【計(jì)算流體力學(xué)】第6講-差分方法4-WENO

1WENOschemesareubiquitousinscienceandengineering,withapplicationsinfluiddynamics,astrophysics,oranyotherareainvolvingconvection-dominateddynamics.Thetechniqueismainlyappliedinthecontextofhyperbolicandconvection-dominatedparabolicPDEs.However,sinceitisahighlyadvancedinterpolationtechnique,italsohasapplicationsinfieldsthatdonotuseitaspartofaPDEsolver,suchascomputervisionandimageprocessing.WENO(WeightedEssentiallyNon-Oscillatory)scheme加權(quán)基本無(wú)振蕩格式VanLith,etal.,JCP,2017,Vol.3302ApplicationsofWENOschemescanbefoundinmanyareasofcomputationalphysicsandcomputationalengineering.Welistbelowonlyafewexamplesoverthepastyear(since2015).RecentapplicationsofWENOschemescanbefoundinthesimulationsofastrophysicsandgeophysics[55,83,137,140,162,172,215,223],atmosphericandclimatescience[70,181,225],batchchromatographicseparation[101],biomolecularsolvation[286],bubbleclustersinfluids[222],combustion[11,15,24,164,214,268],detonationwaves[92,114,145,233],elastic–plasticsolids[173],flamestructure[261],granulargas[3],hypersonicflows[109],infectiousdiseasemodels[209],laserwelding[174],magnetohydrodynamics[20,166],mathematicalfinanceforsolvingtheBlack–Scholesequation[90],multiphaseandmultispeciesflows[13,91,108,110,159,160,239],networksandbloodflows[168],oceanwaves[28,125],oilstorageprocess[196],rarefiedgasflow[147],rotoraerodynamicperformance[117],semiconductordeviceandothercomputationalelectronics[59,80,165],shallowwaterequations[29,128,129,138],specialrelativistichydrodynamics[244,264],supersonicflows[267,280],andturbulentflows[74,75,131,150,193,258].Thisveryincompletelistoverjustoneyearperiodclearlydemonstratesthewide-spreadinfluenceoftheWENOtechniqueincomputationalscienceandengineering.WENO(WeightedEssentiallyNon-Oscillatory)scheme加權(quán)基本無(wú)振蕩格式Chi-WangShu,JCP,2016,Vol.31634激波捕捉格式迎風(fēng)格式（Godunov格式）TVD格式（Harten，1983）ENO格式（Hartenetal.,1987）WENO格式（Liuetal.,1994;Jiang&Shu1996）限制器極值點(diǎn)一階精度一致高精度ENO:光滑區(qū)信息浪費(fèi)、邏輯判斷等光滑區(qū)高精度，捕捉激波具有ENO性質(zhì)（1997）雙曲型偏微分方程間斷（激波）StanleyOsher5存在常數(shù)，保證格式為r階精度通量與j+1/2點(diǎn)處的函數(shù)值的關(guān)系2m+1階2m+2階

m個(gè)方程m=1(k=1)m=2(k=1,2)三階：6差商表在光滑:……在上存在一個(gè)跳躍在

階導(dǎo)數(shù)：在上光滑，在有間斷（跳躍）：:p階導(dǎo)數(shù)的跳躍值

7jENO:jj-1j+1jj-1j-2j+1jj-1j-2j-3j+1(j,j)(j-1,j)(j-2,j)](j-1,j+1)(j,j+1)

ENO最終選的模板為：最光滑模板如上述過(guò)程：正通量：8jj+2j+1j-1j-2ENO:在存在間斷：在上光滑：

§6.1WENO格式9WENO:jj+2j+1j-1j-2利用所有子模板的一個(gè)加權(quán)凸組合來(lái)構(gòu)造最終的數(shù)值通量，要求：（1）在光滑區(qū)域，各個(gè)子模板的權(quán)逼近某個(gè)理想權(quán)值，從而獲得最高階的精度（即從r階的ENO格式獲得2r-1階的WENO格式）；（2）在含間斷的區(qū)域，那些含間斷的子模板的權(quán)接近于0，從而具有基本無(wú)振蕩（ENO）的性質(zhì)?；舅枷耄杭訖?quán)：10WENO:jj+2j+1j-1j-2：為避免分母為0引入的小參數(shù)：可用于控制格式的ENO行為：衡量子模板光滑度的光滑因子（未歸一化的權(quán)值）11第一個(gè)WENO格式:jj+2j+1j-1j-2Liuetal(1994)……通量分裂特征變量重構(gòu)近似黎曼求解

