重難點12 解三角形的最值和范圍問題（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點12解三角形的最值和范圍問題【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】 2【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】 5【題型3三角形周長的最值或范圍問題】 8【題型4三角形的角（角的三角函數(shù)值）的最值或范圍問題】 12【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】 15【題型6轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）】 17【題型7轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）】 21【題型8“坐標法”求最值（范圍）】 25【題型9與平面向量有關(guān)的最值（范圍）問題】 291、解三角形的最值和范圍問題解三角形中的最值或范圍問題，通常涉及與邊長、周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，一直是高考的熱點與重點，有時也會與三角函數(shù)、平面向量等知識綜合考查，主要是利用三角函數(shù)、正余弦定理、三角形面積公式、基本不等式等工具研究三角形問題，解決此類問題的關(guān)鍵是建立起角與邊的數(shù)量關(guān)系.【知識點1三角形中的最值和范圍問題】1．三角形中的最值（范圍）問題的常見解題方法：(1)利用正、余弦定理結(jié)合三角形中的不等關(guān)系求最值（范圍）；(2)利用基本不等式求最值（范圍）；(3)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）；(4)轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）；(5)坐標法求最值（范圍）.2．三角形中的最值（范圍）問題的解題策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的邊長、周長或面積的最值（范圍）問題的核心，要牢牢掌握并靈活運用．解題時要結(jié)合正弦定理和余弦定理實現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等研究其最值（范圍）．(2)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）問題的解題策略三角形中最值(范圍)問題，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍.(3)坐標法求最值（范圍）求最值（范圍）問題的解題策略“坐標法”也是解決三角形最值問題的一種重要方法.解題時，要充分利用題設條件中所提供的特殊邊角關(guān)系，建立合適的直角坐標系，正確求出關(guān)鍵點的坐標，將所要求的目標式表示出來并合理化簡，再結(jié)合三角函數(shù)、基本不等式等知識求其最值．【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】【例1】（2024·河北石家莊·三模）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,c=4,ab=9．(1)若sinC=23(2)求△ABC面積的最大值．【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理可得sinA=a6（2）利用基本不等式可得a2+b2≥2ab=18，再根據(jù)余弦定理可得cos【解答過程】（1）由正弦定理csinC=∴（2）∵ab=9，∴a由余弦定理可得cosC=∴19≤∴0<sinC≤4當且僅當a=b=3時，等號成立，此時△ABC面積取得最大值25【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）記銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosA=3(1)求A.(2)求△ABC面積的取值范圍.【解題思路】（1）方法一：由余弦定理角化邊求解；方法二：由正弦定理邊化角求解.（2）利用正弦定理得b=csinBsinC=3【解答過程】（1）方法一：由余弦定理，得b×b2+又2asinC=3，所以由正弦定理，得又△ABC為銳角三角形，所以A=π方法二：由題意知，bcos由正弦定理得sinB所以sinB所以sinB+A=2sin又因為sinC≠0，所以sinA=12，又因為（2）由正弦定理，得b=csinBsin因為△ABC為銳角三角形，所以0<C<π解得π3<C<π2，所以因為c=3，所以S△ABC=故△ABC面積的取值范圍為33【變式1-2】（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在平面內(nèi)，四邊形ABCD滿足B，D點在AC的兩側(cè)，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，設∠ABC=α.

