自動控制原理課后答案

第一章1-1圖1-2是液位自動控制系統(tǒng)原理示意圖。在任意情況下，希望液面高度c維持不變，試說明系統(tǒng)工作原理并畫出系統(tǒng)方塊圖。圖1-2液位自動控制系統(tǒng)解：被控對象：水箱；被控量：水箱的實際水位；給定量電位器設(shè)定水位（表征液位的希望值）；比較元件：電位器；執(zhí)行元件：電動機；控制任務(wù)：保持水箱液位高度不變。 工作原理：當(dāng)電位電刷位于中點（對應(yīng)）時，電動機靜止不動，控制閥門有一定的開度，流入水量與流出水量相等，從而使液面保持給定高度，一旦流入水量或流出水量發(fā)生變化時，液面高度就會偏離給定高度。當(dāng)液面升高時，浮子也相應(yīng)升高，通過杠桿作用，使電位器電刷由中點位置下移，從而給電動機提供一定的控制電壓，驅(qū)動電動機，通過減速器帶動進水閥門向減小開度的方向轉(zhuǎn)動，從而減少流入的水量，使液面逐漸降低，浮子位置也相應(yīng)下降，直到電位器電刷回到中點位置，電動機的控制電壓為零，系統(tǒng)重新處于平衡狀態(tài)，液面恢復(fù)給定高度。反之，若液面降低，則通過自動控制作用，增大進水閥門開度，加大流入水量，使液面升高到給定高度。系統(tǒng)方塊圖如圖所示：1-10下列各式是描述系統(tǒng)的微分方程，其中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量，試判斷哪些是線性定常或時變系統(tǒng)，哪些是非線性系統(tǒng)（１）；（２）；（３）；（４）；（５）；（６）；（７）解：（1）因為c(t)的表達(dá)式中包含變量的二次項，所以該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。（2）因為該微分方程不含變量及其導(dǎo)數(shù)的高次冪或乘積項，且各項系數(shù)均為常數(shù)，所以該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)。（3）該微分方程不含變量及其導(dǎo)數(shù)的高次冪或乘積項，所以該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，但第一項的系數(shù)為t，是隨時間變化的變量，因此該系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。（4）因為c(t)的表達(dá)式中r(t)的系數(shù)為非線性函數(shù)，所以該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。（5）因為該微分方程不含變量及其導(dǎo)數(shù)的高次冪或乘積項，且各項系數(shù)均為常數(shù)，所以該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)。（6）因為c(t)的表達(dá)式中包含變量的二次項，表示二次曲線關(guān)系，所以該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。（7）因為c(t)的表達(dá)式可寫為，其中，所以該系統(tǒng)可看作是線性時變系統(tǒng)。第二章2-3試證明圖2-5(ａ)的電網(wǎng)絡(luò)與(b)的機械系統(tǒng)有相同的數(shù)學(xué)模型。分析首先需要對兩個不同的系統(tǒng)分別求解各自的微分表達(dá)式，然后兩者進行對比，找出兩者之間系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。對于電網(wǎng)絡(luò)，在求微分方程時，關(guān)鍵就是將元件利用復(fù)阻抗表示，然后利用電壓、電阻和電流之間的關(guān)系推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，然后變換成微分方程的形式，對于機械系統(tǒng)，關(guān)鍵就是系統(tǒng)的力學(xué)分析，然后利用牛頓定律列出系統(tǒng)的方程，最后聯(lián)立求微分方程。證明：(a)根據(jù)復(fù)阻抗概念可得：即取A、B兩點進行受力分析，可得：整理可得：經(jīng)比較可以看出，電網(wǎng)絡(luò)（a）和機械系統(tǒng)（b）兩者參數(shù)的相似關(guān)系為2-5設(shè)初始條件均為零，試用拉氏變換法求解下列微分方程式，并概略繪制x(t)曲線，指出各方程式的模態(tài)。(1)(２)2-7由運算放大器組成的控制系統(tǒng)模擬電路如圖2-6所示，試求閉環(huán)傳遞函數(shù)Uｃ(ｓ)／Ｕｒ(ｓ)。圖2-6控制系統(tǒng)模擬電路解：由圖可得聯(lián)立上式消去中間變量U1和U2,可得：2-8某位置隨動系統(tǒng)原理方塊圖如圖2-7所示。已知電位器最大工作角度，功率放大級放大系數(shù)為K3,要求：(1)分別求出電位器傳遞系數(shù)K0、第一級和第二級放大器的比例系數(shù)K1和K2；(2)畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖；(3)簡化結(jié)構(gòu)圖，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。圖2-7位置隨動系統(tǒng)原理圖分析：利用機械原理和放大器原理求解放大系數(shù)，然后求解電動機的傳遞函數(shù)，從而畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：（1）（2）假設(shè)電動機時間常數(shù)為Tm，忽略電樞電感的影響，可得直流電動機的傳遞函數(shù)為式中Km為電動機的傳遞系數(shù)，單位為。又設(shè)測速發(fā)電機的斜率為，則其傳遞函數(shù)為由此可畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：----（3）簡化后可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2-9若某系統(tǒng)在階躍輸入r(t)=1(t)時，零初始條件下的輸出響應(yīng)，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)。分析：利用拉普拉斯變換將輸入和輸出的時間域表示變成頻域表示，進而求解出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，然后對傳遞函數(shù)進行反變換求出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。解：（1），則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（2）系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)2-10試簡化圖2-9中的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。