2020-2021學年天津市和平區(qū)高一下學期期末數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages22頁2020-2021學年天津市和平區(qū)高一下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部是（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算與虛部的概念求解即可．【詳解】解：∵，∴該復數(shù)的虛部為1，故選：A．2．已知向量，，，，∥，則的值為（）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示公式計算即可.【詳解】由∥，得，即.故選：C.3．用、表示兩條不同的直線，用、表示兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若∥，∥，則∥ B．若∥，，則∥C．若，∥，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面（面面）平行（垂直）的判定定理和性質(zhì)定理，分別判斷即可.【詳解】對于選項A，由面面平行的判定定理可知，不一定平行于，故A錯；對于選項B，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，不一定平行于，故B錯；對于選項C，由面面垂直的判定定理可知，，故C正確；對于選項D，根據(jù)線面垂直的判定定理知，不一定垂直于，故D錯.故選：C.4．給定一組數(shù)據(jù)：102，100，103，104，101，這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（）A．102 B．102.5 C．103 D．103.5【答案】B【分析】根據(jù)題意，把數(shù)據(jù)從小到大排列，由，故計算第三個數(shù)和第四個數(shù)的平均數(shù)即可.【詳解】由題意得，，這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：100，101，102，103，104，故這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為.故選：B.5．若向量，滿足：，，，，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義求出在上的投影，然后結(jié)合向量的數(shù)乘運算即可求出結(jié)果.【詳解】在上的投影為，所以在上的投影為.故選：D.6．已知內(nèi)角所對邊的長分別為，，則形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理將化為，然后化簡可得答案【詳解】，余弦定理可得，則，則，所以為直角三角形.故選：D7．從分別寫有“1，2，3，4，5”的5張卡片中，隨機抽取一張不放回，再隨機抽取一張，則抽得的兩張卡片上的數(shù)字一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，列出所有可能結(jié)果，結(jié)合古典概率計算即可.【詳解】根據(jù)題意可知，所有抽取結(jié)果如下：（1，2），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，3），（2，3），（3，2），（4，2），（5，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，3），（5，3），（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，4），共20種結(jié)果，其中兩張卡片上的數(shù)字一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)有12種，故抽得的兩張卡片上的數(shù)字一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)的概率為.故選：B.8．在正三棱柱中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側(cè)面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作的中點，連接，，，根據(jù)題意可知與側(cè)面所成角即為，根據(jù)已知條件求解即可.【詳解】作的中點，連接，，，根據(jù)題意，易得平面，故與側(cè)面所成角即為，因側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，所以，，故，即與側(cè)面所成角的正弦值為.故選：D.9．已知正方形的邊長為2，是的中點，是線段上的點，則的最小值為（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，轉(zhuǎn)化為坐標運算即可.【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標系，由題意知，，，，由是線段上的點，設(shè)，且，因此，，故，因，所以當時，取最小值.故選：B.二、填空題10．已知復數(shù)z=（1+i）（1+2i）,其中i是虛數(shù)單位，則z的模是__________【答案】【分析】利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．【詳解】解：復數(shù)z＝（1+i）（1+2i）＝1﹣2+3i＝﹣1+3i，∴|z|．故答案為．【點睛】對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如．其次要熟悉復數(shù)相關(guān)概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛復數(shù)為．11．某?