2020-2021學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市第二中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市第二中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)的所有向量的基底的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用基底的定義對四個選項一一驗證.【詳解】平面內(nèi)不共線的兩個向量可以作為平面的基底：對于A：，，零向量與任意向量共線，所以A錯誤；對于B：，，∵，所以共線，故B錯誤；對于C：，，∵，所以共線，故C錯誤；對于D：，,因為，所以不共線，故正確.故選：D【點睛】平面內(nèi)不共線的兩個向量可以作為平面的基底，樹立“基底”意識，利用基向量進行線性運算.2．為等差數(shù)列，且，則公差A(yù)． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：【解析】等差數(shù)列通項公式3．已知中，，，，則等于（）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】由正弦定理，解得sinB，利用大角對大邊求出B.【詳解】在中，，，，由正弦定理得：，解得：，∵，∴,∴=或.故選：D.【點睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．4．如圖，在平行四邊形中，為的中點，為的中點，若，則A． B． C． D．【答案】C【分析】以為基底，利用向量的中點公式，以及三角形法則即可表示出，由，根據(jù)平面向量基本定理，可知對應(yīng)項系數(shù)相等，即求解．【詳解】因為為的中點，所以，而，即有，又，所以．故選：C．【點睛】本題主要考查平面向量基本定理的應(yīng)用，以及向量的中點公式，三角形法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．若等邊的邊長為4，則（）A．8 B． C． D．【答案】A【分析】可畫出圖形，根據(jù)條件及向量數(shù)量積的計算公式便可得出的值．【詳解】如圖，根據(jù)條件，．故選：A．【點睛】本題考查等邊三角形的概念，以及向量夾角的概念，向量數(shù)量積的計算公式．6．若三角形ABC為鈍角三角形，三邊長分別為，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【詳解】三邊組成三角形，則：，解得：，對三角形的邊長分類討論：當(dāng)最大邊長為時，應(yīng)有：，整理可得：，此時，當(dāng)最大邊長為時，應(yīng)有：，整理可得：，此時，綜上可得：的取值范圍是.7．赤峰二中天文臺是校園的標(biāo)志性建筑，為了估算學(xué)校天文臺的高度，在它們之間的地面上的點（、、三點共線）處測得天文臺頂?shù)难鼋鞘牵邳c處測得宿舍樓頂?shù)难鼋鞘怯衷谒奚針琼斕帨y得天文臺頂?shù)难鼋菫?，已知宿舍樓高為，假設(shè)、和點在同一平面內(nèi)，則估算學(xué)校天文臺的高度為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，運用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，計算可得天文臺的高度.【詳解】在直角三角形ABM中，在△ACM中，，故由正弦定理，，故在直角三角形CDM中，，∵∴.故選：C【點睛】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：(1)求解應(yīng)用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(2)三角函數(shù)型應(yīng)用題根據(jù)題意正確畫圖，把有關(guān)條件在圖形中反映，利用三角知識是關(guān)鍵．8．《張丘建算經(jīng)》卷上第題為：“今有女善織，日益功疾（注：從第天開始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織尺布，現(xiàn)一月（按天計）共織尺”，則從第天起每天比前一天多織（）A．尺布 B．尺布 C．尺布 D．尺布【答案】D【分析】設(shè)該女子第尺布，前天工織布尺，則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，根據(jù)，可求得的值.【詳解】設(shè)該女子第尺布，前天工織布尺，則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由題意可得，解得.故選：D.9．在中，若，則一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】先用余弦定理邊化角得，再用正弦定理邊化角的，再根據(jù)二倍角的正弦公式得，進而可得答案.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，因為，為三角形的內(nèi)角，所以或，所以或，所以一定是等腰三角形或直角三角形.故選：D10．已知是內(nèi)部的一點，，則與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由推出點在三角形的中位線上，由此可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，設(shè)的中點為，的中點為，所以，即，所以點在三角形的中位線上，所以點到的距離等于點到的距離的一半，所以.故選：A11．正項數(shù)列滿足：,且,則此數(shù)列的第2016項為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由題意知，故數(shù)列為等差數(shù)列，于是，，,選D.【解析】等差數(shù)列的定義．【易錯點睛】等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：對于的任意自然數(shù)，驗證為同一常數(shù)；（2）等差中項法：驗證成立；（3）通項公式法：驗證；（4）前項和公式法：驗證．本題主要采用的是第一種方法，定義法．等差數(shù)列的證明是數(shù)列中常見的證明題型，難度中檔．