(1)當α=π3時，求(2)當α變化時，求四邊形ABCD面積的最大值.【解題思路】（1）在△ABC中，由余弦定理可得AC的值；（2）由余弦定理可得AC2的表達式，進而求出正三角形ACD的面積的表達式，進而求出四邊形ABCD的面積的表達式，由輔助角公式及【解答過程】（1）因為AB=1，BC=2，B=π由余弦定理可得：AC=A（2）由余弦定理可得AC因為△ACD為正三角形，所以S△ACDS△ABC所以S四邊形因為α∈0,π，所以所以sinα?所以S四邊形故當α=5π6時，四邊形ABCD【變式1-3】（2024·上?！と＃┮阎鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3a=2c(1)求sinC(2)若c=3，求△ABC面積S的最大值．【解題思路】（1）由正弦定理即可得sinC=（2）由余弦定理結(jié)合重要不等式可得ab取值范圍，再由三角形的面積公式S△ABC【解答過程】（1）由題意可知，3a=2c由正弦定理得3sin因為A，C∈(0,π即sinC=（2）由（1）可知sinC=所以C=π3或在△ABC中，由余弦定理得AB當C=π3時，9=b當且僅當a=b=3時取等號，即ab≤9，故△ABC的面積S△ABC當C=2π3時，9=b當且僅當a=b=3時取等號，即ab≤3故△ABC的面積S△ABC綜上所述，△ABC的面積最大值為93【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】【例2】（2024·四川·三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2csin(1)求A；(2)若△ABC的面積為163，D為AC的中點，求BD【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理進行邊化角得cosA=12（2）利用三角形面積公式得bc=64，再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值.【解答過程】（1）因為2csin由正弦定理可得2sin又C∈(0,π)，B∈(0,π)，故所以cosA=12，又A∈(0,（2）S△ABC=1在△BAD中，由余弦定理BD2=B=c2+當且僅當c=b∴BD的最小值為42【變式2-1】（2024·江西·模擬預測）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c，且tanA=(1)若B=π6，求(2)若a=2，求b+c的取值范圍．【解題思路】（1）由tanA=cosB?sinC（2）利用正弦定理求出b,c，再根據(jù)A,B的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【解答過程】（1）因為tanA=cosB?即sinA即sinA所以sinA+C=cos而A,B∈(0,π)，所以B+A+B=所以A+2B=π2或又因為B=π6，所以所以C=2（2）由（1）得A+2B=π因為asin所以b=ac=a則b+c=2又由0<B<π0<π所以π4<B+π所以b+c∈2,+【變式2-2】（2024·廣東廣州·三模）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=bsin(1)求A；(2)若D是邊BC上一點（不包括端點），且∠ABD=∠BAD，求CDBD【解題思路】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理，化簡得到sinA2=（2）設∠ABD=∠BAD=x0<x<π3，在△ACD【解答過程】（1）∵c=bsinA2又A+B+C=π，可得sin∴sin∴sinBcosA=sin可得cosA=sinA2，所以1?2sin∵0<A<π2，所以sinA（2）設∠ABD=∠BAD=x0<x<π3∵∠ABD=∠BAD，∴AD=BD，在△ACD中，由正弦定理得CDBD因為△ABC為銳角三角形，所以0<x<π3且0<2所以tanx∈33,3，可得3【變式2-3】（2024·江西鷹潭·二模）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a，b，c，滿足1?sin(1)求證：A+2B=π(2)求a2【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡得到sinA+B（2）由（1）知A=π2?2B且C=【解答過程】（1）證明：由1?sinAcosA=所以sinA+B因為A,B為三角形的內(nèi)角，可得A+B=π2?B（2）解：由（1）知A=π2?2B所以a所以a2+b所以a2+b【題型3三角形周長的最值或范圍問題】【例3】（2024·安徽淮北·二模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知c?b=2c(1)試判斷△ABC的形狀；(2)若c=1，求△ABC周長的最大值.【解題思路】（1）根據(jù)題意，求得cosA=bc（2）由（1）和c=1，得到a=sinA,??b=cos【解答過程】（1）解：由c?b=2csin2A2，可得即12?cos又由余弦定理得b2+c2?