025＝1.96（3）∵Φ（u0.01）＝1－0.01＝0.99∴Φ（2.33）＝0.99∴u0.01＝2.33（4）∵Φ（u0.05）＝1－0.05＝0.95∴Φ（1.64）＝0.95∴u0.05＝1.64（5）∵Φ（u0.1）＝1－0.1＝0.9∴Φ（1.29）＝0.9∴u0.1＝1.29正態(tài)分布是最常見的一種分布，在實際問題中，許多隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布，例如，一個地區(qū)的男性成年人的身高和體重，測量某個物理量所產(chǎn)生的隨機誤差；一批原棉纖維的長度，某地區(qū)的年降水量等，它們都服從正態(tài)分布，本書第五章的中心極限定理表明：一個變量如果大量獨立，微小且均勻的隨機因素的疊加而生成，那么它就近似服從正態(tài)分布，由此可見，在概率論和數(shù)理統(tǒng)計的理論研究和實際應用中正態(tài)分布都占有十分重要的地位。第4節(jié)隨機變量的函數(shù)的概率分布4.1離散型隨機變量的函數(shù)的概率分布在實際應用中，我們常常遇到這樣的情況，所關心的隨機變量不能直接測量得到，而它卻是某個能直接測量的隨機變量的函數(shù)，例如，我們能測量圓軸截面的直徑X，而關心的卻是其截面的面積，這里隨機變量Y就是隨機變量X的函數(shù)。設g（x）是一給定的連續(xù)函數(shù)，稱Y＝g（X）為隨機變量X的的一個函數(shù)，Y也是一個隨機變量，當X取值x時，Y取值y＝g（x），本節(jié)，我們將討論如何由已知的隨機變量X的概率分布去求函數(shù)Y＝g（x）的概率分布。先討論X為離散型隨機變量的情況。

設X為離散型隨機變量，其分布律為由于X的可能取值為x1x2…xk…，所以Y的可能取值為g（x1）,g（x2）…g（xk）…可見Y只取有限多個值或可列無窮多個值，故Y是一個離散型隨機變量。當g（x1）,g（x2）…g（xn）互不相等時，Y的分布律為當g（x1）,g（x2）…g（xk）…，有相等的情況時，則應該把使g（xk）相等的那些xi所對應的概率相加，作為Y取值g（xk）的概率，這樣得到Y的分布律。例1.設隨機變量X的分布律為求：（1）Y＝X3的分布律；（2）Z＝X2的分布律。解：（1）Y的可能取值為－1，0，1，8.由于從而Y的分布律為（2）Z的可能取值范圍為0，1，4則Z的分布律為例2.X～B（3，0.4）令，求P｛Y＝1｝解：因為X～B（3，0.4）所以X可能取值為當X＝0時，Y＝0，X＝1時，Y＝1；X＝2時，Y＝1；X＝3時，Y＝0。所以，Y＝1為｛X＝1｝與｛X＝2｝其實，由等式中，當Y＝1時，可得X（3－X）＝2∴∴P（Y＝1）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝4.2連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的概率分布設X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為fx（x），要求Y＝g（x）的概率密度fy（y），我們可以利用如下定理的結論。

定理1.設X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為fx（x），設g（x）是一嚴格單調(diào)的可導函數(shù)，其值域為（α，β），且g'（x）≠0，記x=h（y）為y＝g（x）的反函數(shù)，由Y＝g（x）的概率密度fY（y）為：特別地，當α＝－∞β＝+∞時，例3.設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為fx（x），令Y＝ax+b其中a,b為常數(shù),a≠0。解：y=g（x）=ax+b,α＝－∞β＝+∞由y=ax+b得x=,，由定理1得例4.X～N（μ,σ2），求：（1）的概率密度。（2）Y＝aX+b的概率密度。解：∵X～N（μ,σ2）∴X～fx（x）（1）（2）Y＝ax+b時，由y＝ax+b得反函數(shù)x=h（y）本章考核內(nèi)容小結（一）知道隨機變量的概念，會用分布函數(shù)求概率

（1）若X是離散型隨機變量，則P（a<x≤b）=F（b）-F（a）（2）若X是連續(xù)型隨機變量，則P（a<x≤b）=F（b）-F（a）P（a≤x≤b）=F（b）-F（a）P（a≤x＜b）=F（b）-F（a）P（a<x＜b）=F（b）-F（a）（二）知道離散型隨機變量的分布律會求簡單離散型隨機變量的分布律和分布函數(shù)，且若

