2020-2021學(xué)年天津市蘆臺(tái)一中、靜海一中、薊州一中、楊村一中等七校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2020-2021學(xué)年天津市蘆臺(tái)一中、靜海一中、薊州一中、楊村一中等七校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)求出，根據(jù)是純虛數(shù)可求出，即可求出.【詳解】，當(dāng)為純虛數(shù)時(shí)，，解得，，．故選：A.2．已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理的邊角互化可得，再利用余弦定理即可求解.【詳解】由，得．又，所以，從而．因?yàn)?，所以．故選：A3．設(shè)向量，且，則（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)的垂直關(guān)系，可求出；根據(jù)的平行關(guān)系，可求出，進(jìn)而求出的值．【詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以所以，所以故選：A．4．若用平行于某圓錐底的平面去截該圓錐，得到的小圓錐與圓臺(tái)的母線長(zhǎng)相等，則該小圓錐與該圓臺(tái)的側(cè)面積的比值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)該圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，利用圓錐側(cè)面的面積公式：即可求解.【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面積，截得的小圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，其側(cè)面積，而圓臺(tái)的側(cè)面積．故兩者側(cè)面積的比值．故選：B5．在銳角中，已知，，，則的面積為（）A． B．或 C． D．【答案】C【分析】用余弦定理求得，判斷三角形的形狀，由銳角三角形得正確的解，然后由三角形面積計(jì)算．【詳解】由余弦定理得，即，解得或，若，則由得，不合題意，所以，．故選：C．6．若，且，那么是（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】首先利用余弦定理求出，再由利用正弦定理將角化邊，以及余弦定理將角化邊可得，即可判斷三角形的形狀；【詳解】解：，，，，，根據(jù)余弦定理有，，，，，又由，則，即，化簡(jiǎn)可得，，即，是等邊三角形故選：．7．在四邊形中，，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量相等得為平行四邊形，利用向量加法法則結(jié)合數(shù)量積可得，且是的平分線，從而易得對(duì)角線的長(zhǎng)．【詳解】，則四邊形為平行四邊形，設(shè)都是單位向量，，則，，，則，所以，因此由知，且是的平分線，因此是菱形，而，∴，故選：D.8．在等腰梯形中，，，，，點(diǎn)F是線段AB上的一點(diǎn)，為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，若，，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出，寫(xiě)出的表達(dá)式，【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，由已知可得，；設(shè)，則，由可得解得，所以；，由得，解得，此時(shí).設(shè),則，，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算及應(yīng)用，平面向量問(wèn)題優(yōu)先考慮坐標(biāo)運(yùn)算，最值問(wèn)題應(yīng)先構(gòu)建目標(biāo)式，結(jié)合目標(biāo)式的特點(diǎn)進(jìn)行求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).9．已知圓的半徑為2，是圓上兩點(diǎn)且，是一條直徑，點(diǎn)在圓內(nèi)且滿足，則的最小值為A．－2 B．－1 C．－3 D．－4【答案】C【詳解】試題分析：由圖可知：，，又因?yàn)槭菆A的一條直徑，故是相反向量，且，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)且滿足，三點(diǎn)共線，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值，故的最小值為.【解析】向量的運(yùn)算.二、填空題10．已知復(fù)數(shù)z滿足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)_____________.【答案】－2－4i.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可求得結(jié)果.【詳解】z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為－2－4i.故答案為：－2－4i11．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是6，側(cè)棱長(zhǎng)為5，則該正四棱錐的側(cè)面積為_(kāi)____．【答案】48【詳解】試題分析：利用正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征求解．解：已知正四棱錐P﹣ABCD中，AB=6，PA=5，取AB中點(diǎn)O，連結(jié)PO，則PO⊥AB，AO=3，∴PO==4，∴該正四棱錐的側(cè)面積：S=4S△PAB=4×=48．故答案為48．【解析】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．12．