第04講直角三角形（原卷版）

第04講直角三角形思維導圖核心考點聚焦1.直角三角形的兩個銳角互余2.判斷三邊能否構成直角三角形3.在網格中判斷直角三角形4.利用勾股定理的逆定理求解5.勾股定理逆定理的實際應用6.全等的性質和HL綜合1.直角三角形的性質定理定理1直角三角形的兩個銳角互余；定理2在直角三角形中，如果一個角等于300，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.2.勾股定理圖形名稱定理符號表示邊的定理在直角三角形中，斜邊大于直角邊.在中，勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形.在中，，3.直角三角形全等的判定圖形定理符號如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：HL）在中，，1.在直角三角形中，如果一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.2.勾股定理逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形.3.直角三角形全等的判定：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：HL）考點剖析考點一、直角三角形的兩個銳角互余例題：在直角三角形中，若一個銳角是，則該直角三角形的另一個銳角是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】在一個直角三角形中，有一個銳角等于，另一個銳角的度數是．故選：C．【變式訓練】1．如圖，某同學在課桌上無意中將一塊三角尺疊放在直尺上，則．【答案】/度【解析】由圖可知，和的對頂角互余，，故答案為：．2．如圖，等腰三角形中，，，于D，則等于．【答案】/23度【解析】∵在等腰三角形中，，，∴，∵，∴，∴；故答案為：．考點二、判斷三邊能否構成直角三角形例題：下列各組數據中，能作為直角三角形的三邊長的是（

）A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，，1 D．3，4，6【答案】C【解析】，不能作為直角三角形的三邊長，故選項A錯誤；，不能作為直角三角形的三邊長，故選項B錯誤；，能作為直角三角形的三邊長，故選項C正確；，不能作為直角三角形的三邊長，故選項D錯誤．故選C．【變式訓練】1．以下列各組線段為邊，能構成直角三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【解析】根據題意得：選項中，，不能構成三角形，也不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；選項中，，能構成直角三角形，故本選項符合題意；選項中，，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；選項中，，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意．故選：．2．已知a，b，c滿足．(1)求a，b，c的值；(2)試問：以a，b，c為三邊長能否構成直角三角形，如果能，請求出這個三角形的面積，如不能構成三角形，請說明理由．【解析】（1）根據題意得：，，，解得：，，．（2）能構成直角三角形，，，，以、、為邊長的三角形是直角三角形,三角形的面積是：．考點三、在網格中判斷直角三角形例題：如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是，求下列問題：

(1)試說明是直角三角形；(2)求點到的距離．【解析】（1）由圖可知：，，．,是直角三角形

（2）由（1）可知：，，點到的距離是．【變式訓練】1．如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，網格中有以格點A，B，C為頂點的，請根據所學的知識回答下列問題：(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求的面積．【解析】（1）是直角三角形，理由：，，，所以，所以是直角三角形；（2）的面積：．考點四、利用勾股定理的逆定理求解例題：如圖，點在中，，，，

(1)求的長；(2)求圖中陰影部分的面積．【解析】（1）∵，，，，（2）∵，，，是直角三角形，，．故圖中陰影部分的面積為．【變式訓練】1．在四邊形中，，求四邊形的面積．【解析】連接，∵∠B=90°，∴為直角三角形，∵，根據勾股定理得：，又∵，∴，∴，∴為直角三角形，∴，答：四邊形的面積為36．2．如圖，學校有一塊三角形空地，計劃將這塊三角形空地分割成四邊形和，分別擺放“秋海棠”和“天竺葵”兩種不同的花卉，經測量，，，，，，，求四邊形的面積．【解析】由題意得：，，在中，由勾股定理得：，，，是直角三角形，且，．答：四邊形的面積為18．考點五、勾股定理逆定理的實際應用例題：如圖，在筆直的公路旁有一座山，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路上的處開鑿隧道修通一條公路到處，已知點與公路上的?？空镜木嚯x為，與公路上另一?？空镜木嚯x為，?？空局g的距離為，且．

(1)求修建的公路的長；(2)一輛貨車從點到點處走過的路程是多少？【解析】（1），，，，是直角三角形，，，（）．故修建的公路的長是；（2）在中，（），故一輛貨車從點到處的路程是．【變式訓練】1．在一條東西走向的河流一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點D（A，D，B在同一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．