所以△ABC是直角三角形（2）解：由（1）知，△ABC是直角三角形，且c=1，可得a=sin所以△ABC周長為1+sin因為A∈0,π2所以，當A=π4時，即△ABC為等腰直角三角形，周長有最大值為【變式3-1】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知在△ABC中，D為BC邊的中點，且AD=5(1)若△ABC的面積為2，cos∠ADC=55(2)若AB2+A【解題思路】（1）根據(jù)題意，利用三角形的面積公式，求得BD=1，由余弦定理，求得AB=22，再由正弦定理求得sinB=2（2）設CD=BD=x，分別在△ABD和△ACD中，利用余弦定理，列出方程求得x=2，結(jié)合AB+AC2【解答過程】（1）解：因為△ABC的面積為2，且D為BC的中點，可得S△ABD又因為sin∠ADB=sin∠ADC=2在△ABD中，由余弦定理得A=(5)由正弦定理ABsin∠ADB=因為∠ADC+∠ADB=π且cos可得cos∠ADB=即∠ADB為鈍角，所以B為銳角，所以B=π（2）解：設CD=BD=x，分別在△ABD和△ACD中，由余弦定理AB即AB2=所以AB2+A又因為AB+AC2≤2A所以AB+AC≤6，所以△ABC周長的最大值為10．【變式3-2】（2024·云南曲靖·二模）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且acos(1)求角B的取值范圍；(2)已知△ABC內(nèi)切圓的半徑等于32，求△ABC【解題思路】（1）由正弦定理可得sinAcosC+3sin（2）由三角形的面積可求得a=?b?c+bc，結(jié)合余弦定理可得(bc)2?2bc(b+c)+(b+c)2=△ABC的周長L=a+b+c=b2+c2?2bccosA+b+c【解答過程】（1）∵a由正弦定理得：sinA∴sinAcos∴3∵sin∵?π6<A?π6∴角B的取值范圍是0,2（2）∵S=1∴a+b+c=bc，即a=?b?c+bc，由余弦定理得：a2∴(bc)∴bc=2b+c?3.∵bc≤b+c22∴2(b+c)?3≤(b+c)24,∴b+c≤2設△ABC與圓內(nèi)切于點D,E,F，則AD=AF=r·tan∴b+c=AC+AB>AD+AF=3∴b+c≥6（當且僅當b=c=3時取等號）.△ABC的周長L=a+b+c=b==32(b+c)≥9∴L∵c=AB>DB=r∴B→0時，c→+∞，L→+∴△ABC的周長的取值范圍是9,+∞【變式3-3】（2024·湖南常德·一模）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，且acos(1)判斷△ABC的形狀；(2)若△ABC的外接圓半徑為2，求△ABC周長的最大值.【解題思路】（1）使用正弦定理對條件進行邊化角，再用三角恒等變換證明B=C；（2）先用基本不等式證明sinA+sinB+【解答過程】（1）由正弦定理并結(jié)合已知有sinB故sinBcosC=由于B,C∈0,π，從而B?C∈?π,π，故由（2）設△ABC的外接圓半徑為R.一方面，我們有sin==≤==?=?3故a+b+c=2Rsin另一方面，當△ABC是邊長為6的等邊三角形時，有a=b=c=6，A=B=C=此時acosC=61所以△ABC周長的最大值是36【題型4三角形的角（角的三角函數(shù)值）的最值或范圍問題】【例4】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c．若a=3,b=2，則B+C的取值范圍是（A．2π3,C．5π6,【解題思路】先根據(jù)邊的關(guān)系求出c的范圍，然后表示出cosA，求出其范圍進而可得A的范圍，則B+C【解答過程】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得2?3即cosA=由對勾函數(shù)y=x+1x單調(diào)性可知，其在2?3即cosA=14c+1故選：B.【變式4-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若1b2+54A．13 B．23 C．29【解題思路】由題意化簡可得c2?a2=54b2【解答過程】由1b2+54由余弦定理得cosA=b2所以cosAcosC=9b由cosC=?b8c<0，知C為鈍角，所以所以tanA?當且僅當tanA=19所以當tanA=13時，tan故選：B.【變式4-2】（2024·陜西寶雞·二模）△ABC中，D為BC邊的中點，AD=1.(1)若△ABC的面積為23，且∠ADC=2π(2)若BC=4，求cos∠BAC【解題思路】（1）由S△ADC=12S△ABC，利用面積公式求出DC，在（2）設∠ADC=θ，θ∈0,π，分別利用余弦定理表示出AB2、【解答過程】（1）因為D為BC邊的中點，所以S△ADC又S△ADC=12AD?DC在△ADC中由余弦定理AC即AC2=在△ADC中由正弦定理ACsin∠ADC=ADsin（2）設∠ADC=θ，θ∈0,在△ADB中由余弦定理AB即AB在△ADC中由余弦定理AC即AC在△ABC中由余弦定理cos∠BAC=因為θ∈0,π，所以cos2所以25?16cos所以125?16所以?325?16cos2θ【變式4-3】（2024·北京石景山·一模）在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且2bsin(1)求角B的大??；(2)求cosA+【解題思路】（1）由正弦定理邊化角求解即可；（2）由（1）可知B=π3，所以A+C=2π【解答過程】（1）因為2bsin2sinBsin由于在△ABC中，sinA≠0，所以2即sinB=32，又0<B<（2）由（1）可知B=π3，所以所以cos=由于在銳角△ABC中，0<2π3所以π3<A+π所以32<sinA+π【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】【例5】（2024·山西太原·三模）已知△ABC中，A=120°，D是BC的中點，且AD=1，則△ABCA．