重難點12 解三角形的最值和范圍問題（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數學一輪復習專練（新高考專用）

重難點12解三角形的最值和范圍問題【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】 2【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】 3【題型3三角形周長的最值或范圍問題】 4【題型4三角形的角（角的三角函數值）的最值或范圍問題】 5【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】 6【題型6轉化為三角函數求最值（范圍）】 7【題型7轉化為其他函數求最值（范圍）】 8【題型8“坐標法”求最值（范圍）】 9【題型9與平面向量有關的最值（范圍）問題】 101、解三角形的最值和范圍問題解三角形中的最值或范圍問題，通常涉及與邊長、周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，一直是高考的熱點與重點，有時也會與三角函數、平面向量等知識綜合考查，主要是利用三角函數、正余弦定理、三角形面積公式、基本不等式等工具研究三角形問題，解決此類問題的關鍵是建立起角與邊的數量關系.【知識點1三角形中的最值和范圍問題】1．三角形中的最值（范圍）問題的常見解題方法：(1)利用正、余弦定理結合三角形中的不等關系求最值（范圍）；(2)利用基本不等式求最值（范圍）；(3)轉化為三角函數求最值（范圍）；(4)轉化為其他函數求最值（范圍）；(5)坐標法求最值（范圍）.2．三角形中的最值（范圍）問題的解題策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的邊長、周長或面積的最值（范圍）問題的核心，要牢牢掌握并靈活運用．解題時要結合正弦定理和余弦定理實現邊角互化，再結合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等研究其最值（范圍）．(2)轉化為三角函數求最值（范圍）問題的解題策略三角形中最值(范圍)問題，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍.(3)坐標法求最值（范圍）求最值（范圍）問題的解題策略“坐標法”也是解決三角形最值問題的一種重要方法.解題時，要充分利用題設條件中所提供的特殊邊角關系，建立合適的直角坐標系，正確求出關鍵點的坐標，將所要求的目標式表示出來并合理化簡，再結合三角函數、基本不等式等知識求其最值．【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】【例1】（2024·河北石家莊·三模）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,c=4,ab=9．(1)若sinC=23(2)求△ABC面積的最大值．【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）記銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosA=3(1)求A.(2)求△ABC面積的取值范圍.【變式1-2】（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在平面內，四邊形ABCD滿足B，D點在AC的兩側，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，設∠ABC=α.

(1)當α=π3時，求(2)當α變化時，求四邊形ABCD面積的最大值.【變式1-3】（2024·上?！と＃┮阎鰽BC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3a=2c(1)求sinC(2)若c=3，求△ABC面積S的最大值．【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】【例2】（2024·四川·三模）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2csin(1)求A；(2)若△ABC的面積為163，D為AC的中點，求BD【變式2-1】（2024·江西·模擬預測）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c，且tanA=(1)若B=π6，求(2)若a=2，求b+c的取值范圍．【變式2-2】（2024·廣東廣州·三模）在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=bsin(1)求A；(2)若D是邊BC上一點（不包括端點），且∠ABD=∠BAD，求CDBD【變式2-3】（2024·江西鷹潭·二模）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a，b，c，滿足1?sin(1)求證：A+2B=π(2)求a2【題型3三角形周長的最值或范圍問題】【例3】（2024·安徽淮北·二模）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知c?b=2c(1)試判斷△ABC的形狀；(2)若c=1，求△ABC周長的最大值.【變式3-1】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知在△ABC中，D為BC邊的中點，且AD=5(1)若△ABC的面積為2，cos∠ADC=55(2)若AB2+A【變式3-2】（2024·云南曲靖·二模）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且acos(1)求角B的取值范圍；(2)已知△ABC內切圓的半徑等于32，求△ABC【變式3-3】（2024·湖南常德·一模）已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別是a,b,c，且acos(1)判斷△ABC的形狀；(2)若△ABC的外接圓半徑為2，求△ABC周長的最大值.【題型4三角形的角（角的三角函數值）的最值或范圍問題】【例4】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c．若a=3,b=2，則B+C的取值范圍是（A．2π3,C．5π6,【變式4-1】（2024·內蒙古呼和浩特·二模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若1b2+54A．13 B．23 C．29【變式4-2】（2024·陜西寶雞·二模）△ABC中，D為BC邊的中點，AD=1.(1)若△ABC的面積為23，且∠ADC=2π(2)若BC=4，求cos∠BAC【變式4-3】（2024·北京石景山·一模）在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且2bsin(1)求角B的大??；(2)求cosA+【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】【例5】（2024·山西太原·三模）已知△ABC中，A=120°，D是BC的中點，且AD=1，則△ABCA．3 B．23 C．1 【變式5-1】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a=3,BC邊上中線AD長為1，則bc最大值為（A．74 B．72 C．3 【變式5-2】（2024·安徽合肥·二模）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知c=2,1tanA+1A．1+2 B．1+3 C．22【變式5-3】（2024·浙江臺州·二模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acosC=2ccosA，則A．3 B．32 C．32【題型6轉化為三角函數求最值（范圍）】【例6】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin2(1)求角A的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，點F為△ABC的垂心，AF=6，求CF+BF的取值范圍.【變式6-1】（2024·遼寧·模擬預測）已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c?(1)求A；(2)若△ABC為銳角三角形，且b=6，求△ABC的周長l的取值范圍．【變式6-2】（2024·河北衡水·一模）在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，三角形面積為S，若D為AC邊上一點，滿足AB⊥BD,BD=2，且a2(1)求角B；(2)求2AD【變式6-3】（2024·福建漳州·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=π2，B=π(1)若BC=42，AD=22，求(2)若D=2π3【題型7轉化為其他函數求最值（范圍）】【例7】（2024·四川成都·模擬預測）設銳角△ABC的三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且c=2,B=2C，則a+b的取值范圍為（

