2021年滬教版必修二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)-第9章 復(fù)數(shù)章節(jié)壓軸題解題思路分析

章節(jié)壓軸題解題思路分析

名師點(diǎn)睛

模塊一：復(fù)數(shù)及其四則運(yùn)算

1.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）（2）i為虛數(shù)單位，1+111

A.0B.2iC.-2iD.4i

【答案】A

【詳解】此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算

111

?+了+;7

答案A

點(diǎn)評(píng)：注意/=」

2.（2020?全國(guó)高三其他模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+/）=i202',則復(fù)數(shù)z的共粗復(fù)數(shù)4=（）

A.L

B.iC.-iD-

22

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算和復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得z=?+1i,再由共扼復(fù)數(shù)的概念可得

22

選項(xiàng).

.八505..,IZ(l-Z)1+Z11.

【詳解】解：因?yàn)镮2021?4x505+1i4)xz=z,所以z=-----------------=----=—I—i

>1+Z(1+z)(l-0222

22

故選：D

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：求解復(fù)數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)要牢記復(fù)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算技巧和結(jié)論：（l+i）221,

24n4fl+,?4/1+21?4/1+3

(1-/)=-2Z,(1+D-(1-D=2,i=1,z=1=—1=-i(〃￡N).

3.（2018?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程|z『+（z+5）i=—=（i為虛數(shù)單位）.

2+1

【答案】z=-《土立i

22

試題分析：設(shè)z=x+yi（x,yeR）,代入|z5+（z+2）i=3二，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，再山

2+1

復(fù)數(shù)相等的條件列式，即可求得x，y的值.

試題解析：

原方程化簡(jiǎn)為|z『+(z+Z)i=l-i,

設(shè)2=*+丫i心、yGR),代入上述方程得xV+2xi=l-i,

...x'+y2=l目.2x=T,解得x=-,且y=±",

22

???原方程的解是z=-]±@i.

22

點(diǎn)睛：本題考查共軌復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模的概念和復(fù)數(shù)相等的概念，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算能力，

對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如(a+初)(c+力)^(ac-hd)+

(ad+bc)i,(a,b,c,deR),其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念,如復(fù)數(shù)a+初(a,beR)的實(shí)部為

a、虛部為b、模為，/+收、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(°,6)、共輒為a—初等知識(shí)點(diǎn).

4.(2021?全國(guó)高二單元測(cè)試)已知虛數(shù)z滿足|2z+l-i|=|z+2—2,[.

(1)求忖的值；

(2)若加z+^eR,求實(shí)數(shù)，"的值.

Z

【答案】(1)應(yīng)；(2)m=；.

【分析】⑴設(shè)虛數(shù)2=。+萬(wàn)，。、bsR,由題意列方程求出/+/的值，即可得出忖；

(2)由mz+^eR,列方程求出實(shí)數(shù)機(jī)的值.

Z

【詳解】(1)設(shè)虛數(shù)z=a+4(。、人￡/?且力NO),

代入|2z+l-i|=|z+2-2?[得伙+1+(?-1川=|(a+2)+伍-2川，

(2a++(給-=g+2)2+(〃_，

即4片+4從+4a—4匕+2=/+力2+4。―48+8，可得/+/=2，因此，|z|=A/2：

(2)由(1)知，z=a+bi其中。、bGR,且6WO,a2+b2=2

又知77tz+—GR.

z

1/,.X1/7?、a-bi(a-hi

mz+—=mla+bi)-1------=m\a+bi]-\--------------=m\a+bi)-\------

z'7a+bii)(a+bi)(a-bi)(72

a

tna+—+，*L

2

v/7zz+—eR,mh--h=O,解得m=工.

z22

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵：

(1)利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，關(guān)鍵是根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的

關(guān)系式，求解參數(shù)時(shí)，注意考慮問(wèn)題要全面，當(dāng)條件不滿足代數(shù)形式2=。+沅(a/eR)時(shí)應(yīng)

先轉(zhuǎn)化形式；

(2)注意分清復(fù)數(shù)分類中的條件：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+4(a,0eR),則：

①z為實(shí)數(shù)o/?=0；②z為虛數(shù)o/?wO；③z為純虛數(shù)=。=0,Z?#0；④

z=O=a=/?=O.