3 B．23 C．1 【解題思路】利用中線得到4=b2+【解答過程】因為A=120°，因為AD是中線，所以AD=12所以4=b2+△ABC面積為S=1故選：A.【變式5-1】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a=3,BC邊上中線AD長為1，則bc最大值為（A．74 B．72 C．3 【解題思路】根據(jù)兩角互補余弦值之和等于0，然后分別在三角形中利用余弦定理求出兩角的余弦，列出方程求出b2【解答過程】由題意得∠ADB+∠ADC=π所以cos∠ADB+又a=3，且D是BC的中點，所以DB=DC=在△ABD中，cos∠ADB=在△ADC中，cos∠ADC=所以cos∠ADC+即b2+c2=故選：A.【變式5-2】（2024·安徽合肥·二模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知c=2,1tanA+1A．1+2 B．1+3 C．22【解題思路】由題意及正切與正弦與余弦的關(guān)系，兩角和的正弦公式及余弦公式可得角C的大小，再由余弦定理及基本不等式可得ab的最大值，進而求出該三角形的面積的最大值．【解答過程】因為1tanA+即sinA整理可得sinA即sin(A+B)=?在三角形中sin(A+B)=sinC即sinC=cosC，C∈0,由余弦定理可得c2=b而c=2，所以ab≤4所以S△ABC即該三角形的面積的最大值為1+2故選：A．【變式5-3】（2024·浙江臺州·二模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acosC=2ccosA，則A．3 B．32 C．32【解題思路】根據(jù)題意，由余弦定理代入化簡，再由基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】由余弦定理可知，cosC=由acosC=2ccos化簡可得a2所以3a2=即bca當且僅當bc=3c所以bca2的最大值為故選：C.【題型6轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）】【例6】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin2(1)求角A的大小；(2)若△ABC為銳角三角形，點F為△ABC的垂心，AF=6，求CF+BF的取值范圍.【解題思路】（1）由正弦定理及余弦定理可得cosA的值，再由角A的范圍，可得角A（2）設∠FAB=α，分別在兩個三角形中，由正弦定理可得BF，CF的表達式，由輔助角公式可得BF+CF的取值范圍．【解答過程】（1）因為sin2所以sin2所以sin2由正弦定理可得b2由余弦定理可得cosA=b2可得A=π（2）延長AF交BC于D，延長BF交AC于E，延長CF交AB于P，AF=6，根據(jù)題意可得BC⊥AD，BE⊥AC，因為∠CAB=π3，所以設∠FAB=α，α∈(0,π3)，在△ABF即612=同理在△CFA中，可得CF=12sin所以BF+CF=12[=12(12sin因為α∈(0,π3)所以sin(α+所以BF+CF∈(63【變式6-1】（2024·遼寧·模擬預測）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c?(1)求A；(2)若△ABC為銳角三角形，且b=6，求△ABC的周長l的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理，即可求得答案；（2）利用正弦定理求出a,c的表達式，根據(jù)△ABC為銳角三角形確定B的范圍，求出三角形周長的表達式并化簡，結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【解答過程】（1）由題意知△ABC中，c?3即c?3bc=故cosA=b2（2）由（1）知B+C=56π故由正弦定理得asinAc=6由△ABC為銳角三角形，則C=5π6故△ABC的周長l=a+b+c==6+3=6+33而tanB2∈(故△ABC的周長的取值范圍為(9+3【變式6-2】（2024·河北衡水·一模）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，三角形面積為S，若D為AC邊上一點，滿足AB⊥BD,BD=2，且a2(1)求角B；(2)求2AD【解題思路】（1）結(jié)合面積公式、正弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得tanB=?（2）在△BCD中由正弦定理可得DC=1sinC，在Rt△ABD中，可得AD=2【解答過程】（1）∵a∴a2=?由正弦定理得，sinA=?∴sin∴cos∵sinC≠0，由0<B<π，得B=（2）由（1）知，B=2因為AB⊥BD，所以∠ABD=π2，在△BCD中，由正弦定理得DCsin即DC=2在Rt△ABD中，AD=∴2∵∠ABC=2π3∴2∵0<C<π3，∴C+π所以2AD+1