則（三）掌握三種常用的離散型隨機變量的分布律（1）X～（0,1）（2）X～B（n,p）P（x=k）=（3）X～P（λ）P（x=k）=并且知道泊松分布是二項分布當n很大，p很小的近似值，且λ=np（四）知道連續(xù)型隨機變量的概率密度概念和性質(zhì)，概率密度和分布函數(shù)的關系及由概率密度求概率的公式。（1）概率密度f（x）的性質(zhì)①f（x）≥0②（2）分布函數(shù)和概率密度的關系（3）分布函數(shù)的性質(zhì)①F（x）連續(xù)，可導②F（－∞）＝0，F(xiàn)（+∞）＝1③F（x）是不減函數(shù)。（4）概率計算公式：①P（a<x<b）=F（b）－F（a）②P（a<X<b）=（五）掌握連續(xù)型隨機變量的三種分布

（1）X～U（a,b）X～f（x）=X～F（x）=（2）X～E（λ）①X～f（x）=②X～F（x）=（3）X～N（0,1）①X～②X～性質(zhì)：Φ（-x）=1-Φ（x）P（a<x≤b）=Φ（b）－Φ（a）（4）X～N（μ,σ2）①X～②P（a<x＜b）=（六）會用公式法求隨機變量X的函數(shù)Y＝g（x）的分布函數(shù)（1）離散型若且g（x1）,g（x2）,…g（xn）不相同時，有

（2）連續(xù)型若X～fX（x）,y=g（x）單調(diào)，有反函數(shù)x=h（y）且y的取值范圍為（α,β），則隨機變量X的函數(shù)Y=g（x）的概率密度為當α=－∞β=+∞時，則有簡單情形，若Y＝ax+b則有Y～fY（y）=在簡單情形下會用公式法求Y＝ax+b的概率密度。（3）重要結論

（i）若X～N（μ,σ2），則有Y＝ax+b時Y～N（aμ+b,a2σ2）（ii）若X～N（μ,σ2），則有Y＝叫X的標準化隨機變量。多維隨機變量及概率分布

3.1二維隨機變量的概念3.1.1二維隨機變量及其分布函數(shù)到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維隨機變量及其他布，但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述。例如，在打靶時，以靶心為原點建立直角坐標系，命中點的位置是由一對隨機變量（X，Y）（兩個坐標）來確定的。又如考察某地區(qū)的氣候，通常要考察氣溫X，風力Y，這兩個隨機變量，記寫（X，Y）。定義3.12個隨機變量X，Y組成的整體Z=（X，Y）叫二維隨機變量或二維隨機向量。定義3.2（1）二元函數(shù)F（x,y）=P（X≤x,Y≤y）叫二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。記作（X，Y）～F（x,y）。（2）二維隨機變量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函數(shù)叫二維隨機變量（X，Y）的邊緣分布函數(shù)。因為X<+∞，Y<+∞即-∞<X<+∞，-∞<Y<+∞，分別表示必然事件，所以有X～Fx（x）=P（X≤x）=P（X≤x，Y<+∞）=F（x,+∞）Y～FY（y）=P（Y≤y）=P（x<+∞，Y≤y）=F（+∞，y）公式可見X，Y的邊緣分布可由聯(lián)合分布函數(shù)求得。3.1.2二維離散型隨機變量定義3-3若二維隨機變量（X，Y）只取有限多對或可列無窮多對（xi，yj），（i，j=1，2，…），則稱（X，Y）為二維離散型隨機變量。設二維隨機變量（X，Y）的所有可能取值為（xi，yj）（i，j=1，2，…），（X，Y）在各個可能取值的概率為：P{X=xi,Y=yj}=Pij（i，j=1，2，…），稱P{X=xi,Y=yj}=Pij（i，j=1，2，…）為（X，Y）的分布律。（X，Y）的分布律還可以寫成如下列表形式：（X，Y）的分布律具有下列性質(zhì)：（1）pij≥0（i，j=1，2，…）；（2）反之，若數(shù)集{Pij}（i，j=1，2，…）具有以上兩條性質(zhì)，則它必可作為某二維離散型隨機變量的分布律。[例3-1]設（X，Y）的分布律為求a的值。解由分布律性質(zhì)知，則6a2+a-1=0，（3a-1）（2a+1）=0，解得或（負值舍去），所以。由（X，Y）的分布律可求得它的分布函數(shù)F（x,y），實際上