模塊二：復(fù)數(shù)的幾何意義

一、單選題

1.(2019?全國(guó)高二專題練習(xí)(文))已知0<a<2,復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a,虛部為1,則目的

取值范圍是

A.(1,5)B.(1,3)C.(1,75)D.(1,6)

【答案】C

【詳解】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)模的求法，同時(shí)考查利用函數(shù)思想求范圍.

由于0<a<2,故1</+1<5,\z\=>Ja2+1e(l,\/5j.

/■,

2.(2020?全國(guó)高三月考)已知復(fù)數(shù)z滿足z=」-+l,則同=()

1+/''

A.3B.V13C.4D.5

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到復(fù)數(shù)z=4+3i,進(jìn)而求得復(fù)數(shù)的模.

【詳解】因?yàn)?=回+1=&(1-')+1=4+3，,

1+z2

所以|z|=5.

故選:D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法

則，以及復(fù)數(shù)模的公式.

3.(2021?湖南長(zhǎng)沙市?雅禮中學(xué)高一月考)復(fù)數(shù)ZI=l+icos6,z?=sin6-i,則歸-z21

的最大值為—

【答案】V2+1

【分析】利用復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算計(jì)算Z「Z2,然后計(jì)算歸-Z2I并利用三角函數(shù)的性質(zhì)

分析其最值.

【詳解】因?yàn)轳R=1+icos。，z2=sin^-i,

所以Zj-z2=(l-sin^)+(cos^-l)z,

故|z|-Z2I=J(l-sin61)2+(cos/-if=j3-2sin"2cos6=j3-2&sin(e+?),

所以當(dāng)sin(e+?)=—l時(shí)，|z「Z2|有最大值，且最大值為弓-Zzk、=J3+20=&+l.

故答案為：V2+1.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵在于先要表示出R-Zzl的表達(dá)式，然后

通過(guò)輔助角公式將|z「Z2|化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值.

4.(2021?全國(guó)高三專題練習(xí))復(fù)數(shù)z=2l=______；其所確定的點(diǎn)Z位于復(fù)平面的第一

1+1

象限.

13

【答案】---i,四

22

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共甄復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)Z=4二，

1+/

從而可得結(jié)果.

【詳解】復(fù)數(shù)Z=-

1+Z

_(2-0(1-0

~(1+0(1-0

-l-3zZZ—1—■3■I.

222

復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為復(fù)數(shù)位于第四象限.

故答案為丁1力3；四.

22

【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛

部的理解，掌握純虛數(shù)、共輸復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母

實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造

成不必要的失分.

5.(2021?浙江高三其他模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足(z+i)(l+，)=2-i,其中i為虛數(shù)單位，則

忖=_

【答案】叵

222

【分析】由(z+i)(l+i)=2—i可得：z=2二-i,之后利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，求

l+i

得z=進(jìn)而求得其模.

22

由題意得“/=包羅一不3.15.

【詳解】—I---------1

222

所以目=

故答案為：①:-斗；②』工.

222

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，正確解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)四則

運(yùn)算法則.

模塊三：實(shí)系數(shù)一元二次方程

1.(2021?全國(guó)高三專題練習(xí))已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程/一2狽+/一4。+4=0兩個(gè)虛根

為無(wú)1，X2,且國(guó)+岡=3,則4=()

1717

A.—B.—C.彳或；D.不存在

2222

【答案】A

【分析】關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程V一2ax+/—4。+4=0兩個(gè)虛根為司，/，所以/<0,可

得a<l,

利用根與系數(shù)的關(guān)系可得4+W=2。,“|,工2="—4a+4=(a—2)一>(),設(shè)