【變式6-3】（2024·福建漳州·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=π2，B=π(1)若BC=42，AD=22，求(2)若D=2π3【解題思路】（1）在三角形ABC中，根據(jù)正弦定理求得AC,∠CAB，再在三角形ADC中，利用三角形面積公式即可求得結(jié)果；（2）設∠DAC=θ，在三角形ADC,ABC中分別用正弦定理表示BC,AD，從而建立BC?AD關(guān)于θ的三角函數(shù)，進而求三角函數(shù)的最大值，即可求得結(jié)果.【解答過程】（1）因為B=π6，△ABC的外接圓半徑為4，所以ACsin在△ABC中，BC=42，則BCsin∠CAB又∠CAB∈0,π2在△ACD中，AC=4，∠DAC=π2?∠CAB=所以SΔ（2）設∠DAC=θ，θ∈0,又D=2π3因為∠DAB=π2，所以在△DAC中，AC=4，由正弦定理得ACsin即432=4cos在△ABC中，AC=4，由正弦定理得ACsin即412=所以BC?AD=4cosθ+3又θ∈0,π3當且僅當θ+π3=π2所以BC?AD的最大值為83【題型7轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）】【例7】（2024·四川成都·模擬預測）設銳角△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且c=2,B=2C，則a+b的取值范圍為（

）A．2,10 B．2+22,10 C．2+22【解題思路】根據(jù)正弦定理，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，化簡后換元，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求范圍即可.【解答過程】在△ABC中，由B=2C可得A=π由正弦定理asinπ又△ABC為銳角三角形，所以0<A=π?3C<π令t=cosC∈2因為y=4t2+2t?1所以1+2<y<2+3故選：C.【變式7-1】（2024·全國·模擬預測）已知△ABC是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c．若a2?b2=bcA．33,22 B．2?3,1【解題思路】由余弦定理和正弦定理，結(jié)合正弦和角公式得到sinB=sin(A?B)，結(jié)合△ABC為銳角三角形，得到A=2B，故π【解答過程】因為a2?b由余弦定理得a2所以b2+bc=b由正弦定理得sinB=因為C=π?(A+B)，則所以sinB=sinA因為△ABC是銳角三角形，所以0<A<π2，0<B<π又y=sinx在?π2,因為△ABC是銳角三角形，所以0<B<π2，0<A=2B<π所以π6由正弦定理得b==1令cosB=t，因為π6<B<y=4t2+2t?1=4當t=22時，y=1+2，當t=故b故選：C．【變式7-2】（2023·全國·模擬預測）已知△ABC為銳角三角形，其內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cosB=(1)求ba(2)若a=1，求△ABC周長的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)△ABC為銳角三角形得到B=2A，并求出π6<A<π4，由正弦定理得到（2）由（1）知，b=2cosA，由正弦定理得到c=4cos2A?1，表達出△ABC【解答過程】（1）因為△ABC為銳角三角形，所以0<A<π2，0<B<π又因為cosB=cos2A由正弦定理得ba因為△ABC為銳角三角形，所以0<A<π20<B<解得π6所以22<cos所以ba的取值范圍為(（2）因為a=1，由（1）知，b=2cos由正弦定理asinA=sin故△ABC的周長a+b+c=4cos令t=cosA，由（1）知22因為函數(shù)y=4t2+2t=4所以△ABC周長的取值范圍為2+2【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，(1)求a的值；(2)若D為線段BC上一點且滿足BD=1,DA平分∠BAC，求△ABC的面積的取值范圍.【解題思路】（1）利用三角形面積公式，結(jié)合余弦定理，即可求得答案；（2）由題意結(jié)合正弦定理推出ABAC=BDDC=13【解答過程】（1）由題意知S△ABC=b故ab=b2?結(jié)合cosC=a2（2）由于BC=a=4,BD=1,DA平分∠BAC，故DC=3,∠BAD=∠CAD，故BDsin而∠ADB+∠ADC=π，即得AB設AB=x,AC=3x,(1<x<2)，則a2即16=9x2+故S=3當x2=52，即又1<x<2，滿足y=?(當x無限趨近于1或2時，y=?(故△ABC的面積的取值范圍為(0,3【題型8“坐標法”求最值（范圍）】【例8】（23-24高一下·四川宜賓·期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=60°，∠ADC=150°，BE=3EC，CD=233，BE=3，若點F為邊AD上的動點，則

A．1 B．1516 C．3132【解題思路】以B為原點建立平面直角坐標系，求得A(0,2),D(3,1),E(3,0)，設F(x,y)，令AF=λ【解答過程】以B為原點，以BC,BA所在的直線為x,y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，依題意得CE=13BE=在△BCD中，由余弦定理得BD=4所以BD2+CD2在△CDE中，由余弦定理得DE=(所以CE2+D因為∠ADC=150°，∠BDC=90°，故因為AB⊥BC，∠DBC=30°，所以所以在△ABD中，∠ABD=∠ADB=60所以△ABD為等邊三角形，所以AB=BD=2，所以A(0,2),D(3設F(x,y)，由題意令AF=λAD，即解得x=3λ,y=2?λ，所以所以EF?設fλ=4λ所以λ=78時，f(λ)取得最小值，即EF故選：B.