）A．2,10 B．2+22,10 C．2+22【變式7-1】（2024·全國·模擬預測）已知△ABC是銳角三角形，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c．若a2?b2=bcA．33,22 B．2?3,1【變式7-2】（2023·全國·模擬預測）已知△ABC為銳角三角形，其內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cosB=(1)求ba(2)若a=1，求△ABC周長的取值范圍.【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，(1)求a的值；(2)若D為線段BC上一點且滿足BD=1,DA平分∠BAC，求△ABC的面積的取值范圍.【題型8“坐標法”求最值（范圍）】【例8】（23-24高一下·四川宜賓·期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=60°，∠ADC=150°，BE=3EC，CD=233，BE=3，若點F為邊AD上的動點，則

A．1 B．1516 C．3132【變式8-1】（2023·安徽馬鞍山·模擬預測）已知平行四邊形ABCD中，∠ADC=60°，E，F分別為邊AB，BC的中點，若DE?DF=13，則四邊形ABCDA．2 B．23 C．4 D．【變式8-2】（2023·全國·模擬預測）在等腰△ABC中，角A，B，C所對應的邊為a，b，c，B=C=π6，a=23，P是△ABC外接圓上一點，則PAA．?3,23 B．?1,33 C．?2,30 D．?4,20【變式8-3】（2024·江西南昌·三模）如圖，在扇形OAB中，半徑OA=4，∠AOB=90°，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是（

）A．8,12 B．8C．8,82 D．【題型9與平面向量有關的最值（范圍）問題】【例9】（2023·河南開封·三模）已知e1、e2為單位向量，e1?e2=3，非零向量A．7 B．7?1 C．3 D．【變式9-1】（23-24高三上·北京通州·期末）在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°,E是BC的中點，F是CD上一點（不與C，D重合），DE與AF交于G，則AGA．0,23 B．0,43 C．【變式9-2】（2024·福建泉州·模擬預測）已知平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=4，B=2π3，若以C為圓心的圓與對角線BD相切，P是圓C上的一點，則BDA．8?23 B．4+23 C．12?43【變式9-3】（2023·福建廈門·二模）在△AOB中，已知OB=2，AB=1，∠AOB=45°，若OP=λOA+μOB，且λ+2μ=2，μ∈0,1，則OA在OP上的投影向量為meA．?22,1 B．22,1 一、單選題1．（2024·江蘇連云港·模擬預測）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=1，bcosA=1+cosB，則邊A．0,1 B．1,2 C．0,2 D．2,32．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知△ABC角A、B、C的對邊分別為a、b、c滿足2ba?c=sinA+sinA．π6 B．π4 C．π33．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知在同一平面內的三個點A，B，C滿足AB=2，CACA?CBCBA．0,1 B．0,2 C．0,3 D．4．（2024·河南·三模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若acosA+bcosA．43 B．83 C．25．（2024·河南·模擬預測）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足b3+c3b+c=aA．12,24 B．20,24 C．12,24 D．20,246．（2024·江西·二模）在△ABC中，若sinA=2cosBcosCA．1,65 B．1,2+12 7．（2024·全國·二模）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2acosA=bcosC+ccosB，且a=4A．42 B．62 C．438．（2024·陜西咸陽·三模）為了進一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”O(jiān)PQ中，準備修一條三角形健身步道OAB，已知扇形的半徑OP=3，圓心角∠POQ=π3，A是扇形弧上的動點，B是半徑OQ上的動點，AB//OP，則△OAB面積的最大值為（A．334 B．34 C．3二、多選題9．（2024·江蘇南京·二模）已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，O為△ABC的重心，cosA=15，AO=2A．AO=13C．△ABC的面積的最大值為36 D．a的最小值為10．（2024·湖南·二模）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且c=b2cosA+1A．A=2BB．若a=3b，則C．若△ABC為銳角三角形，1tanD．若△ABC為銳角三角形，則ca的取值范圍為11．（2024·河北邯鄲·三模）已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，面積為34a2A．cosAcosB．若D為邊AC的中點，且BD=1，則△ABC的面積的最大值為3C．若△ABC是銳角三角形，則ac的取值范圍是D．若角B的平分線BE與邊AC相交于點E，且BE=3，則a+4c三、填空題12．（2024·北京·三模）在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，且a+c=2b，則角B的取值范圍為．13．（2024·陜西安康·模擬預測）在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若b=2，2acosC=2cos14．（2024·江蘇鹽城·一模）在△ABC中，已知AB=2，BC=3，點P在△ABC內，且滿足CP=2，∠APC+∠ABC=π，則四邊形ABCP面積的最大值為四、解答題15．（2024·山東菏澤·模擬預測）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知AB(1)若λ=1，判斷△ABC的形狀；(2)若λ=12，求16．