X+Xf-2/7?=2a

'：22_24,根據(jù)㈤+|々|=3,可

{%*X?—in+〃—Cl—4。+4

得加92+〃.2=9可求得答案

4

【詳解】關(guān)于X的實(shí)系數(shù)方程2批+4一4〃+4=()兩個(gè)虛根為為，尢2,

△=4片-4,2_4Q+4)=16(Q-1)v(),所以Q<1

22

xx+x2=2a,x]-x2=tz-4tz+4=(?-2)>0

設(shè)％=m+ni,x2=m-ni(m,nsR)

x+x=2m=2a

所以}2

22

x}-x2=m+n=o2-4。+4

|%1|十|司=3,即%|+閆=2，疝+〃2=3,即>+〃2=(

o17

由凡?尤2=〃/+/=—4〃+4即/一4〃+4=(〃-29)=：，解得m=5或相=5.

又%+%=2機(jī)=2。，。<1,則〃z<1,所以〃?=’

2

所以

2

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)原理、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、復(fù)數(shù)

的模的計(jì)算公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

2.(2020?上海高二課時(shí)練習(xí))已知虛數(shù)z滿足Z3=8,則Z3+Z?+2Z+2=().

A.20B.16C.10D.6

【答案】D

【分析】利用立方差公式化簡(jiǎn)已知條件，根據(jù)z為虛數(shù)，得到Z2+2Z+4=0，由此求得

z，+z~+2z+2?

【詳解】由于Z3=8,所以z'—23=(z-2)(Z2+2Z+4)=0,所以z—2=0或Z2+2Z+4=0.

由于z為虛數(shù)，所以z—2=0舍去，得Z2+2Z+4=0.

所以Z3+Z2+2Z+2=Z3+(Z2+2Z+4)-2=8+0-2=6.

故選：D

【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)運(yùn)算，屬于中檔題.

3.(2020?上海高三專題練習(xí))方程z2-5|z|+6=O在復(fù)數(shù)集中的解有

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

【答案】C

【分析】設(shè)2=。+沅，代入方程，化簡(jiǎn)后按。=0或人=0進(jìn)行分類討論，由此求得方程的解,

進(jìn)而得出正確選項(xiàng).

【詳解】^z=a+bi,代入方程得(a+初『一5XV77F+6=0,

化筒得cr—b1—51a2+〃+6+2,血?=0①，

所以。=0或8=0,

當(dāng)a=0時(shí)，由①得一6一5忖+6=0=>/+5同一6=0,

即(網(wǎng)+6乂網(wǎng)-1)=0=>網(wǎng)一1=0=b=±1,

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=±i

當(dāng)人=0時(shí)，由①得〃-5問(wèn)+6=0=(|a|-2)(|a|-3)=0,解得a=±2或a=±3,

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=±2、z=±3.

綜上所述，共有6個(gè)解.

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解，屬于中檔題.

4.(2020?上海高二課時(shí)練習(xí))若復(fù)數(shù)范圍內(nèi)將2x2-4x+3分解因式，所得的結(jié)果為

川一月］

A.[1+爭(zhēng)1等)B."+字2J

)⑸

C.2〔1+爭(zhēng)x-1----2--1JD.2x+1+iX+1----1

27

【答案】C

【分析】設(shè)z=a+A,z=a(a,beR)是方程2/一4x+3=0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，求得z,I,

進(jìn)而求得分解因式的結(jié)果.

【詳解】方程2/一4x+3=0的判別式A=16—4x2x3=—8<o,所以方程

2

2%-4X+3=0,有兩個(gè)互為共葩復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)根，設(shè)2=。+初,z=a-初(a,beR)是方程

_-4

z+z=2a=----f-

2,解得=\,b=±也.所以方程

2/一4x+3=0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，則，a

z-z=a2+b2=—

2

2X2-4X+3=0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為1土也i.故復(fù)數(shù)范圍內(nèi)將2——4x+3分解因式得

2

r,⑸=2「一1+烏

2X-1----1烏、

I2)I2JI22)

故選：c

【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)運(yùn)算，屬于中檔題.

5.(2020?上海高三專題練習(xí))方程—+(一2+，)》+1+，=0的根的情況是().

