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第2章軸對稱圖形2.4線段、角的軸對稱性基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1線段的軸對稱性1.如圖,△ABC的邊AB的垂直平分線DE交AB于D,交AC于E,且BC=BD=2,則△BCE的周長C不可能是()A.5 B.6 C.7 D.82.(2022內(nèi)蒙古鄂爾多斯中考)如圖,在△ABC中,邊BC的垂直平分線DE交AB于點D,連接DC,若AB=3.7,AC=2.3,則△ADC的周長是.如圖,AB=AD,CB=CD,AC與BD相交于點O.若BD=6cm,則OD=cm.
4.(2023江蘇建湖月考)如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線EF交BC于點E,交AB于點F,點D為線段CE的中點,∠CAD=20°,∠ACB=70°.求證:BE=AC.5.(2022江蘇丹陽期中)如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線l1交AB于點M,交BC于點D,AC的垂直平分線l2交AC于點N,交BC于點E,l1與l2相交于點O,△ADE的周長為10.請你解答下列問題:()(1)求BC的長;(2)試判斷點O是否在邊BC的垂直平分線上,并說明理由.知識點2用尺規(guī)作線段的垂直平分線6.閱讀材料:在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:尺規(guī)作圖:作一條線段的垂直平分線.已知:線段AB.求作:線段AB的垂直平分線.小明的作法如下:(1)分別以點A和點B為圓心,大于12AB的長為半徑作弧,兩弧相交于C,D兩點(2)作直線CD,直線CD就是所求作的垂直平分線.如圖.老師說:“小明的作法正確.”請回答:小明的作圖依據(jù)是什么? 7.近年來,國家實施“村村通”工程和農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革,某縣計劃在張村、李村之間建一座定點醫(yī)療站P,張、李兩村在兩相交公路內(nèi)(如圖所示).醫(yī)療站必須滿足下列條件:①到兩公路距離相等;②到張、李兩村的距離也相等.請你通過作圖確定P點的位置.知識點3角的軸對稱性8.如圖,△ABC中,∠CAB與∠CBA的鄰補角的平分線交于點O,OM⊥CB,交CB的延長線于M,若OM=2cm,則點O到直線CA的距離為cm.9.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE、DF分別是△ABD和△ACD的高.(1)試說明AD垂直平分EF;(2)若AB=6,AC=4,S△ABC=15,求DE的長.能力提升全練10.(2022湖北宜昌中考)如圖,在△ABC中,分別以點B和點C為圓心,大于12BC的長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N.作直線MN,交AC于點D,交BC于點E,連接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,A.25 B.22 C.19 D.1811.(2021江蘇淮安中考)如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E,連接AE,若AE=4,EC=2,則BC的長是()A.2 B.4 C.6 D.812.(2022北京中考)如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,則S△ACD=.
13.(2023江蘇泰州泰興月考)如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分線交AC于D點,垂足為E,且∠1=2∠2,求∠A的度數(shù).()14.(2023江蘇蘇州期中)如圖,在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取點M、N,連接MN.若MP平分∠AMN,NP平分∠MNB.(1)求證:OP平分∠AOB;(2)若MN=8,△PMN與△OMN的面積分別是16和24,求線段OM與ON的長度之和. 備用圖素養(yǎng)探究全練15.已知點C是∠MAN的平分線上一點,∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B、D兩點,且∠ABC+∠ADC=180°.過點C作CE⊥AM,垂足為E.()(1)如圖①,當(dāng)點E在線段AB上時,求證:BC=DC;(2)如圖②,當(dāng)點E在線段AB的延長線上時,探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系;(3)如圖③,在(2)的條件下,若∠MAN=60°,連接BD,作∠ABD的平分線BF交AD于點F,交AC于點O,連接DO并延長交AB于點G,若BG=1,DF=2,求線段DB的長.