(1)求的度數；(2)求取水點A到取水點D的距離．【解析】（1）∵千米，千米，千米，∴，∴，∴為直角三角形，∴，∴；（2）設千米，則千米，∴千米，∵，∴，∴，即，解得：．答：取水點A到取水點D的距離為千米．2．黨的十八大以來，各地積極推動城市綠化工作，大力拓展城市生態(tài)空間，讓許多城市再現(xiàn)綠水青山.某小區(qū)物業(yè)在小區(qū)拐角清理出了一塊空地進行綠化改造，如圖，，．(1)為了方便居民的生活，在綠化時將修一條從點A直通點C的小路，求小路的長度；(2)若該空地的改造費用為每平方米150元，試計算改造這片空地共需花費多少元？【解析】（1）∵，，∴；答：小路的長度為15m；（2）∵，，∴，∴為直角三角形，∴四邊形的面積，元；答：改造這片空地共需花費17100元．考點六、全等的性質和HL綜合例題：如圖，中，，，F(xiàn)為延長線上一點，點E在上，且．(1)求證：；(2)若，求的度數．【解析】（1）在與中，，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【變式訓練】1．如圖，，，垂足分別為D，C，，．

(1)求證：；(2)若，，求的度數．【解析】（1）證明：，，，，則，，，∴．（2），，，，．的度數為．2．已知在中，，且，作等腰，使得．

(1)如圖1，若與互余，則___________；（用含的代數式表示）(2)如圖2，若與互補，過點C作于點H，求證：；(3)若與的面積相等，請直接寫出的度數．（用含的式子表示）【解析】（1）中，，且=,，，，，∠DAB；故答案為：；（2）證明：如圖，過A點作于E點，

中，，，，中，，，，,=，∠ACB，

，

，

∴∠ACH=，．在和中，，∴，

∴，

∴；（3）①如圖，作于，于，

∵與的面積相等，∴，又∵，∴，∴，即，，；②如圖，作于，作垂直于的延長線于，

則，∵，，∴，∵與的面積相等，∴，∴，∴，，∴，，∴∠ACD=，綜上，或．過關檢測一、選擇題1．下列給出的四組數中，不能構成直角三角形三邊的一組是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．分別具備下列條件的中，不屬于直角三角形的是（

）A． B．，，C． D．3．如圖，已知直線，，若，則的度數為（

）A． B． C． D．4．如圖，于點B，于D，若，且，則的度數為（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，，點D是中點，，若，則的度數為(

)A． B． C． D．二、填空題6．若中，，且，那么的度數為．7．如圖，，，垂足分別為C，B，要根據“”證明，應添加的條件是．8．如圖中，點為的中點，，，，則的面積是．9．如圖，幼兒園的滑梯中有兩個長度相等的梯子，且，已知，，則．10．如圖，在中，，，，為邊上的高，點從點出發(fā)，在直線上以/s的速度移動，過點作的垂線交直線于點，當點運動s時，．三、解答題11．如圖，已知，，，與交于點O，求證：12．如圖，在中，，，，點D是外一點，連接，且(1)求的長；(2)求證：是直角三角形．13．如圖，在中，D為邊上一點，，交的延長線于點E，，垂足為F，且．(1)求證：；(2)若點D是的中點，求的度數．14．已知：在四邊形中，，．(1)求的長．(2)是直角三角形嗎？如果是，請說明理由．(3)求這塊空地的面積．15．如圖，在四邊形中，連結，，，，，．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)過點D作直線的垂線，垂足為點H，求線段的長．16．如圖，在中，，，，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在邊上勻速移動，它們的速度分別為，，當點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為．(1)當t為何值時，為等邊三角形？(2)當t為何值時，為直角三角形？17．在學校組織的研學活動中，辰星小組合作搭建帳篷．圖是他們搭建帳篷的支架示意圖．在中，兩根支架從帳篷頂點支撐在水平的支架上，一根支架于點，另一根支架的端點在線段上，且．經測量，知，，．根據測量結果，解答下列問題：

(1)求的長；(2)按照要求，當帳篷支架與所夾的角度為直角時，帳篷最為穩(wěn)定．請通過計算說明辰星小組搭建的帳篷是否符合要求．18．已知在四