:j+1/2的某種平均值,12jj+2j+1j-1j-2Jiang&Shu(1996)

§6.2WENO格式的發(fā)展

分析方法：Taylor展開分析(r+1)階WENO格式IS1=……IS2=……?13jj+2j+1j-1j-2Jiang&Shu(1996)

§6.2WENO格式的發(fā)展

新的光滑因子：(2r-1)階WENO格式14jj+2j+1j-1j-2Henricketal.(2005)

§6.2WENO格式的發(fā)展

分析方法：Taylor展開分析五階收斂充要條件:充分條件:15Henricketal.(2005)

§6.2WENO格式的發(fā)展

難以保證第一式WENO只有三階五階收斂充要條件:16jj+2j+1j-1j-2Henricketal.(2005)

§6.2WENO格式的發(fā)展

映射函數(shù)：五階WENO-M17

§6.2WENO格式的發(fā)展(1)

常用算例WENO-JSWENO-M映射函數(shù)18

§6.2WENO格式的發(fā)展(2)常用算例

定常解:19

§6.2WENO格式的發(fā)展常用算例(3)

Sod激波管問(wèn)題

Shu_osher問(wèn)題20jj+2j+1j-1j-2Borgesetal.(2008)

§6.2WENO格式的發(fā)展

WENO-JS（1996）：極值點(diǎn)精度WENO-M（2005）：映射函數(shù)計(jì)算量WENO-Z（2008）：21Borgesetal.(2008)

§6.2WENO格式的發(fā)展

WENO-Z：光滑解：的性質(zhì)：1、解在不含間斷，則2、解在某個(gè)子模板光滑，但在間斷，則3、WENO-Z型？22Multi-stepWENO(2014)

§6.2WENO格式的發(fā)展

過(guò)渡點(diǎn)(i-1)：連接光滑區(qū)域和間斷點(diǎn)i的點(diǎn)經(jīng)典構(gòu)造方法在過(guò)渡點(diǎn)(i-1)只有2階精度23jj+2j+1j-1j-2

§6.2WENO格式的發(fā)展

Multi-stepWENO(2014)1.2.將過(guò)渡點(diǎn)的精度提高了一階24

§6.2WENO格式的發(fā)展

1、通過(guò)提高過(guò)渡點(diǎn)的精度，改善了激波附近區(qū)域的計(jì)算精度2、高階WENO格式更加明顯，如七階WENO格式，在過(guò)渡點(diǎn)i-1及鄰近點(diǎn)i-2都存在類似的問(wèn)題3、一種新的加權(quán)思想

ImprovedMulti-stepWENO(Maetal.,2016)Multi-stepWENO(2014)25OptimizedWENO(Wang2001)

§6.2WENO格式的發(fā)展

高精度高頻短波最高階r優(yōu)化：不追求最高階，而是為了更好的分辨較大的波數(shù)p個(gè)方程,r個(gè)系數(shù)DRP優(yōu)化方法：使數(shù)值波數(shù)與真實(shí)波數(shù)的差最小真實(shí)波數(shù)最小化26OptimizedWENO

§6.2WENO格式的發(fā)展

求(1)精度最高（即q=r-1），系數(shù)唯一確定(2)不要求精度最高，重復(fù)上述優(yōu)化過(guò)程

SymmetricWENO(Martin2006)

jj+2j+1j-1j-2j+3

S0S1S2S327jj+1j-1三階WENO格式存在的問(wèn)題

§6.2WENO格式的發(fā)展

優(yōu)點(diǎn)：結(jié)點(diǎn)少（邊界處理、非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格）、魯棒性好、計(jì)算量及精度缺點(diǎn)：極值點(diǎn)精度低、耗散大精度28

§6.2WENO格式的發(fā)展

三階WENO格式存在的問(wèn)題隱含極值點(diǎn)的模板：極值點(diǎn)不是模板上的結(jié)點(diǎn)（如d,e）其它三階WENO格式的問(wèn)題：隱含極值點(diǎn)的模板