定義3-4對于離散型隨機變量（X，Y），分量X（或Y）的分布律稱為（X，Y）關于X（或Y）的邊緣分布律，記為Pi·（i=1，2，…）（或P.j（j=1，2，…）），它可由（X，Y）的分布律求出，事實上，Pi·=P{X=xi}=P{X=xi,Y=yj}+P{X=xi,Y=y2}+…+P{X=xi,Y=yj}+…=即（X，Y）關于X的邊緣分布律為：i=1，2，…（3.1.2）同樣可得到（X，Y）關于Y的邊緣分布律為：j=1，2，…（3.1.3）（X，Y）的邊緣分布律有下列性質(zhì)：pi·≥0，p·j≥0，（i，j=1，2，…）[例3-4]求例3-3中（X，Y）關于X和Y的邊緣分布律。解X與Y的可能值均為1，2，3。（X，Y）關于X的邊緣分布律為：（X，Y）關于Y的邊緣分布律為：可以將（X，Y）的分布律與邊緣分布律寫在同一張表上：值得注意的是：對于二維離散型隨機變理（X，Y），雖然它的聯(lián)合分布可以確定它的兩個邊緣分布，但在一般情況下，由（X，Y）的兩個邊緣分布律是不能確定（X，Y）的分布律的。3.1.3二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度和邊緣概率密度一維連續(xù)型隨機變量X的可能取值為某個或某些區(qū)間，甚至是整個數(shù)軸，二維隨機變量（X，Y）的可能取值范圍則為XOY平面上的某個或某些區(qū)域，甚至為整個平面，一維連續(xù)型隨機變量X的概率特征為存在一個概率密度函數(shù)f（x），滿足：且分布函數(shù)類似地，我們有下面的定義。定義3-5設二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x,y）=P（X≤x,Y≤y），若存在非負可積函數(shù)f（x,y），使得對任意的實數(shù)x,y，有則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機變量；并稱f（x,y）為（X，Y）的概率密度或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)。按定義，概率密度f（x,y）有以下性質(zhì)：（1）f（x,y）≥0；（2）反之，任一定義在整個實平面上的二元函數(shù)，如果具有以上兩條性質(zhì)，則它必可作為某二維連續(xù)型隨機變量的概率密度。若f（x,y）在（x,y）處連續(xù)，則有（3.1.4）因而在f（x,y）連續(xù)點（x,y）處，可由分布函數(shù)F（x,y）求出概率密度f（x,y）。如果已知（X，Y）的概率密度f（x,y），則（X，Y）在平面區(qū)域D內(nèi)取值的概率為：（3.1.5）由二重積分的幾何意義知（3.1.5）式表明：隨機點（X，Y）落在平面區(qū)域D上的概率等于以平面區(qū)域D為底、以曲面z=f（x,y）為頂?shù)那斨w的體積。[例3-4]設（X，Y）的概率密度為求（X，Y）的分布函數(shù)F（x,y）.解由定義3-5知當x>0，y>0時，當x≤0或y≤0時，∵f（x,y）=0F（x,y）=0，從而下面介紹兩種重要的二維連續(xù)型隨機變量的分布：均勻分布與二維正態(tài)分布。定義3-6設D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S>0，如果二維隨機變量（X，Y）的概率密度為則稱（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布（或稱（X，Y）在D上服從均勻分布），記作（X，Y）～UD?？雌鋬蓚€特殊情形：（1）D為矩形區(qū)域a≤x≤b.c≤y≤d.此時S=（b-a）（d-c）（2）D為圓形區(qū)域，如（X，Y）在以原點為圓心、R為半徑的圓域上服從均勻分布，則（X，Y）的概率密度為下面討論連續(xù)型隨機變量（X，Y）的邊緣分布。定義3.8對連續(xù)型隨機變量（X，Y），分量X（或Y）的概率密度稱為（X，Y）關于X（或Y）的邊緣概率密度，簡稱邊緣密度，記為fx（x）（或fY（y））求出：公式證明因為X的概率密度為同理可得[例3-5]設（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，其中D:x2≥y，0≤x≤1，y≥0，求（X，Y）的邊緣概率密度fX（x），fY（y）。