若是銳角三角形的三邊長(zhǎng)，則a的取值范圍是_____________【答案】【分析】三角形要為銳角三角形，只要最長(zhǎng)的邊所對(duì)的角為銳角即可【詳解】解：設(shè)三邊（）所以對(duì)的角分別為，則角為最大的角，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，所以，，解得或（舍去）所以a的取值范圍是為，故答案為：13．已知四棱錐P﹣ABCD滿足PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，且底面ABCD為正方形，則該四棱錐的外接球的體積為_(kāi)____．【答案】．【分析】計(jì)算出四棱錐的外接球半徑，由球的體積公式：即可求解.【詳解】由已知，四棱錐為正四棱錐，設(shè)外接球半徑為，作底面，同理可得所以所以外接球的體積為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何的內(nèi)切外接問(wèn)題，解此題的關(guān)鍵找到外接球的球心和半徑，同時(shí)要熟記球的體積公式，屬于中檔題.14．已知為△的重心，過(guò)點(diǎn)的直線與邊分別相交于點(diǎn).若,則當(dāng)與的面積之比為時(shí)，實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.【答案】或【分析】利用重心定理，把向量用表示，再利用，，共線，最后利用面積列方程求得變量間的關(guān)系，先求最后可得．【詳解】解：設(shè)，，，三點(diǎn)共線可設(shè)，，為的重心，，，兩式相乘得①②，②代入①即解得或即或故答案為或．【點(diǎn)睛】此題考查了三點(diǎn)共線與向量的關(guān)系，重心定理，三角形面積等，難度適中．三、雙空題15．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N分別是棱BC，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面AMN的距離是________；若動(dòng)點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面AMN，則線段的長(zhǎng)度范圍是________.【答案】【分析】利用等體積法得，得到點(diǎn)到面的距離；取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接，，EF，取EF中點(diǎn)O，連接，可證點(diǎn)P的軌跡是線段EF，可得當(dāng)與重合時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，當(dāng)P與E（或F）重合時(shí)，的長(zhǎng)度取最大值.【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面AMN的距離是，依題意得，，，所以，所以，所以，又，則由，得，所以.取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接，，EF，取EF中點(diǎn)O，連接，∵點(diǎn)M，N分別是棱長(zhǎng)為2的正方體中棱BC，的中點(diǎn)，∴，，∵，，∴平面平面.∵動(dòng)點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且面AMN，∴點(diǎn)P的軌跡是線段EF，∵，，∴，∴當(dāng)P與O重合時(shí)，的長(zhǎng)度取最小值.當(dāng)P與E（或F）重合時(shí)，的長(zhǎng)度取最大值為.∴的長(zhǎng)度范圍為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了等體積法求點(diǎn)面距，考查了平面與平面平行，直線與平面平行，考查了立體幾何中的軌跡問(wèn)題，屬于中檔題.四、解答題16．已知向量與的夾角，且，．（1）求，；（2）求與的夾角的余弦值．（3）若，求在上的投影向量．【答案】（1），；（2）；（3）．【分析】（1）直接利用數(shù)理積公式求解即可，由于，然后代值求解即可；（2）利用向量的夾角公式直接求解即可；（3）利用投影公式直接求解即可【詳解】（1）由已知，得，；（2）設(shè)與的夾角為，則，因此，與的夾角的余弦值為（3）因?yàn)椋栽谏系耐队跋蛄繛?7．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，BC//平面PAD，，E是PD的中點(diǎn).（1）求證：BC//AD；（2）求證：CE//平面PAB.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用線面平行即可證明BC//AD；（2）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，證明，CE//平面PAB即得證.【詳解】證明：在四棱錐中，平面PAD，平面ABCD，平面平面，，取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，是PD的中點(diǎn)，，，又由可得，且，，，四邊形BCEF是平行四邊形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明空間直線平面的位置關(guān)系一般利用轉(zhuǎn)化的思想：線線平行（垂直）線面平行（垂直）面面平行（垂直）.18．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）若，且，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理即可求出；（2）由面積公式可求得，再由余弦定理求得即可求出周長(zhǎng).【詳解】解：（1）由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理：，∵，∴；（2）∵，∴，由余弦定理：，∴，∴，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為.19．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角的大小；