12．若是等差數(shù)列，首項，，，則使前n項和成立的最大自然數(shù)n是A．46 B．47 C．48 D．49【答案】A【分析】首先判斷出a23＞0，a24＜0，進而a1+a46=a23+a24＞0，所以可得答案．【詳解】∵{an}是等差數(shù)列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23?a24＜0可知{an}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46=a23+a24＞0所以，故使前n項和Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是46，故答案為：A【點睛】等差數(shù)列的性質(zhì)靈活解題時技巧性強，根據(jù)等差數(shù)列的概念和公式，可以推導(dǎo)出一些重要而便于使用的變形公式．“巧用性質(zhì)、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果．二、填空題13．已知，，，若，則實數(shù)_________.【答案】【分析】先求，利用兩向量垂直，數(shù)量積等于0求出m.【詳解】∵，，∴.∵，∴，解得：m=故答案為：【點睛】若平面向量，①向量平行的條件：；②向量垂直的條件：.14．記為等差數(shù)列的前項和，若，則___________.【答案】【分析】由求出與的關(guān)系，結(jié)合通項公式表示出，作比即可求解【詳解】設(shè)公差為，則，，，，，故答案為：15．在中，若，，且，則________.【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積公式求出，根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)正弦定理求出三角形外接圓的直徑，再根據(jù)正弦定理可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以，三角形外接圓的直徑，所以.故答案為：16．如圖，左圖是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖．其陰離子排列如下面右圖所示，右圖中圓的半徑為1，且相鄰的圓都相切，A，B，C，D是其中四個圓的圓心，則__________．【答案】26【分析】利用向量加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積運算，求得的值.【詳解】連接部分圓心如下圖所示.根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知四邊形是菱形，且.所以，.所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查向量加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積運算，屬于中檔題.三、解答題17．已知，，且．（1）求的值：（2）求．【答案】（1）1（2）2【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積運算律求解即可；（2）根據(jù)向量模的運算求解即可.【詳解】（1），又（2）.18．在等差數(shù)列中，已知，求通項公式及前項和.【答案】，【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求、，即可寫出通項公式及前項和；【詳解】令等差數(shù)列的公差為，則由，知：，解之得；∴根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，有：，；【點睛】本題考查了等差數(shù)列，根據(jù)已知項的和等差數(shù)列通項公式的基本量，進而寫出通項公式和前n項和公式；19．在中，角、、所對的邊分別為、、，若向量，向量，且．（1）求角的大小；（2）若，且，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用向量平行的條件得到，結(jié)合正弦定理得，從而可求角的大小.（2）把向量用向量來表示，根據(jù)向量模的平方等于向量的平方，把表示為，從而可求的值.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理，得，又，，即，又因為，所以.（2）因為，所以，所以，，，，所以.20．在中，角、、所對的邊分別是、、，已知外接圓的半徑長為，且滿足.（1）求角的大小（2）求周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化邊可得，再由余弦定理可解得結(jié)果;（2）求出，再根據(jù)正弦定理將用表示，利用正弦函數(shù)的圖象可求出結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理，得，即再由余弦定理，得，因為，所以（2）令三角形周長為，則，由（1）知，又，所以，又正弦定理得，，所以，因為，所以，所以，所以，所以周長的取值范圍是【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握正余弦定理、兩角差的正弦公式是解題關(guān)鍵.21．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求表達式；【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由數(shù)列與的關(guān)系可得轉(zhuǎn)化條件為，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得證；（2）由數(shù)列與的關(guān)系運算即可得解.【詳解】（1）證明：由題意，，∴，，∴，又，∴是以2為首項，公差為2的等差數(shù)列；（2）由（1），∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用數(shù)列與的關(guān)系轉(zhuǎn)化條件及構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列通項.22．已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足