解（X,Y）的概率密度為區(qū)域D的面積則（一）求fX（x）（1）x<0時，f（x,y）=0,（2）0≤x≤1時，（3）1<x時，f（x,y）=0,（二）求fY（y）（1）y<0時，f（x,y）=0，∴fY（y）=0（2）y>1時，f（x,y）=0,∴fY（y）=0（3）0≤y≤1時，3.2隨機變量的獨立性3.2.1兩個隨機變量的獨立性同事件的獨立性一樣，隨機變量的獨立性也是概率統(tǒng)計中的一個重要概念。我們從兩個事件相互獨立的概念引出兩個隨機變量相互獨立的概念。事件{X≤x}與{Y≤y}的積事件是{X≤x，Y≤y}，{X≤x}與{Y≤y}相互獨立意味著{X≤x，Y≤y}的概率等于{X≤x}與{Y≤y}的概率的乘積，由此引入隨機變量X，Y相互獨立的定義。定義3-9設F（x,y）,FX（x）和FY（y）分別是二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)和兩個邊緣分布函數(shù)。若對任意實數(shù)x,y，有F（x,y）=FX（x）FY（y），（3.2.1）則稱X與Y相互獨立。（3.2.1）式等價于對任意實數(shù)x,y，有P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}。由此可知，隨機變量X與Y相互獨立，即對任意實數(shù)x,y，事件{X≤x}與{Y≤y}相互獨立。[例3-1]續(xù)3.1節(jié)例3-6證明X與Y相互獨立。證明：關于X的邊緣分布函數(shù)為關于Y的邊緣分布函數(shù)為因此對任意x,y有F（x,y）=FX（x）FY（y）成立，故X與Y相互獨立。3.2.2二維離散型隨機變量的獨立性設（X，Y）為離散型隨機變量，其分布律為pij=P{X=xi,Y=yj},i,j=1，2，…，邊緣分布律為證明略。注意：X與Y相互獨立要求對所有i,j的值（3.2.2）式都成立。只要有一對（i,j）值使得（3.2.2）式不成立，則X，Y不獨立。[例3-2]判斷3.1節(jié)例3-5中X與Y是否相互獨立。解（1）有放回摸球情況：因為所以X與Y相互獨立。（2）不放回摸球情況：因為P{X=0，Y=0}≠{X=0}·P{Y=0}，所以X與Y不相互獨立。3.2.3二維連續(xù)型隨機變量的獨立性設二維連續(xù)型隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x,y）,fX（x）,fY（y）分別為（X，Y）關于X和Y的邊緣概率密度，則X與Y相互獨立的充要條件是：f（x,y）=fX（x）fY（y）（3.2.3）[例3-1]證明若（X，Y）的概率密度為則X與Y獨立。證（1）（2）∴f（x,y）=fX（x）fY（y）∴X，Y獨立。3.3兩個隨機變量之和函數(shù)的概率分布3.3.1離散型隨機變量的函數(shù)的分布對兩個離散型隨機變量的函數(shù)的分布，我們僅就一些具體問題進行分析，從中可找到解決這類問題的基本方法?！纠?—1】設（X，Y）的分布律為求Z=X+Y的分布律解Z的可能取值為0，1，2，3，因為事件｛Z=0｝=｛X=0，Y=0｝，所以事件事件{X=0，Y=1}與{X=1，Y=0}互不相容，所以事件事件{X=0，Y=2}與{X=1，Y=1}互不相容，所以事件｛Z=3｝=｛X=1，Y=2｝，所以從而得出Z的分布律為3.3.2兩個連續(xù)型隨機變量之和的概率分布例3-1設X與Y獨立，且求（1）（X，Y）的概率密度。f（X,Y）。（2）P（X+Y≤1）解：（1）∵X，Y獨立（2）P（X+Y≤1）兩個獨立連續(xù)型隨機變量X，Y的和函數(shù)Z=X+Y的概率密度的計算公式為：若X，Y獨立，X～fX（X），Y～fY（Y）則有（不證）上面公式叫獨立隨機變量和的卷積公式本章內(nèi)容小結（一）知道二維隨機變量的分布函數(shù)的概念和性質(zhì)。