數學自主訓練：三角函數的圖象和性質

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1.函數y=的定義域是()A.［0，1］B.x∈RC.[kπ,kπ+］（k∈Z)D.[2kπ,2kπ+]（k∈Z）思路解析:要使函數有意義，則sin(cosx）≥0.∴0≤cosx≤1.∴x∈［2kπ,2kπ+］（k∈Z).故選D。答案：D2.已知f(x)是定義在（-3,3）上的奇函數，當0<x<3時，f（x）的圖象如圖1—3—10所示，那么不等式f（x)cosx〈0的解集為(）圖1—3—10A.(-3，)∪（0,1)∪(，3)B。(，—1）∪（0,1）∪(,3)C.（—3，）∪（0，1)∪(1，3)D.（—3,—1)∪(0,1）∪(1，3)思路解析:利用奇函數性質，將圖象補充完整,同時在同一坐標系內畫出余弦函數圖象,如圖1-3-11所示，由于f(x)cosx<0,則只需f（x）與cosx在同一x取值時，異號即可.圖1-3—11答案：B3.圖1-3—12是周期為2π的三角函數y=f(x）的圖象，那么f（x）可以寫成(）圖1-3-12A。sin（1+x）B.sin(—1-x)C.sin（x-1）D.sin（1-x)思路解析:由圖可以看出f（1)=0,f（0)〉0，從給出的四個選項中，同時滿足這兩個條件的函數不是sin（1+x)，因為sin（1+1）≠0；也不是sin(—1-x)，因為sin（-1—1）≠0；也不是sin（x—1），因為sin（0—1）=sin（—1）=-sin1≠0.而sin(1-x）同時滿足sin（1-1)=sin0=0和sin(1—0)=sin1>0.答案:D4。（2004遼寧高考卷，11）若f（x)=sin（ωx+φ）的一部分圖象如圖1—3-13所示,則ω和φ的取值是(）圖1-3—13A。ω=1,φ=B。ω=1,φ==—C.ω=,φ=D。ω=，φ=—思路解析：=—（-)=π，∴T=4π。又T=，∴ω=。又A=1，∴y=sin(x+φ）?！鄐in(—+φ)=0.∴—+φ=kπ.由圖知k=0,∴φ=.答案:C5。已知函數y=tan（2x+φ)的圖象過點（,0)，則φ可以是(）A.-B。C。D。思路解析：將點(,0）代入y=tan（2x+φ),得tan(+φ)=0.∴φ可以是-。答案:A6。（2005天津高考卷，文7)函數y=Asin(ωx+φ）(ω〉0，｜φ|<,x∈R）的部分圖象如圖1-3—14所示，則函數表達式是（）圖1—3-14A。y=-4sin(x+）B.y=4sin(x-)C。y=—4sin（x-)D.y=4sin（x+）思路解析：特殊點法。把(—2,0)、(2,—4)分別代入A、B、C、D四個選項中的函數表達式檢驗可知。答案：A7。圖1—3-15是一彈簧振子做簡諧運動的圖象，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振動的位移,則這個振子振動的函數解析式是________.圖1-3—15思路解析:設函數解析式為y=Asin（ωx+φ)，則A=2，由圖象可知T=2×（0。5-0。1)=,∴ω==.∴×0。1+φ=.∴φ=.∴函數的解析式為y=2sin(x+).答案：y=2sin(x+)8。甲、乙兩樓相距60米，從乙樓望甲樓頂的仰角為45°,從甲樓頂望乙樓頂的俯角為30°,則甲、乙兩樓的高度分別為____________.思路解析：如圖1—3-16，甲樓的高度AC=AB=60(米)，圖1-3—16在Rt△CDE中,DE=CE·tan30°=60×=.∴乙樓的高度為BD=BE-DE=60-（米).答案：60米，（60-)米9.一樹干被臺風攔腰折斷，兩樹干折成60°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，樹干原來的高度為______________。思路解析：如圖1-3-17，BC=20tan30°=，AB==,所以樹干原來的高度為AB+BC=（米）.圖1-3-17答案：米10.欲使函數y=Asinωx(A〉0,ω〉0）在閉區(qū)間上至少出現50個最小值,則ω的最小值是______.思路解析：要使y=Asinωx在［0,1］上至少含個周期,即，解得ω≥.