【變式8-1】（2023·安徽馬鞍山·模擬預測）已知平行四邊形ABCD中，∠ADC=60°，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，若DE?DF=13，則四邊形ABCDA．2 B．23 C．4 D．【解題思路】建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，設DA=a,DC=c，寫出各個點的坐標，將DE?DF=13【解答過程】以點D為原點，DA所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

設DA=a,DC=c，則D0,0所以DE=所以DE?從而13=a22+5ac四邊形ABCD面積的表達式為S=2?1從而S=3ac2所以四邊形ABCD面積的最大值為43故選：D.【變式8-2】（2023·全國·模擬預測）在等腰△ABC中，角A，B，C所對應的邊為a，b，c，B=C=π6，a=23，P是△ABC外接圓上一點，則PAA．?3,23 B．?1,33 C．?2,30 D．?4,20【解題思路】根據(jù)正弦定理求出△ABC外接圓半徑，建立平面直角坐標系，求出三角形頂點坐標，設P(2cosθ,2sin【解答過程】由題意等腰△ABC中，B=C=π6，故A=2π3，設△ABC外接圓半徑為R，則以△ABC的外接圓圓心為原點，以BC的垂直平分線為y軸，過點O作BC的平行線為x軸，建立平面直角坐標系，

則A0,2,B?3,1則PA=?2cos則PA?PA?故PA?因為sinθ∈[?1,1]，故14?16即PA?PB+故選：C.【變式8-3】（2024·江西南昌·三模）如圖，在扇形OAB中，半徑OA=4，∠AOB=90°，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是（

）A．8,12 B．8C．8,82 D．【解題思路】由于點E在弧上運動，引入恰當?shù)淖兞俊螦OE=2θ，從而表達∠ABE=θ，再利用正弦定理來表示邊，來求得周長關(guān)于角θ的函數(shù)，然后求出取值范圍；也可以建立以圓心為原點的坐標系，同樣設出動點坐標E4cos2θ,4【解答過程】（法一）如圖，連接OE，AB．設∠AOE=2θ，則∠BOE=π2?2θ故∠OBE=θ+π4．在△OBE中，由正弦定理可得則BE=OEsinπ在Rt△ODE中，由正弦定理可得DEsin2θ平行四邊形BCDE的周長為2=?16cos因為0<2θ<π2，所以0<θ<π4，所以所以0≤cosθ+π即平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是8,12．（法二）以O為原點，OB，OA所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系．設∠BOE=2θ，則E4cos2θ,4從而DE=4cos2θ，OD=4sinDC=O故平行四邊形BCDE的周長為2DE+DC因為0<θ<π4，所以0<sin則8<?16sinθ?122故選：A.【題型9與平面向量有關(guān)的最值（范圍）問題】【例9】（2023·河南開封·三模）已知e1、e2為單位向量，e1?e2=3，非零向量A．7 B．7?1 C．3 D．【解題思路】由已知條件及平面向量的數(shù)量積運算求得e1,e2，設e1=OA，e2=OB，2e【解答過程】由e1?e2=則1+1?2×1×1×cose1∵e1,e設e1=OA，e2=

則a?2故點C在以點D為圓心，半徑為1的圓上運動，∴e1?a=CA≥AD在△AOD中，∠AOD=2π3,所以e1?a故選：B．【變式9-1】（23-24高三上·北京通州·期末）在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°,E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點（不與C，D重合），DE與AF交于G，則AGA．0,23 B．0,43 C．【解題思路】由圖可求得DG∈(0,233【解答過程】如圖所示：當點F與點C重合時，此時DG最長，易知△ADG∽△CEG，且相似比為2:1，∠BAD=∠DCB=60°，在△DCE中，由余弦定理得：DE所以DE=3，此時滿足DE2所以∠ADE=90°，此時DG=2由圖可知，DG∈(0,2則AG?故選：B.【變式9-2】（2024·福建泉州·模擬預測）已知平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=4，B=2π3，若以C為圓心的圓與對角線BD相切，P是圓C上的一點，則BDA．8?23 B．4+23 C．12?43【解題思路】根據(jù)題意做出圖形，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果【解答過程】如圖所示，過C作BD的平行線交圓C于點P，過P作PH⊥BD，垂足為H，在平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=4，B=2可得A=π3，AD=BC=4，則由余弦定理可得由AB2+BD2則DH=CP=CD=2，因為BD→則BD→·BP即BD→·CP故選：C.【變式9-3】（2023·福建廈門·二模）在△AOB中，已知OB=2，AB=1，∠AOB=45°，若OP=λOA+μOB，且λ+2μ=2，μ∈0,1，則OA在OP上的投影向量為meA．?22,1 B．22,1 【解題思路】先利用余弦定理求出AO=1，進而得到AO⊥AB，求出OA?OP=2?μ，OP2=【解答過程】由余弦定理得cos∠AOB=解得AO=1，