（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y）=P（-∞＜X≤X,-∞＜Y≤Y）（2）F（X,Y）的性質(zhì)（ⅰ）F（+∞，+∞）=1（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F(xiàn)（X，-∞）=0F（-∞，-∞）=0（3）X～FX（X）=F（X,+∞）Y～FY（Y）=F（+∞,Y）（二）離散型二維隨機變量（1）（X，Y）的分布律性質(zhì)（2）X的邊緣分布證明P1·=P11+P12+…P1N，P2·=P21+P22+…P2N，…pm·=pm1+pm2+…pmn（3）Y的分布律證P·1=P11+P21+…pm1，P·2=P21+P22+…pm2，…P·N=P1N+P2N+…+pmn（4）X，Y獨立的充要條件是：X，Y獨立P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj）（i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）判斷離散性隨機變量X，Y是否獨立。（5）會求Z=X+Y的分布律（三）二維連續(xù)型隨機變量（1）若已知f（X,Y）時，會用上式求F（X,Y）性質(zhì)

（2）已知F（X,Y）時，會用上式求f（X,Y）

（3）會用公式求（X，Y）在區(qū)域D上取值的概率。（4）會用公式分別求X，Y的概率密度（邊緣密度）（5）會根據(jù)X，Y獨立判斷連續(xù)型隨機變量X，Y的獨立性。（6）知道兩個重要的二維連續(xù)隨機變量①（X，Y）在D上服從均勻分布

S是D的面積則X，Y獨立（7）若X，Y獨立，且隨機變量的數(shù)字特征

隨機變量的概率分布完整地描述了隨機變量統(tǒng)計規(guī)律，但是在實際問題中求得隨機變量的概率分布并不容易，而且對某些問題來說，只需知道它的某些特征，我們把刻畫隨機變量某些方面特征的數(shù)值稱為隨機變量的數(shù)字特征。本章主要研究隨機變量的期望、方差、協(xié)方差、相關系數(shù)等數(shù)字特征。4.1隨機變量的期望4.1.1離散型隨機變量的期望引例10人參加考試，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均分。解：平均分為：從本例看：平均分并不等于60、80、100的平均值80。這是由于60分出現(xiàn)的機會多于100分，上面方法出現(xiàn)了60分出現(xiàn)的頻率多。100分的頻率小，能正確計算平均值。定義若X的分布律為P（X=xi）=pi，i=1，2…當級數(shù)絕對收斂時（即收斂）就說是離散型隨機變量X的期望。記作EX，即說明：（1）若X取值為有限個x1，x2，…，xn則（2）若X取值為可列無限多個x1，x2，…，xn…則這時才要求無窮級數(shù)絕對收斂。很明顯，X的期望EX體現(xiàn)隨機變量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。【例4-1】設隨機變量X的分布律為求E（X）解E（X）=（-1）×0.3+0×0.2+1×0.5=0.24.1.2下面介紹幾種重要離散型隨機變量的數(shù)學期望。1.兩點分布隨機變量X的分布律為其中0＜p＜1，有EX=0×（1-p）+1×p=p。2.二項分布設X～B（n,p），即可以證明它的期望EX=np二項分布的數(shù)學期望np，有著明顯的概率意義。比如擲硬幣試驗，設出現(xiàn)正面概率若進行100次試驗，則可以“期望”出現(xiàn)次正面，這正是期望這一名稱的來由。3.泊松分布設其分布律為則X數(shù)學期望為EX=小結上面的結果，有下面公式分布EXX～（0,1）X～B（n,p）X～P（λ）pnp今后在上面三種情形下，期望EX不必用定義計算，可以直接套用公式。例如若X～B（10，0.8），則EX=10×0.8=8若X～P（3），則EX=3。4.1.3下面介紹離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望。定理4-1設離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pk，k=1，2，…。令Y=g（X），若級數(shù)絕對收斂，則隨機變量Y的數(shù)學期望為特別情形【例1】設隨機變量X的分布律為令Y=2X+1，求E（Y）。解EY=（2×（-1）+1）×0.3+（2×0+1）×0.2+（2×1+1）×0.4+（2×2+1）×0.1=（-1）×0.3+1×0.2+3×0.4+5×0.1=1.6。4.1.4連續(xù)型隨機變量的期望對于連續(xù)型隨機變量的期望，形式上可類似于離散型隨機變量的期望給予定義，只需將和式中的xi改變x,pi改變?yōu)閒（x）dx（其中f（x）為連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)）以及和號“Σ”演變?yōu)榉e分號“∫”即可。