A.有兩個(gè)不等實(shí)根B.有一對(duì)共朝虛根

C.有一個(gè)實(shí)根，一個(gè)虛根D.有兩個(gè)不共輒虛根

【答案】D

【分析】設(shè)%、Z為方程/+(-2+i)x+l+i=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可排除A、B；若再為

x,2-2x,+1=0

實(shí)數(shù)，由復(fù)數(shù)相等的條件可得〈?,由該方程無(wú)解即可排除C；即可得解.

玉+1=0

【詳解】設(shè)王、/為方程/+(-2+，?+1+/=0的兩個(gè)根，

則由韋達(dá)定理可得XI+工2=2-i,x/2=l+i，

所以占、%不可能為兩個(gè)不等實(shí)根，也不可能是一對(duì)共軌虛根，故排除A、B；

若無(wú)1為實(shí)數(shù)，則x；+(—2+7居+l+i=M—2百+1+(%+l)i=O,

則可得-2"+1=0,此方程無(wú)解，所以原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故排除C.

玉+1=0

故該方程只有兩個(gè)不共軌虛根.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的根的情況的討論，考查了復(fù)數(shù)相等的條件，

關(guān)鍵是掌握韋達(dá)定理的適用條件，屬于中檔題.

6.(2020?上海高二課時(shí)練習(xí))若有兩個(gè)數(shù)，它們的和是4,積為5,則這兩個(gè)數(shù)是.

［答案】2±i

【分析】設(shè)=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d&R),利用z,+z2=4,z,-z2=5列方程組，解方程

組求得題目所求兩個(gè)數(shù).

【詳解】設(shè)4=。+瓦/2=c+di(a,0,c,deR),依題意有％+z2=4,z/Z2=5,

。+c=4

a+c+(0+d)i=4h+d=0

即ac-bd+(qd+Z?c)z=5'"以.將b=-d代入加+6c=0,得。=c；將。=c

ac-hd=5

ad+bc=()

代入〃+c=4,解得〃=c=2；將a=c=2代入ac-〃d=5,得bd=-1,結(jié)合匕=一〃解得

b=lh=—l

或《」，.所以對(duì)應(yīng)的數(shù)為2+i、

'd=-\a-1

故答案為：2±i

【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)運(yùn)算，屬于中檔題.

7.（2020?上海高二課時(shí)練習(xí)）已知z為虛數(shù)，且有|z|=5,z2+25為實(shí)數(shù)，若z為實(shí)系數(shù)

一元二次方程x2+—+c=O的根，則此方程為.

【答案】x2—2x4-25=0

【分析】設(shè)2=工+同（犬,）￡1<,且ywO）,根據(jù)已知建立方程關(guān)系，求出z,利用韋達(dá)

定理得

z+z=-b,z?z=c，即可求出方程.

【詳解】設(shè)2=工+”（九,ywR,且ywO）,

則IZ|=yjx2+y2=5,尤2+y2=25,

z2+2z=x2-y2+21+（2xy-2y）iG/?,/.y（x-l）=0,x=l,

y=±2>/6,z=1±2n，所以方程V+法+0=0的根為1土2瓜,

z+z=2=—b,b=—2,z?z=25=c，

所以方程為2X+25=0.

故答案為：x2—2x+25=0.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及實(shí)系數(shù)一元二次方程根的性質(zhì)，注意根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，

考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

8.（2020?上海高二課時(shí)練習(xí)）若4,Z2是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根，N=a（G+，）F,

z2

且|。區(qū)2.

求：（1）實(shí)數(shù)〃的取值范圍：

（2）|（。-4）+也|的最大值.

【答案】（1）（2）V26

【分析】（1）根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的兩個(gè)虛數(shù)根互為共輒復(fù)數(shù)得其模相等，利用模的性質(zhì)可得。

的范圍；

（2）求出|（a-4）+勿|,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】（I）Z1,Z2是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根，，％|=憶|,

,?a（G+》Z||如6+31憶|.......（I

131=-------------------------;~；------=21a|<2,所以|a區(qū)1；

Z2\Z2\

（2）|（a—4）+勿|=J（a—+片=J2（a—2>+8在一1VaW1上單調(diào)遞減，所以當(dāng)。=一1

時(shí)取到最大值盤.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，考查模的性質(zhì)，在復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算中利用模的性質(zhì)求模

可以更加簡(jiǎn)便.上村二團(tuán)閭，年二年.

