2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)評價十一3.4反證法含解析北師大版選修1-2

PAGE課時素養(yǎng)評價十一反證法(20分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出沖突,這個沖突可以是①與已知條件沖突;②與假設(shè)沖突;③與定義、公理、定理沖突;④與事實沖突.其中正確的為 ()A.①② B.②③ C.③④ D.①②③④【解析】選D.利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認的簡潔事實相沖突的結(jié)論,以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立,從而確定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法.①與已知條件沖突;正確.②與假設(shè)沖突;正確.③與定義、公理、定理沖突;正確.④與事實沖突.正確.2.小方,小明,小馬,小紅四人參與完某項競賽,當(dāng)問到四人誰得第一時,回答如下:小方:“我得第一名”;小明:“小紅沒得第一名”;小馬:“小明沒得第一名”;小紅:“我得第一名”.已知他們四人中只有一人說真話,且只有一人得第一名.依據(jù)以上信息可以推斷出得第一名的人是 ()A.小明 B.小馬 C.小紅 D.小方【解析】選A.假設(shè)第一名是小方,則小方、小明、小馬說的都是真話,小紅說的是假話,不合題意;假設(shè)第一名是小明,則只有小明說的是真話,另外三人說的都是假話,符合題意;假設(shè)第一名是小馬,則小方、小紅說的都是假話,小馬、小明說的是真話,不合題意;假設(shè)第一名是小紅,則小方、小明說的是假話,小馬和小紅說的是真話,不合題意.3.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么直線c與b的位置關(guān)系為()A.確定是異面直線 B.確定是相交直線C.不行能是平行直線 D.不行能是相交直線【解析】選C.假設(shè)c∥b,而由c∥a,可得a∥b,這與a,b異面沖突,故c與b不行能是平行直線.4.已知x1>0,x1≠1且xn+1=QUOTE(n=1,2,…),試證:數(shù)列{xn}對隨意的正整數(shù)n都滿意xn>xn+1,當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時應(yīng)為 ()A.對隨意的正整數(shù)n,有xn=xn+1B.存在正整數(shù)n,使xn=xn+1C.存在正整數(shù)n,使xn≥xn+1D.存在正整數(shù)n,使xn≤xn+1【解析】選D.隨意的否定為存在,xn>xn+1的否定為xn≤xn+1.二、填空題(每小題5分,共10分)5.命題“隨意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是__________________.

【解析】“至少有一個”的否定是“沒有一個”.答案:沒有一個是三角形或四邊形或五邊形6.命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是直角”的否定是__________________.

【解析】“最多”的反面是“最少”,故本題的否定是:三角形中最少有兩個內(nèi)角是直角.答案:“三角形中最少有兩個內(nèi)角是直角”三、解答題(每小題10分,共20分)7.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c均為整數(shù),且f(0),f(1)均為奇數(shù).求證f(x)=0無整數(shù)根.【證明】設(shè)f(x)=0有一個整數(shù)根k,則ak2+bk=-c.①又因為f(0)=c,f(1)=a+b+c均為奇數(shù),所以a+b為偶數(shù),當(dāng)k為偶數(shù)時,明顯與①式?jīng)_突;當(dāng)k為奇數(shù)時,設(shè)k=2n+1(n∈Z),則ak2+bk=(2n+1)·(2na+a+b)為偶數(shù),也與①式?jīng)_突,故假設(shè)不成立,所以方程f(x)=0無整數(shù)根.8.已知函數(shù)f(x)=ax+QUOTE(a>1),用反證法證明方程f(x)=0沒有負數(shù)根.【證明】假設(shè)方程f(x)=0有負數(shù)根,設(shè)為x0(x0≠-1).則有x0<0,且f(x0)=0.所以QUOTE+QUOTE=0,所以QUOTE=-QUOTE.因為a>1,所以0<QUOTE<1,所以0<-QUOTE<1.解上述不等式,得QUOTE<x0<2.這與假設(shè)x0<0沖突.故方程f(x)=0沒有負數(shù)根.(15分鐘·30分)1.(5分)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個實根”時,要作的假設(shè)是 ()A.方程x3+ax+b=0沒有實根B.方程x3+ax+b=0至多有一個實根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根【解析】選A.結(jié)論“方程x3+ax+b=0至少有一個實根”的假設(shè)是“方程x3+ax+b=0沒有實根.”2.(5分)設(shè)x,y,z均為正數(shù),a=x+QUOTE,b=y+QUOTE,c=z+QUOTE,則a,b,c三個數(shù) ()A.至少有一個不大于2 B.都小于2C.至少有一個不小于2 D.都大于2【解析】選C.假設(shè)a,b,c都小于2,則a+b+c<6,而a+b+c=x+QUOTE+y+QUOTE+z+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥2+2+2=6,與a+b+c<6沖突,所以a,b,c都小于2錯誤.所以a,b,c三個數(shù)至少有一個不小于2.3.(5分)若a,b,c,d都是有理數(shù),QUOTE,QUOTE都是無理數(shù),且a+QUOTE=b+QUOTE,則a與b,c與d之間的數(shù)量關(guān)系為________.