定義4-2設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f（x），若廣義積分絕對收斂，則稱該積分為隨機變量X的數(shù)學期望（簡稱期望或均值），記為EX，即【例1】設隨機變量X的概率密度為求E（X）。解下面介紹幾種重要連續(xù)型隨機變量的期望。1.均勻分布設隨機變量X在[a,b]上服從均勻分布，其概率密度為則在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的隨機變量的期望是該區(qū)間中點。2.指數(shù)分布設隨機變量X服從參數(shù)為λ>0的指數(shù)分布，其概率密度為解：在微積分中有即指數(shù)分布的數(shù)學期望為參數(shù)λ的倒數(shù)。3.正態(tài)分布設其概率密度為則X的期望E（X）=μ。（不證）上面三種情況列表如下（可以作為公式使用）分布EXX～U（a,b）X～E（λ）X～N（μ，σ2）μ例如X～U（0,10）則X～E（2）則下面介紹連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望。定理4-2設X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為fX（x），又隨機變量Y=g（X），則當收斂時，有證明略。這一公式的好處是不必求出隨機變量Y的概率密度fY（x），而可由隨機變量X的概率密度fX（x）直接計算E（Y），應用起來比較方便。特別情形例1求EX2解4.1.5二維隨機變量函數(shù)的期望定理4-3（1）若（X，Y）為離散型隨機變量，若其分布律為pij＝P{X=xi,Y=yi}，邊緣分布律為則（2）其（X，Y）為二維連續(xù)型隨機變量，f（x,y）,fx（x）,fY（y）分別為（X，Y）的概率密度與邊緣概率密度，則證明略。定理4-4設g（X，Y）為連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機變量（X，Y）的函數(shù)g（X，Y），（1）若（X，Y）為離散型隨機變量，級數(shù)收斂，則（2）若（X，Y）為連續(xù)型隨機變量，且積分收斂，則證明略?！纠?】已知（X，Y）的分布律為求：（1）E（2X+3Y）；（2）E（XY）。解（1）由數(shù)學期望定義知4.1.6期望的性質(zhì)期望有許多重要性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以進行期望的運算。下面列舉的這些性質(zhì)對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量而言，都可以利用隨機變量函數(shù)的期望與二維隨機變量函數(shù)的期望公式加以證明。性質(zhì)4-1常數(shù)的期望等于這個常數(shù)，即E（C）=C，其中C為常數(shù)。證明常數(shù)C作為隨機變量，它只可能取一個值C，即P{X=C}=1，所以E（C）=C·1=C性質(zhì)4-2常數(shù)與隨機變量X乘積的期望等于該常數(shù)與隨機變量X的期望的乘積，即E（CX）=C·E（X）。證明設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f（x），則有當X為離散型隨機變量時，請讀者自證?！嘤蠩（CX+b）=CEX+b性質(zhì)4-3隨機變量和的期望等于隨機變量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）。證明不妨設（X，Y）為二維隨機變量，其概率密度為f（x,y）,Z=X+Y是（X，Y）的函數(shù)，有=E（X）+E（Y）。這一性質(zhì)可作如下推廣：E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1，C2為常數(shù)。結合性質(zhì)4-2與性質(zhì)4-3可證此性質(zhì)。一般地，設X1，X2，…,Xn為n個隨機變量，則有E（X1+X2+…+Xn）=EX1+EX2+…+EXnE（C1X1+C2X2+…+CnXn）=C1EX1+C2EX2+…+CnEXn性質(zhì)4-4兩個相互獨立的隨機變量乘積的期望等于期望的乘積，即若X，Y是相互獨立的隨機變量，則E（XY）=E（X）E（Y）。