數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：等差數(shù)列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達(dá)標(biāo)1。已知數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式為an=2(n+1)+3，則此數(shù)列（）A.是公差為2的等差數(shù)列B。是公差為3的等差數(shù)列C。是公差為5的等差數(shù)列D.不是等差數(shù)列思路解析：已知a1=7，an—an-1=2（n≥2）,故這是一個以2為公差的等差數(shù)列.也可根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=dn+(a1-d)知d=2.答案:A2。在等差數(shù)列｛an}中,已知a1=2，a2+a3=13,則a4+a5+a6等于()A.40B。42C。43思路解析:在等差數(shù)列{an}中，已知a1=2,a2+a3=13,∴d=3.∴a5=14.則a4+a5+a6=3a5=42.答案:B3.設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和，若S7=35，則a4等于（)A。8B.7C思路解析:S7=7a4=35，∴a4=5。答案:D4.已知等差數(shù)列｛an}中,a2=7,a4=15，則前10項(xiàng)的和S10等于（)A.100B。210C思路解析:d==4，a1=3，所以S10=210。答案：B5。等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為()A。130B.170C思路解析:令m=1,則Sm=S1=a1=30,S2m=S2=a1+a2=100,則有a1=30,a2=70,d=40，則a3=110,故S3m=S3=S2+a3=100+110=210.注:也可以用Sm，S2m—Sm，S3m—S2m成等差數(shù)列求解。答案：C6.在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列｛an｝中,若an+1-an2+an—1=0（n≥2),則S2n-1-4n等于（)A.-2B。0C。1思路解析:設(shè)公差為d，則an+1=an+d,an-1=an—d,由an+1-an2+an-1=0(n≥2),得2an-an2=0,解得an=2（零解舍去），故S2n—1—4n=2×(2n—1）—4n=—2.答案：A7.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4=14，S10—S7=30,則S9=___________.思路解析:設(shè)等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意，得4a1+=14，［10a1+]-［7a1+］=30，聯(lián)立解得a1=2,d=1,所以S9=9×2+·1=54.答案：548.若兩個等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比是（7n+1)∶(4n+27），則它們的第11項(xiàng)之比為_____________。思路解析：方法一：設(shè)數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則a11=，b11=,∴。方法二：等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，則可設(shè)Sn=(7n+1)·nk，Tn=（4n+27)·nk，由an=Sn-Sn-1=k(14n—6），得a11=148k，n≥2.bn=Tn—Tn—1=k(8n+23），得b11=111k?！?答案：我綜合我發(fā)展9.設(shè)數(shù)列｛an}、｛bn}、｛cn}滿足：bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2（n=1,2，3,…).求證:｛an｝為等差數(shù)列的充分必要條件是｛cn｝為等差數(shù)列且bn≤bn+1(n=1，2，3，…）.證明：必要性：設(shè){an｝是公差為d1的等差數(shù)列,則bn+1—bn=(an+1-an+3）-(an—an+2)=(an+1-an)—(an+3-an+2）=d1-d1=0?！郻n≤bn+1(n=1，2,3，…）成立.又cn+1-cn=（an+1-an）+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2）=d1+2d1+3d1=6d1（常數(shù))（n=1,2,3,…)，∴數(shù)列｛cn}為等差數(shù)列。充分性:設(shè)數(shù)列｛cn｝是公差為d2的等差數(shù)列，且bn≤bn+1(n=1，2，3，…），∵cn=an+2an+1+3an+2，①∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4。②①—②,得cn—cn+2=(an-an+2)+2(an+1-an+3）+3（an+2-an+4）=bn+2bn+1+3bn+2.∵cn-cn+2=（cn—cn+1）+（cn+1—cn+2)=—2d2,∴bn+2bn+1+3bn+2=—2d2.③從而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2.④④-③，得（bn+1—bn)+2（bn+2—bn+1)+3(bn+3—bn+2)=0.⑤∵bn+1-bn≥0，bn+2-bn+1≥0,bn+3—bn+2≥0，∴由⑤得bn+1—bn=0(n=1,2,3，…）.由此不妨設(shè)bn=d3(n=1,2，3,…),則an—an+2=d3(常數(shù)).由此cn=an+2an+1+3an+2=4an+2an+1-3d3。⑥從而cn+1=4an+1+2an+2—3d3,⑦⑦—⑥,得cn+1—cn=2(an+1—an)—2d3.因此an+1—an=(cn+1-cn)+d3=d2+d3(常數(shù))(n=1，2,3，…）。∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列.10。某地區(qū)1997年年底沙漠面積為9×105hm2。地質(zhì)工作者為了解這個地區(qū)沙漠面積的變化情況,從1998年開始進(jìn)行了連續(xù)5年的觀測，并在每年底將觀測結(jié)果記錄如下表：觀測年份該地區(qū)沙漠面積比原有面積增加數(shù)/hm219982000199940002000600120017999200210001請根據(jù)上表所給的信息進(jìn)行預(yù)測。(1）如果不采取任何措施,到2010年年底,這個地區(qū)的沙漠面積將大約變成多少？（2)如果從2003年年初開始，采取植樹造林等措施，每年改造8000hm2沙漠,但沙漠面積仍按原有速度增加,那么到哪一年年底，這個地區(qū)的沙漠面積將小于8×105hm2？思路分析:從增加數(shù)看，數(shù)字穩(wěn)定在2000附近，所以可認(rèn)為沙漠面積的增加值構(gòu)成一個等差數(shù)列.求2010年底的沙漠面積可利用數(shù)列的通項(xiàng)公式,首項(xiàng)可以選2002年的增加數(shù),當(dāng)然也可用其他年份的增加數(shù)為首項(xiàng)。列出經(jīng)過n年后的沙漠面積，再根據(jù)已知列出不等式.解：(1)從表中的數(shù)據(jù)看，該地區(qū)每年沙漠面積比原有面積的增加數(shù)是一個等差數(shù)列,公差約為d=2000，a2010=a2002+8d=10001+2000×8≈0.26×105hm2，再加上原有的沙化面