9.（2020?上海高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)看,々是方程2/+3數(shù)+/-a=O（aeR）的兩根，求

兇+國(guó)（用含。的解析式表示）.

y（?>1或。<-8）

“?。?<?<1）

小21廠-"）（-8<a<0）

【分析】根據(jù)判別式討論方程根的情況，若△NO,再對(duì)兩實(shí)根的符號(hào)討論，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)

系，即可得出結(jié)論；I若/<0,方程兩根為共挽虛數(shù)，利用模的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，即

可求出結(jié)論.

【詳解】（1）當(dāng)方程有實(shí)根時(shí)，△=9/一8（/-。）=a（a+8）N0,

得。20或?！匆?,若國(guó)工2=/一。20，得。之1或〃<（）.

**->P|Q21或a4—8時(shí)，X，W同號(hào)，［占|+上|=|，i+；

當(dāng)0Wav1時(shí),3,W異號(hào)，

㈤+"|=|否一3|=1(1+々)2-4中2=；8a.

(2)當(dāng)方程有虛根時(shí)，/=a(a+8)<0,得—8<a<0.

/.|^|+|x2|=2|xJ=2,X］耳=2Jxz=不2(/-a).

—(a>1或a<-8)

綜上：歸|+闖=,受包(0<?<1)

小2(&--a)(—8<a<0)

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)系數(shù)一元二次方程根的判別式，以及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查分類討

論思想和計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

10.（2020?上海高二課時(shí)練習(xí)）方程3/-6（m-1?+〃?2+1=0的兩個(gè)虛根的模之和為2,

求實(shí)數(shù)，"的值.

【答案】夜

【分析】設(shè)用，%是方程的兩個(gè)根，計(jì)算/＜。得到，5＜加＜士黃，計(jì)算㈤=1，代

入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.

【詳解】設(shè)王，々是方程的兩個(gè)根，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)虛根，??./＜（），

即36（加-1）2-4X3（4+1）＜0,化簡(jiǎn)得病一3加+1＜0,

解不等式得主妙＜m＜21,

22

'?1力+闖=2，且國(guó)=闖，㈤=1，而新［=1，,J"；?=1.

in2—2＞m=+V2＞檢驗(yàn)取m=V2-

【點(diǎn)睛】本題考查了方程的虛根，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

11.（2020?上海高二課時(shí)練習(xí)）已知方程工2+4》+機(jī)=0的兩根為a,6且滿足1。-￡1=6,

求實(shí)數(shù)加的值.指出下面的解法是否有錯(cuò)誤，若有請(qǐng)分析錯(cuò)誤原因，并給出正確的解答；若沒(méi)

有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

\a-（3\=6,得|a-6『=36.（a+=產(chǎn)-4s=36.

由方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得

（-4）2-4m=36.

解方程，得加=—5.

【答案】有錯(cuò)誤，理由見(jiàn)解析，機(jī)=-5或機(jī)=13.

【分析】利用舉反例的方法，說(shuō)明錯(cuò)誤原因,按照ANO和/＜0進(jìn)行分類討論，由此求得優(yōu)的

所有可能取值.

【詳解】上面解法有錯(cuò)誤，原因是當(dāng)xeC時(shí)，z2不一定等于|z『.如z=i,則z2=-l,|z『=l.

正確解法：

（1）當(dāng)△=16—4m20,即加44時(shí)，有a,0wR,此時(shí)解答同上面解法；

（2）當(dāng)/＜0,即加＞4時(shí)，方程有共枕虛根，兩根為於土巫三叵=一2土而4晨

2

依題意|a-J3\=\2dm-4i|=6.

解方程，得〃2=13.

綜上所述，機(jī)=-5或m=13.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求一元二次方程的根，屬于中檔題.