因為AO2+BO2OA?則OP2因為λ+2μ=2，μ∈0,1，所以OAOP2OA在OP上的投影向量為OA?OPOP令2?μ=t∈1,2，則m=令ft因為t∈1,2，所以1t∈12當1t=1時，ft故m=1故選：B.一、單選題1．（2024·江蘇連云港·模擬預測）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=1，bcosA=1+cosB，則邊A．0,1 B．1,2 C．0,2 D．2,3【解題思路】利用正弦定理邊化角，再利用和差角的正弦推理得B=2A，又由正弦定理得b=2cosA，根據(jù)角【解答過程】由a=1，bcosA=1+cos由正弦定理可得sinBcosA=所以sinB?A=sinA，所以B?A=A或由正弦定理得,b=a而0<A<π,0<B=2A<π，0<C=所以12<cosA<1，所以b=2cos故選：B.2．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知△ABC角A、B、C的對邊分別為a、b、c滿足2ba?c=sinA+sinA．π6 B．π4 C．π3【解題思路】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理及基本不等式求解即得.【解答過程】在△ABC中，由正弦定理及2ba?c=sinA+sin由余弦定理得cosB=a2而0<B<π，則0<B≤π6，所以角B故選：A.3．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知在同一平面內(nèi)的三個點A，B，C滿足AB=2，CACA?CBCBA．0,1 B．0,2 C．0,3 D．【解題思路】根據(jù)CACA?CBCB≥1，利用向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得∠ACB≥60°【解答過程】設e1=CA則e1是與CA同方向的單位向量，e2是與對于CACA?CB兩邊平方得e1?e因此可以得到e1與e2的夾角在如圖所示的圓中，點A、B在圓上，其中劣弧AB的度數(shù)為2π3點C在度數(shù)為4π3的優(yōu)弧上運動，或點C若點C在圓上，根據(jù)正弦定理，可得圓的半徑R滿足2R=ABsinC設E為AB的中點，則CA+當CE⊥AB時，CE長達到最大值，此時△ABC為等邊三角形，可知CO=32當點C在圓的內(nèi)部時，則C、E重合時，CO=0此時取最小值CA+CB=0綜上所述，AC+BC的取值范圍為故選：D.4．（2024·河南·三模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若acosA+bcosA．43 B．83 C．2【解題思路】由正弦定理得tanA+tanB=3【解答過程】因為acos由正弦定理得sinA所以tanA+又因為C=π所以tanA+所以1=3即tanA所以tanB=顯然tanA必為正（否則tanA和所以tanA+當且僅當43tanA=所以tanA+故選：B.5．（2024·河南·模擬預測）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足b3+c3b+c=aA．12,24 B．20,24 C．12,24 D．20,24【解題思路】化簡b3+c3b+c【解答過程】由題意得，b3所以由余弦定理可得，cosA=又因為A∈(0,π)，所以由正弦定理得，asin所以b=43又因為△ABC為銳角△ABC，所以0<B<π20<C<π2所以π6<2B?π6<所以b2+c故選：B.6．（2024·江西·二模）在△ABC中，若sinA=2cosBcosCA．1,65 B．1,2+12 【解題思路】先由已知條件結(jié)合sinA=sinB+C整理得tanB+tanC=2，【解答過程】由sinA=2cosBsinB又由A∈0,π得sin所以tanB+tanC=2，且B，C均為銳角，即tan所以cos2B+cos因為tan2所以cos2B+cos設3?tan因為tanBtanC≤所以m∈2,3，故由對勾函數(shù)性質(zhì)m+則cos2B+cos故選：B.7．（2024·全國·二模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2acosA=bcosC+ccosB，且a=4A．