證明僅證連續(xù)型情況，因為X，Y相互獨立，所以f（x,y）=fX（x）fY（y），=E（X）E（Y）由數(shù)學歸納法可證得：當X1，X2，…，Xn相互獨立時有E（X1X2…Xn）=E（X1）E（X2）…E（Xn）。【例1】設Xi（i=1,2,…）服從0-1分布其中0<p<1,q=1-p,且X1,X2,…,Xn相互獨立。令X=X1+X2+…+Xn,求X的期望。解法1由二項分布的定義知，X服從二項分布，因此，E（X）=np解法2因為E（Xi）=p，X=X1+X2+…+Xn,由期望性質(zhì)知E（X）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）=np。這一結論與直接計算一致。4.2.1方差的概念隨機變量的期望反映了隨機變量取值的集中位置，在許多問題中，我們還要了解隨機變量的其他特征。例如，在投資決策中，我們選擇某一項目或購買某種資產(chǎn)（如股票、債券等），我們不僅關心其未來的收益水平，還關心其未來收益的不確定程度，前者通常用期望來度量，后者常稱為風險程度。這種風險程度有多種衡量方法，最簡單直觀的方法就是用方差來度量。粗略地講，方差反映了隨機變量偏離其中心--期望的平均偏離程度。對任一隨機變量X，設期望為E(X)，記Y＝X-E(X)，稱為隨機變量X的離差，由于E(X)是常數(shù)，因而有由此可知，離差Y代表隨機變量X與期望之間的隨機誤差，其值可正可負，從總體上說正負相抵，故其期望為零。這樣用E(Y)不足以描述X取值的分散程度。為了消除離差中的符號，我們也可以考慮使用絕對離差，但由于中絕對值不便處理，轉(zhuǎn)而考慮離差平方的期望，即用來描述隨機變量X取值的分散程度。定義4-3設隨機變量的期望存在，則稱為隨機變量X的方差，記作D(X),即D(X)＝稱為X的標準差（或均方差）。從隨機變量的函數(shù)的期望看，隨機變量X的方差D(X)即是X的函數(shù)的期望。由方差定義可知，當隨機變量的取值相對集中在期望附近時，方差較??；取值相對分散時，方差較大，并且總有.若X為離散型隨機變量，其分布律為則（4.2.1）若X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),則（4.2.2）【例1】設兩批纖維的長度分別為隨機變量其分布律為求：解.4.2.2常見隨機變量的方差1.0-1分布設X的分布律為其中0＜P＜1,則X的方差D(X)=P(1-P).因為而故（2）二項分布設X～B(n,p)則有(不證)（3）泊松分布設X～P(),則有(不證)（4）均勻分布設X～U(a,b),則有（5）指數(shù)分布設(6)正態(tài)分布可以證明，若下表是六種常見分布的期望和方差的結果。要求大家熟記下面公式?！纠?】若X～U(a,b)且EX＝3，求：a,b及X的概率密度f(x)解：4.2.3方差的性質(zhì)性質(zhì)4-5常數(shù)的方差等于零，隨機變量與常數(shù)之和的方差等于隨機變量的方差，即D(C)=0,D(X+C)=D(X).性質(zhì)4-6常數(shù)與隨機變量乘積的方差等于這個常數(shù)的平方與隨機變量方差的乘積，即，其中C為常數(shù)性質(zhì)4-7兩個獨立隨機變量之和的方差等于它們方差之和，即若X，Y相互獨立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)上式最后一項E[(X－E(X))(Y－E(Y))]=E[XY－XE(Y)－YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)－E(X)E(Y)－E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)－E(X)E(Y)，因為X與Y相互獨立，有E(XY)=E(X)E(Y)，因而上式為零因此D(X+Y)=D(X)+D(Y)注意：證明過程中得到有用結論E[(X－E(X))(Y－E(Y))]=E(XY)－E(X)E(Y)這一性質(zhì)也可推廣到n個相互獨立的隨機變量情況：若相互獨立，則將這一性質(zhì)應用于二項分布可知，二項分布隨機變量X能表示成n個相互獨立的兩點分布隨機變量之和：，因為的方差為pq,k=1，2，…，n，則【例1】設相互獨立，的期望和方差。