答案：我綜合我發(fā)展11。已知函數f(x)=+1。(1)討論函數的奇偶性；（2)判斷函數的最小正周期，并證明你的結論（用反證法).思路分析:（1)利用函數奇偶性的定義;（2)周期函數的周期不止一個，一般存在一個最小正周期，證明T是最小正周期時，往往用反證法比較容易.解:f（x)=|sinx|+｜cosx｜+1的定義域為R.（1）∵f（-x)=f（x）,∴f(x）為偶函數。(2）∵f(x+)=｜sin(x+）｜+|cos(x+）｜+1=f(x)，∴T=.假設f（x)的最小正周期為T′，且0<T′〈，則f(x+T′）=f（x)，即|sin（x+T′)｜+｜cos（x+T′)|=｜sinx|+|cosx｜對x∈R恒成立.x=0，得｜sinT′｜+|cosT′|=1?！遱inT′+cosT′=1（sinT′+cosT′）2=11+2sinT′cosT′=1，∴sinT′cosT′=0sinT′=0或cosT′=0，與T′∈（0,)矛盾?！鄁（x)的最小正周期為T=.12.已知函數f(x)=tanx，x∈（0，），若x1、x2∈(0，)且x1≠x2，試比較［f（x1）+f(x2）］與f(）的大小。思路分析：數形結合法.圖1—3—18解：f（x）=tanx,x∈（0,)的圖象如圖1—3-18所示，則f（x1)=AA1,f（x2)=BB1,f()=CC1,C1D是直角梯形AA1B1B的中位線，所以[f(x1)+f(x2）］=（AA1+BB1)=DC1>CC1=f（），即［f(x1)+f(x2)]>f()。13。單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的距離s（cm）和時間t(s)的函數關系為s=6sin(2πt+）．請完成（1）-（4）題．(1）作出它的圖象；（2)單擺開始擺動(t=0）時,離開平衡位置多少厘米?（3）單擺擺動到最右邊時,離開平衡位置多少厘米？（4）單擺來回擺動一次需要多少時間？解：（1)找出曲線上的五個特殊點，列表如下：t……2πt+…0π2π…S…060-60…用光滑的曲線連接這些點,得函數s=6sin(2πt+）的圖象(如圖1—3—19所示）。圖1-3—19（2）當t=0時，s=6sin=3（cm），即單擺開始擺動時,離開平衡位置3cm.(3）s=6sin（2πt+)的振幅為6，所以單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置6cm.（4）s=6sin(2πt+）周期T==1，所以單擺來回擺動一次需要的時間為1s。14.已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位:小時）的函數，記作y=f（t）。下表是某日各時的浪高數據:t(小時）03691215182124y（米）1。51.00.51.01.51.00。50.991。5經長期觀測，y=f(t)的曲線可近似地看成函數y=Acosωt+B。(1)你能否根據以上數據，求出函數y=Acosωt+B的最小正周期T,振幅A及函數表達式？（2）依據規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請你依據(1)的結論，判斷一天內上午8時至晚上20時之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？思路分析:此題是一個關于三角函數圖象、性質的應用題,其中對圖象的分析以及對題意的理解是關鍵.數學應用題形式多樣，解法靈活,在應用題的各種題型中，有這樣一類題目:信息以表格數據的形式給出,要求對數據進行合理的轉化處理，建立數學模型，解答有關的實際問題。解答此類題型常有以下三種方法：(1)直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數學模型或題中給出了需要用的數學模型,則可直接代入表中的數據，問題即可獲解.（2)列式比較法：若問題所涉及的是最優(yōu)化方案問題，則可根據表中的數據先列式,然后進行比較.（3)描點觀察法:若根據題設條件不能直接確定要用哪種數學模型，則可根據表中的數據在直角坐標系