42 B．62 C．43【解題思路】根據(jù)正弦定理及三角形角度關(guān)系可得角A的大小，再根據(jù)正弦定理邊化角結(jié)合三角恒等變換與正弦型函數(shù)的性質(zhì)求得b+c的取值范圍，從而得△ABC周長的最大值.【解答過程】因為2acos由正弦定理得2sin因為sinA≠0，所以cosA=12，由于A∈0,由正弦定理得asin故b+c=4sin又B∈0,2π3，則B+π6故△ABC周長a+b+c的最大值為63故選：D.8．（2024·陜西咸陽·三模）為了進一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”O(jiān)PQ中，準備修一條三角形健身步道OAB，已知扇形的半徑OP=3，圓心角∠POQ=π3，A是扇形弧上的動點，B是半徑OQ上的動點，AB//OP，則△OAB面積的最大值為（A．334 B．34 C．3【解題思路】設∠POA=θ，在△OAB中利用正弦定理及三角形面積公式列出函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)最大值即得.【解答過程】設∠POA=θ,θ∈(0,π3)，由AB//OP在△OAB中，由正弦定理得OBsinθ=則△OAB的面積S==3=332[sin(2θ+π6)?所以△OAB面積的最大值為33故選：A.二、多選題9．（2024·江蘇南京·二模）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，O為△ABC的重心，cosA=15，AO=2A．AO=13C．△ABC的面積的最大值為36 D．a(chǎn)的最小值為【解題思路】延長AO交BC于點D，根據(jù)平面向量的線性運算可得出AO=13AB+13AC，可判斷選項A；結(jié)合AO=13【解答過程】延長AO交BC于點D.因為O是△ABC的重心，所以點D是BC中點，AO=則AD=對于選項A：因為AO=對于選項B：由AO=13所以9AO2=又因為AB?AC=ABAC所以2×5AB即AB?AC≤3對于選項C：因為AB?AC=AB?所以S△ABC對于選項D：由9AO2=得AB?所以由余弦定理a2a2=AB2+所以a的最小值是26故選：ABC.10．（2024·湖南·二模）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且c=b2cosA+1A．A=2BB．若a=3b，則C．若△ABC為銳角三角形，1tanD．若△ABC為銳角三角形，則ca的取值范圍為【解題思路】根據(jù)正弦定理和三角恒等變換可得sinA?B=sinB，即可得A=2B，所以A正確；再利用a=3b由正弦定理計算可得cosB=32，可得C=【解答過程】對于A,△ABC中，由正弦定理得sin由sinC=sinA+B，得sin由0<A,B<π，則sinB>0，故0<A?B<π，所以A?B=B即A=2B或A=π（舍去），即A=2B對于B，若a=3b，結(jié)合A=2B和正弦定理知又0<A,B<π，所以可得A=2B=對于C，在銳角△ABC中，0<B<π2,0<A=2B<故1tan對于D，在銳角△ABC中，由π6ca令cosB=t∈22易知函數(shù)ft=2t?1故選：ABD.11．（2024·河北邯鄲·三模）已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，面積為34a2A．cosAcosB．若D為邊AC的中點，且BD=1，則△ABC的面積的最大值為3C．若△ABC是銳角三角形，則ac的取值范圍是D．若角B的平分線BE與邊AC相交于點E，且BE=3，則a+4c【解題思路】借助面積公式與余弦定理由題意可得B=π【解答過程】由題意知S=12ac由余弦定理知a2+c2?b2對A，cos=3∵A∈0,2π3，∴cosAcos對B，∵D為邊AC的中點，∴2BD則4=a∴ac≤43，當且僅當∴S對于C，ac∵△ABC是銳角三角形，∴π∴tanC∈3對于D，由題意得S△ABE即12整理得a+c=ac，即1a∴a+4c=(a+4c)1當且僅當a=2c時，等號成立，故D錯誤．故選：ABC.三、填空題12．（2024·北京·三模）在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，且a+c=2b，則角B的取值范圍為0,π3【解題思路】由余弦定理、基本不等式得出cosB【解答過程】cosB=當且僅當a=c=b，即△ABC為等邊三角形時，cosB=12，又∵0<B<故答案為：0,π13．（2024·陜西安康·模擬預測）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若b=2，2acosC=2cosB+【解題思路】根據(jù)題目所給的條件，利用正弦定理化簡后得到B=60°，利用正弦定理“邊化角”化簡得到2a+c=4213【解答過程】△ABC中，b=2，2acos所以2a?ccosC=根據(jù)正弦定理，2sin即2sin因為sinA>0，所以cos由B