，F(xiàn)有高一學生210人，高二學生270人，高三學生300人，用分層抽樣的方法從這三個年級的學生中隨機抽取n名學生進行問卷調(diào)查，如果已知從高一學生中抽取的人數(shù)為7，那么從高三學生中抽取的人數(shù)應為________________．【答案】【詳解】試題分析：分層抽樣是等比例抽樣，那么從高一學生中抽取的人數(shù)為7可知，每一人被抽到的概率為7：210=1：30.由此得到高三學生中抽取的人數(shù)為300=10，故答案為10.【解析】本試題主要是考查了分層抽樣的方法的運用．點評：對于抽樣方法，常考查的是分層抽樣，在整個抽樣過程中，每一個個體被抽到的概率為n:N,即為樣本容量與總體的比值，這一點是解題的核心，屬于基礎(chǔ)題．12．如圖是某工廠對一批新產(chǎn)品長度單位：檢測結(jié)果的頻率分布直方圖估計這批產(chǎn)品的中位數(shù)為______．【答案】22.5【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5，0.3+0.08×5=0.7>0.5；∴中位數(shù)應在20～25內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.3+(x?20)×0.08=0.5，解得x=22.5；∴這批產(chǎn)品的中位數(shù)是22.5.故答案為22.5.點睛：用頻率分布直方圖估計總體特征數(shù)字的方法：①眾數(shù)：最高小長方形底邊中點的橫坐標；②中位數(shù)：平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；③平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和.13．設(shè)為三個隨機事件，若與互斥，與對立，且，，則_____________．【答案】【分析】由與對立可求出，再由與互斥，可得求解.【詳解】與對立，，與互斥，.故答案為：.14．已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為24，則這個球的體積為____________.【答案】【分析】根據(jù)正方體的表面積，可得正方體邊長，然后計算外接球的半徑，利用球的體積的公式，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)正方體邊長，正方體外接球的半徑為R，由正方體的表面積為24，所以，則，又，所以，所以外接球的體積為：.故答案為：.【點睛】方法點睛：求多面體的外接球的表面積和體積問題關(guān)鍵是要求出外接球的半徑，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心.15．若點是的重心，點、分別在、上，且滿足，其中．若，則與的面積之比為_______．【答案】【分析】用表示出，求出，得到、的位置，從而可得答案【詳解】解：設(shè)的中點為，則,因為，所以,所以，因為，所以，因為，所以，所以，所以，所以故答案為：三、解答題16．已知，，向量與的夾角為．（1）求；（2）若與垂直，求實數(shù)的值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合，即可求解；(2)根據(jù)題意，可知，結(jié)合已知條件計算即可.【詳解】(1)由題意得，.(2)由與垂直，得，即，解得.17．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足．（1）求的值；（2）若，，求的面積．【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）先根據(jù)正弦定理將條件邊化角，然后借助于誘導公式進一步化簡成、的關(guān)系式，最后借助于正弦定理得解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，可求出三邊，利用余弦定理求出任意角，套用面積公式即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）由正弦定理，可化為：，也就是．由三角形內(nèi)角和定理得．即．由正弦定理可得，故．（2）由可知．而，由余弦定理可知．又，于是．．18．如圖，斜三棱柱中，側(cè)面是菱形，與交于點，E是AB的中點．求證：（1）平面；（2）若，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）要證線面平行，需證線線平行，連結(jié)，證（2）要證線線垂直，需證線面垂直，證平面，即證證明：（1）連結(jié)．∵側(cè)面是菱形，與交于點∴為的中點∵是的中點∴；∵平面，平面∴平面（2）∵側(cè)面是菱形∴∵，，平面，平面∴平面∵平面∴．19．在一次猜燈謎活動中，共有20道燈謎，兩名同學獨立競猜，甲同學猜對了15個，乙同學猜對了8個．假設(shè)猜對每道燈謎都是等可能的，設(shè)事件為“任選一燈謎，甲猜對”，事件為“任選一燈謎，乙猜對”．（1）任選一道燈謎，記事件為“恰有一個人猜對”，求事件發(fā)生的概率；（2）任選一道燈謎，記事件為“甲、乙至少有一個人猜對”，求事件發(fā)生的概率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題意可得，，再根據(jù)即可求出結(jié)果；（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對的概率為，根據(jù)即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）由題意可得，，；（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對的概率為：，∴．20．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，，，為的中點．（1）求異面直線與所成的角；（2）求證：平面平面；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）證明就是異面直線與所成的角或其補角，再解三角形得解；（2）先證明平面,平面平面