圖2-9題2-10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖分析：分別假定R(s)=0和N(s)=0，畫出各自的結(jié)構(gòu)圖，然后對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖進行等效變換，將其化成最簡單的形式，從而求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：（a）令N（s）＝0，簡化結(jié)構(gòu)圖如圖所示：可求出：令R（s）＝0，簡化結(jié)構(gòu)圖如圖所示：所以：（b）令N（s）＝0，簡化結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：RCRCRCRCRCRC所以：令R（s）＝0，簡化結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：NCNC2-12試用梅遜增益公式求圖2-8中各系統(tǒng)信號流圖的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。圖2-11題2-12系統(tǒng)信號流圖解：存在三個回路：存在兩條前向通路：所以：（b）9個單獨回路：6對兩兩互不接觸回路：三個互不接觸回路1組：4條前向通路及其余子式：所以，第三章3-4已知二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：試求系統(tǒng)的超調(diào)量σ％、峰值時間ｔp和調(diào)節(jié)時間ｔs。解：依題意時，并且是使第一次為零的時刻()可見，當(dāng)?shù)谝淮螢?時，，所以根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義：，即，得所以：3-5設(shè)圖3-3是簡化的飛行控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，試選擇參數(shù)K１和Kt，使系統(tǒng)ωｎ＝６、ζ＝１。圖3-3飛行控制系統(tǒng)分析：求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)，如果可化為典型二階環(huán)節(jié)形式，則可與標(biāo)準(zhǔn)二階環(huán)節(jié)相對照，從而確定相應(yīng)參數(shù)。解對結(jié)構(gòu)圖進行化簡如圖所示。故系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為和標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)對照后可以求出：3-7已知系統(tǒng)特征方程如下，試求系統(tǒng)在s右半平面的根數(shù)及虛根值。分析系統(tǒng)在右半平面的根數(shù)即為勞思表第一列符號改變的次數(shù)，虛根值可通過構(gòu)造輔助函數(shù)求得。解由系統(tǒng)特征方程，列勞思表如下：（出現(xiàn)了全零行，要構(gòu)造輔助方程）由全零行的上一行構(gòu)造輔助方程，對其求導(dǎo)，得故原全零行替代為表中第一列元素變號兩次，故右半s平面有兩個閉環(huán)極點，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對輔助方程化簡得①由得余因式為②求解①、②，得系統(tǒng)的根為所以，系統(tǒng)有一對純虛根。3-9已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)（1）（２）（３）試求輸入分別為和時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。分析：用靜態(tài)誤差系數(shù)法求穩(wěn)態(tài)誤差比用誤差傳遞函數(shù)求解更方便。對復(fù)雜的輸入表達(dá)式，可分解為典型輸入函數(shù)的線性組合，再利用靜態(tài)誤差系數(shù)法分別求各典型輸入引起的誤差，最后疊加起來即為總的誤差。解（1）判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性可見，勞思表中首列系數(shù)全部大于零，該系統(tǒng)穩(wěn)定。求穩(wěn)態(tài)誤差K＝100/5=20,系統(tǒng)的型別，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，，判斷穩(wěn)定性勞斯表中首列系數(shù)全部大于零，該系統(tǒng)穩(wěn)定。求穩(wěn)態(tài)誤差K＝10/100=,系統(tǒng)的型別，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，3-11設(shè)隨動系統(tǒng)的微分方程為其中，T１、Ｔ２和K２為正常數(shù)。若要求r(t)=1+t時，c(t)對r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差不大于正常數(shù)ε０，試問K１應(yīng)滿足什么條件分析：先求出系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)，再利用穩(wěn)態(tài)誤差計算公式，根據(jù)題目要求確定參數(shù)。解：對方程組進行拉普拉斯變換，可得按照上面三個公式畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：k1k1RCuB定義誤差函數(shù)所以令，可得，因此，當(dāng)時，滿足條件。第四章4-4設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖(要求確定分離點坐標(biāo)d)：(1)（2）解：(1)，n＝3，根軌跡有3條分支；起點：p1＝0，p2＝-2，p3＝-5；沒有零點，終點：3條根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)處。實軸上的根軌跡：[-2,0],(];漸進線：，；分離點：求解得：（舍去），；作出根軌跡如圖所示：(2)，n＝2，根軌跡有2條分支；起點：p1＝0，p2＝，；終點：，條根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)處。實軸上的根軌跡：[,0],(];分離點：求解得：，；作出根軌跡如圖所示：4-6設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求：確定產(chǎn)生純虛根為±ｊ1的ｚ值和值。