無(wú)量綱、相似性、振蕩29WENO:：為避免分母為0引入的小參數(shù)：可用于控制格式的ENO行為WENO-JS:WENO-Z:影響因素：ISk:構(gòu)造方法…………Multi-stepWENO:ak:計(jì)算方法…………Sym-WENO:?30WENO:jj+2j+1j-1j-2構(gòu)造步驟：j+pj-r+1……（1）給定r+p個(gè)點(diǎn)的整體模板（迎風(fēng)：；

中心：），劃分子模板（子模板最多個(gè)點(diǎn)）（2）構(gòu)造子模板的通量（3）計(jì)算理想權(quán)值（4）構(gòu)造子模板光滑因子（5）設(shè)計(jì)合理的權(quán)值計(jì)算方法（6）加權(quán)凸組合：各模板包含點(diǎn)各模板包含點(diǎn)31

§6.3混合-WENO格式計(jì)算量激波/邊界層干擾激波/湍流干擾混合格式：激波捕捉格式+高精度低耗散格式

(流場(chǎng)自適應(yīng))

激波捕捉數(shù)值耗散影響多尺度復(fù)雜流動(dòng)需要關(guān)鍵問(wèn)題:怎樣有效的、高精度的識(shí)別激波32

§6.3混合-WENO格式

高精度激波判別方法問(wèn)題（局限）：1.兩點(diǎn)之間（界面）2.人為的,問(wèn)題相關(guān)參數(shù)數(shù)值通量無(wú)人為、問(wèn)題相關(guān)參數(shù)激波識(shí)別方法:判斷模板（stencil）

是否含有激波/間斷如果則模板可當(dāng)作一個(gè)含激波的模板。假設(shè)是光滑的，則可利用Taylor展開分析，有33

§6.3混合-WENO格式

有限緊致-WENO格式緊致格式：優(yōu)點(diǎn)：結(jié)點(diǎn)少精度高，低耗散低色散缺點(diǎn)：非物理振蕩，影響整個(gè)計(jì)算域精度有限緊致-WENO格式：利用激波判別方法，首先對(duì)激波模板構(gòu)造出WENO格式的數(shù)值通量，而對(duì)其它（光滑）模板的通量采用緊致格式計(jì)算（緊致格式中需要的邊界通量即為WENO格式的通量）。由于激波判別方法將整個(gè)計(jì)算域上的緊致計(jì)算分為有限個(gè)區(qū)域上的緊致計(jì)算，故稱為有限緊致-WENO格式。該方法在激波區(qū)域，具有基本無(wú)振蕩性質(zhì)；在光滑區(qū)域，具有緊致格式的高精度、低耗散性質(zhì)。34

§6.3混合-WENO格式

三階混合-WENO格式隱含極值點(diǎn)的模板：極值點(diǎn)不是模板上的結(jié)點(diǎn)（如d,e）jj+1j-1j+1j+2j35

§6.3混合-WENO格式

三階混合-WENO格式隱含極值點(diǎn)的模板單調(diào)光滑間斷36

§6.3混合-WENO格式

三階混合-WENO格式1.三個(gè)點(diǎn)就能判斷光滑的情況2.三個(gè)點(diǎn)判斷為間斷，但屬于隱含極值點(diǎn)的模板成對(duì)出現(xiàn)THENTHEN成對(duì)出現(xiàn)37

§6.4粘性項(xiàng)高精度方法

NS方程

2r階精度：4r+1個(gè)結(jié)點(diǎn)

6階精度，所需模板:非守恒形式：守恒形式：38

§6.4粘性項(xiàng)高精度方法r=2,四階r=3,六階相同的公式，點(diǎn)不同，計(jì)算量小不同的公式，點(diǎn)相同，精度高，耗散低針對(duì)如下Sod激波管問(wèn)題

用5階WENO格式計(jì)算其數(shù)值解，畫出t=0.14時(shí)刻密度、速度及壓力的分布；并與精確解進(jìn)行比較（要求數(shù)值解與精確解畫在同一張圖上，便于比較）。

要求：空間網(wǎng)格數(shù)100，時(shí)間推進(jìn)格式選用3階Runge-Kutta,時(shí)間步長(zhǎng)自選。