解：（1）（2）4.3協(xié)方差與相關系數(shù)對二維隨機變量（X，Y），我們除了討論X與Y的期望和方差之外，還需討論X與Y之間相互關系的數(shù)字特征，本節(jié)主要討論這方面的數(shù)字特征。4.3.1協(xié)方差定義4-4設有二維隨機變量（X，Y），且E（X），E（Y）存在，如果存在，則稱此值為X與Y的協(xié)方差，記，即定義（4.3.1）當（X，Y）為二維離散型隨機變量時，其分布律為則（4.3.2）當（X，Y）為二維連續(xù)型隨機變量時，為（X,Y)的概率密度（4.3.3）協(xié)方差有下列計算公式：（4.3.４）證明此公式是計算協(xié)方差的重要公式，特別地取X=Y時，有【例1】設（X，Y）的密度函數(shù)為求解由則協(xié)方差具有下列性質(zhì)：（1）（2），其中a,b為任意常數(shù)。（３）性質(zhì)（1）～（3）可由定義直接證明。（４）若X，Y相互獨立，則證明若Ｘ，Ｙ相互獨立，則有反過來，若，則X，Y一定不相互獨立?！纠?】接例4-26，判斷X，Y是否相互獨立。解由，知X，Y一定不相互獨立。4.3.2相關系數(shù)定義4-5若，稱為X與Y的相關系數(shù)，記為即例1若（X，Y）的分布律為求：（1）X的邊緣分布（2）Y的邊緣分布（3）EX，，DX（4）EY，，DY（5）E（XY）（6）（7）（8）討論X，Y的獨立性解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）∴不相關（8）∵∴不獨立本例說明X，Y不相關不能得出X，Y獨立的結論。各問：（1）（1）時，說X，Y不相關（2）時，說X，Y完全相關且（不證)定理：若X，Y獨立，則X，Y不相關證：X，Y獨立，則有E（XY）=E（X）E（Y）∴∴本定理說明X，Y獨立是X，Y不相關的充分條件，反之不一定成立，在例28中，（X，Y）不相關，但（X，Y）并不獨立。雖然在一般情況下，X，Y不相關不能得到X，Y一定獨立的結論，但如果X～N，Y～N則X，Y不相關則是X，Y獨立的充分條件，即有若X，Y都正態(tài)分布，則有X，Y獨立的充分必要條件是X，Y不相關。4.3.3矩、協(xié)方差矩陣數(shù)學期望和方差可以納入到一個更一般的概念范疇之中，那就是隨機變量的矩。定義4-7（1）設X為隨機變量，k為正整數(shù)，如果存在，則稱為X的k階原點矩，記，即（2）如果存在，則稱為X的k階中心矩，記為即顯然，一階原點矩就是數(shù)學期望：，二階中心矩就是方差：.定義4.8矩陣叫（X，Y）的協(xié)方差矩陣【例1】設（X，Y）的協(xié)方差矩陣為，求.解由協(xié)方差矩陣的定義可知則本章小結本章的考核內(nèi)容是（一）知道隨機變量的期望的定義和計算公式，性質(zhì)。（1）離散型：（2）連續(xù)型：（3）（4）期望的性質(zhì)：（1）EC=C（2）E（kX）=kEX（3）E（X±Y）=EX±EY（4）X,Y獨立時，E（XY）＝（EX）（EY）（二）知道方差的概念和計算公式以及方差的性質(zhì)∴X是離散型隨機變量時X是連續(xù)型隨機變量時（2）計算公式（3）性質(zhì)①DC＝0②③D（X±Y）=DX+DY±2E[(X-EX)(Y-EY)]=DX+DY±2Cov(X,Y)∴X,Y獨立X,Y不相關時D(X±Y)=DX+DYCov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]計算公式Cov(X,Y)=E(XY)－(EX)(EY)相關系數(shù)定理X，Y獨立X，Y不相關（）特別情形X，Y正態(tài)，則有X，Y獨立X，Y不相關大數(shù)定律及中心極限定理概率統(tǒng)計是研究隨機變量統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學學科，而隨機現(xiàn)象的規(guī)律只有在對大量隨機現(xiàn)象的考察中才能顯現(xiàn)出來。研究大量隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，常常采用極限定理的形式去刻畫，由此導致對極限定理進行研究。極限定理的內(nèi)容非常廣泛，本章中主要介紹大數(shù)定律與中心極限定理。5.1切比雪夫Chebyshev不等式一個隨機變量離差平方的數(shù)學期望就是它的方差，而方差又是用來描述隨機變量取值的分散程度的。下面我們研究隨機變量的離差與方差之間的關系式。定理5－1（