解：令代入，并令其實部、虛部分別為零，即：，解得：畫出根軌跡如圖所示：4-10設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)要求：(1)畫出準(zhǔn)確根軌跡(至少校驗三點)；(2)確定系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定開環(huán)增益Kｃ；(3)確定與系統(tǒng)臨界阻尼比相應(yīng)的開環(huán)增益K。分析：利用解析法，采用逐個描點的方法畫出系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡。然后將代入特征方程中，求解純虛根的開環(huán)增益，或是利用勞斯判據(jù)求解臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益。對于臨界阻尼比相應(yīng)的開環(huán)增益即為實軸上的分離點對應(yīng)的開環(huán)增益。解：（1）n＝3，根軌跡有3條分支,且均趨于無窮遠(yuǎn)處；實軸上的根軌跡：[-50,0],(00];漸進線：，；分離點：求解得：，（舍去）；作出根軌跡如圖所示：（2）臨界開環(huán)增益為根軌跡與虛軸交點對應(yīng)的開環(huán)增益。令，代入，并令其實部、虛部分別為零，即，解得：（舍去）（3）系統(tǒng)處于臨界阻尼比，相應(yīng)閉環(huán)根位于分離點處，即要求分離點d對應(yīng)的K值。將s＝d＝代入幅值條件：4-14設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出b從零變到無窮時的根軌跡圖。(1)（２）解：（1）做等效開環(huán)傳遞函數(shù)n=2,有2條根軌跡分支，n-m=1條趨于無窮遠(yuǎn)處；實軸上的根軌跡：(];分離點整理得出射角：根軌跡如圖所示：（2）做等效開環(huán)傳遞函數(shù)n=2,有2條根軌跡分支，且均趨于無窮遠(yuǎn)處；實軸上的根軌跡：[];分離點整理得根軌跡如圖所示：第五章5-2若系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為試確定系統(tǒng)的頻率特性。分析先求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)，用替換s即可得到頻率特性。解：從中可求得：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換之間的關(guān)系為即其中為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，又則令，則系統(tǒng)的頻率特性為5-7已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為;（Ｋ、Ｔ1、Ｔ2＞０）當(dāng)取ω＝１時，,|Ｇ(ｊω)|＝０.５。當(dāng)輸入為單位速度信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，試寫出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表達(dá)式G(ｊω)。分析：根據(jù)系統(tǒng)幅頻和相頻特性的表達(dá)式，代入已知條件，即可確定相應(yīng)參數(shù)。解：由題意知：因為該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，且輸入為單位速度信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，即所以：當(dāng)時，由上兩式可求得，因此5-14已知下列系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)(參數(shù)K、T、Tｉ＞０，ｉ＝１，2，…，６)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)其系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線分別如圖5-6(1)～(10)所示，試根據(jù)奈氏判據(jù)判定各系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，若系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，確定其s右半平面的閉環(huán)極點數(shù)。圖5-6題5-8系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線分析：由開環(huán)傳遞函數(shù)可知系統(tǒng)在右半平面開環(huán)極點個數(shù)P，由幅相曲線圖可知包圍點（）的圈數(shù)。解：（1）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有2個根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有2個根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（4）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根，系統(tǒng)穩(wěn)定。（5）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有2個根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（6）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根，系統(tǒng)穩(wěn)定。（7）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根，系統(tǒng)穩(wěn)定。（8）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根，系統(tǒng)穩(wěn)定。（9）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有1個根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（10）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有2個根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-21設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定相角裕度為45°時參數(shù)ａ的值。分析：根據(jù)相角裕度的定義計算相應(yīng)的參數(shù)值。解：開環(huán)幅相曲線如圖所示以原點為圓心做單位圓，開環(huán)幅相曲線與單位圓交于A點，在A點有①即要求相角裕度，即