12.（2020?上海高二課時(shí)練習(xí)）方程/+2%+%=0的兩個(gè)虛根為Z1,Z2，且

|2Z1|<|Z2+1-2Z|,求實(shí)數(shù)加的范圍.

【答案】

a=-l

【分析】設(shè)4=。+萬(wàn)3力€凡。/0）,則22="一瓦.根據(jù)韋達(dá)定理可得《，，2,再根

4

據(jù)模長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)不等式可得0<。<§，山〃z=1+后可得答案.

【詳解】設(shè)Z]=4+4（。/€火）/0）,則Z2="一。i.

因?yàn)榉匠潭?2》+機(jī)=0有虛根，機(jī)eR,所以A=2?-4加<0,解得%>1,

z,+z,=-2（2a--2[a--\

根據(jù)韋達(dá)定理得《，受2,2,即1,,2，

ZjZ2=m[m=a+Z?\m=\+b

因?yàn)镽zJvH+l-2i],所以4匕『<匕+1-2",

4

所以4|一1+從『<|-（。+2?/，所以4+4/<3+2）2,所以弘2_48<0，所以（）</?<§,

,16

所以0〈/〈二

??.1＜吁1+入”.

9

25

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)定理，考查了韋達(dá)定理以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)

公式，屬于基礎(chǔ)題.

13.（2020?上海高二課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)4,Z2滿足條件,|<2,|Z21<2.是否存在非零

實(shí)數(shù)"Z，使得4+22=工和7三=,同時(shí)成立？若存在，求出〃7的取值范圍；若不存在，

mm

請(qǐng)說(shuō)明理由.

31

【答案】存在，“;或根〉二

44

11

【分析】根據(jù)題意得到則4/2是方程f0一—x+—=o的兩個(gè)根，討論ANO和』<0兩種情

mm

況，計(jì)算得到答案.

【詳解】痣=’，則4Z2=L,Z1+Z2=^?，則馬/2是方程/一J_x+_L=o的兩個(gè)根,

mmmmm

當(dāng)△=」一4i（）即且初WO時(shí)，geR,記/（幻=%2__1%+_1,憶|＜2,

mm4mm

/（-2）>0

/⑵>（）

3

㈤<2,解得m<—；

-2<—4

2m

A>0

當(dāng)△=-L—百＜0即"?＞!時(shí)，Z-Z2為一對(duì)共施虛根，則閔＜2,則,＜4,

mm4m

即加〉工或加＜0（舍）,

4

311------1

綜上，存在實(shí)數(shù)團(tuán)，當(dāng)機(jī)＜一一或加,一，使得Z]+Z2=一和Z[立2=—同時(shí)成立.

44mm

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，共加復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能

11

力，確定4,Z2是方程X92-—X+—=0的兩個(gè)根是解題的關(guān)鍵.

mm

模塊四：復(fù)數(shù)的三角形式

1-z

1.（2020?上海高三專題練習(xí)）當(dāng)z=/時(shí)、zioo+z5o+1=（）

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】D

【分析】根據(jù)Z^+zSO+l的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，先山Z=/，得到z2=（l；）2=T，再代入

Z?X）+z50+l求解.

1—Z

【詳解】因?yàn)閆=g

所以z2=IhDl=T,

2

所以Z5°=（T）25=-i,2儂=（T）5°=（—if=T,

所zi°°+z5°+l=T，

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，還考查了周期性的應(yīng)用，運(yùn)算求解的能力，屬于

基礎(chǔ)題.

2.（2021?上海市西南位育中學(xué)高二期末）復(fù)數(shù)z=g+i與它的共物復(fù)數(shù)N對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向

量的夾角為—.

【答案】60°

7

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算二，再化成三角形式的復(fù)數(shù)，即可得出.

Z

2

_zV3+Z（A/3+Z）2+2囚1月,rno-

【詳解】解：—=—；=——=-3=----7=---=--------=—H----1-cos60+1sin60.

zV3-Z（6-，）（6+。422

?.?復(fù)數(shù)z=百+i與它的共輾復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為60°.

故答案為：60°.

3.（