【解析】假設(shè)a≠b,令a=b+m(m是不等于零的有理數(shù)),于是b+m+QUOTE=b+QUOTE,所以m+QUOTE=QUOTE,兩邊平方整理得QUOTE=QUOTE.左邊是無理數(shù),右邊是有理數(shù),沖突,因此a=b,從而c=d.答案:a=b,c=d4.(5分)某班有49位學(xué)生,用反證法證明:至少有5位學(xué)生的生日在同一個月.完善下列證明過程:【證明】假設(shè)至多只有________位學(xué)生的生日在同一個月,即生日同在1,2,3,…,12月的學(xué)生人數(shù)都不超過________人,所以該班學(xué)生總數(shù)m≤________人,與該班有49位學(xué)生的條件沖突,所以假設(shè)不成立,原命題成立.

【解析】“至少有5位學(xué)生的生日在同一個月”的否定為“至多只有4位學(xué)生的生日在同一個月”,即生日同在1,2,3,…,12月的學(xué)生人數(shù)都不超過4人,所以該班學(xué)生總數(shù)m≤4×12=48人.答案:44485.(10分)已知f(x)=x2+px+q.(1)求證:f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)求證:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于QUOTE.【證明】(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于QUOTE不成立,則|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于QUOTE,則|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2,這與|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2相沖突,從而假設(shè)不成立,原命題成立,|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于QUOTE.1.某市在今年中學(xué)學(xué)生足球聯(lián)賽分組中,通過抽簽方式,把甲、乙、丙、丁四支隊伍分到編號為1,2,3,4的四個小組中作為種子隊(每組有且只有一個種子隊).A,B,C,D四位學(xué)生進行如下預(yù)料:A預(yù)料:乙隊在第1小組,丙隊在第3小組;B預(yù)料:乙隊在第2小組,丁隊在第3小組;C預(yù)料:丁隊在第4小組,丙隊在第2小組;D預(yù)料:甲隊在第4小組,丙隊在第3小組.假如A,B,C,D四位學(xué)生每人的預(yù)料都只對了一半,那么在第3小組和第4小組的種子隊分別是 ()A.丁在第3小組,丙在第4小組或甲在第3小組,丁在第4小組B.丙在第3小組,丁在第4小組或甲在第3小組,丁在第4小組C.丁在第3小組,丙在第4小組或丁在第3小組,甲在第4小組D.丙在第3小組,丁在第4小組或丁在第3小組,甲在第4小組【解析】選D.A,B,C,D四位學(xué)生每人的預(yù)料都只對了一半,假設(shè)丁在第3小組,由B的預(yù)料可得乙不在第2小組,由C的預(yù)料可得丙在第2小組,由A的預(yù)料可得乙在第1小組,由D的預(yù)料可得甲在第4小組,符合題意,可得甲在第4小組,乙在第1小組,丙在第2小組,丁在第3小組;假設(shè)丁在第4小組,由B的預(yù)料可得乙在第2小組,由C的預(yù)料可得丙不在第2小組,由A的預(yù)料可得丙在第3小組,由D的預(yù)料可得甲不在第4小組,符合題意,可得甲在第1小組,乙在第2小組,丙在第3小組,丁在第4小組.2.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導(dǎo)數(shù)列{an}的前n項和公式.(2)設(shè)q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,當(dāng)q=1時,Sn=a1+a1+…+a1=na1.當(dāng)q≠1時,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②由①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn所以Sn=QUOTE,綜上所述,Sn=QUOTE(2)假設(shè){an+1}是等比