第2章軸對稱圖形2.4線段、角的軸對稱性答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.D因為直線DE是AB的垂直平分線,所以AE=BE,AD=BD=2,所以△BCE的周長=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC.因為AB=AD+BD=2+2=4,所以4-2<AC<4+2,即2<AC<6,所以△BCE的周長C的取值范圍是4<C<8.故選D.2.答案6解析∵邊BC的垂直平分線DE交AB于點D,∴BD=CD.∵AB=3.7,AC=2.3,∴△ADC的周長為AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=6.故答案為6.3.答案3解析∵AB=AD,CB=CD,∴AC所在直線是線段BD的垂直平分線,∴OD=124.證明如圖,連接AE,∵∠ACB=70°,∠DAC=20°,∴∠ADC=180°-∠DAC-∠ACB=180°-20°-70°=90°,∴AD⊥EC.∵DE=DC,∴AD是線段CE的垂直平分線,∴AE=AC.∵EF垂直平分AB,∴AE=BE,∴BE=AC.5.解析(1)∵l1垂直平分AB,∴DB=DA,同理EA=EC,∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=10.(2)點O在邊BC的垂直平分線上.理由如下:如圖,連接AO,BO,CO.∵l1與l2是AB,AC的垂直平分線,∴AO=BO,CO=AO,∴OB=OC,∴點O在邊BC的垂直平分線上.6.解析依據(jù)是“到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上”和“兩點確定一條直線”.7.解析如圖.8.答案2解析如圖,過點O作ON⊥AB,OQ⊥CA,垂足分別為點N、Q,∵AO、BO分別是∠CAB與∠CBA的鄰補角的平分線,∴OQ=ON,ON=OM,∴OQ=OM.∵OM=2cm,∴OQ=2cm,即點O到直線AC的距離為2cm.故答案為2.9.解析(1)∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,在Rt△AED和Rt△AFD中,AD=AD,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF,∴點A在EF的垂直平分線上,∵DE=DF,∴點D在EF的垂直平分線上,∴AD垂直平分EF.(2)∵DE=DF,∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB·DE+1=12DE·(AB+AC)=15∵AB=6,AC=4,∴12×10×DE=15∴DE=3.能力提升全練10.C由題意得MN垂直平分BC,∴DB=DC.∴△ABD的周長=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC.∵AB=7,AC=12,∴△ABD的周長是19,故選C.11.C∵DE是AB的垂直平分線,AE=4,∴EB=EA=4,∴BC=EB+EC=4+2=6.故選C.12.答案1解析過D點作DH⊥AC于H,如圖,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DH=DE=1,∴S△ACD=1213.解析∵AB的垂直平分線交AC于D點,∴DB=DA,∠2=∠A(設(shè)為α),∴∠BDC=∠2+∠A=2α.∵∠C=90°,∠1=2∠2,∴∠1+∠BDC=90°,即4α=90°,∴α=22.5°,即∠A=22.5°.14.解析(1)證明:過點P作PC⊥OA,垂足為C,過點P作PD⊥MN,垂足為D,過點P作PE⊥OB,垂足為E,如圖,∵MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,∴PC=PD.∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,∴PD=PE,∴PC=PE,∴OP平分∠AOB.(2)∵△PMN的面積是16,MN=8,∴12MN·PD=16即12×8×PD=16∴PD=4,∴PD=PC=PE=4.∵△OMN的面積是24,∴四邊形MONP的面積=△PMN的面積+△OMN的面積=16+24=40,∴△POM的面積+△PON的面積=40,∴12OM·PC+12∴12OM·4+12∴OM+ON=20,∴線段OM與ON的長度之和為20.素養(yǎng)探究全練15.解析(1)證明:如圖,過點C作CF⊥AN,垂足為F.∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AN,∴CE=CF.∵∠CBE+∠ADC=180°,∠CDF+∠ADC=180°,∴∠CBE=∠CDF.在△BCE和△DCF中,∠CBE=∠CDF,∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BC=DC.(2)AD-AB=2BE.理由:如圖,過點C作CF⊥AD,垂足為F.∵AC平分∠MAN,CE⊥AM,CF⊥AD,∴CE=CF,易證△ACE≌△ACF,∴AE=AF.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBE=180°,∴∠CDF=∠CBE.在△BCE和△DCF中,∠CBE=∠CDF,∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,∴AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE,∴AD-AB=2BE.(3)如圖,在BD上截取BH=BG,連接OH.∵BF平分∠ABD,∴∠ABF=∠DBF,在△OBH和△OBG中,BH=BG,∴△OBH≌△OBG(SAS),∴∠OHB=∠OGB.∵AO是∠MAN的平分線,BO是∠ABD的
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