14二次根式的加減法

專題1.4二次加減運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】概念：同類二次根式，法則：二次根式的加減法法則，會(huì)合并同類二次根式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式加減運(yùn)算；3、會(huì)利用運(yùn)算律和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、同類二次根式1.定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.

特別說明：

(1)判斷同類二次根式的方法：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；相同就是二次根式；

(2)幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，不受其他因素影響判斷.

2.合并同類二次根式

方法：合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)類似)

特別說明：

(1)根號(hào)外面的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)；

(2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式.要點(diǎn)二、二次根式的加減

二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把其中的同類二次根式進(jìn)行合并.對(duì)于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.要點(diǎn)詮釋：（1）在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號(hào)、添括號(hào)法則仍然適用.（2）二次根式加減運(yùn)算的步驟：

1)化簡(jiǎn)（將每個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成為最簡(jiǎn)二次根式）；2)判定（判斷哪些二次根式是同類二次根式）；3)合并（同類二次根式系數(shù)相加減）.要點(diǎn)三、二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.

要點(diǎn)詮釋：(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的；

(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；

(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要寫成最簡(jiǎn)形式.【典型例題】類型一、同類二次根式1.二次根式、中與是同類二次根式的是______．【分析】先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義即可得出結(jié)論．解：∵=，=，=2∴與是同類二次根式的是故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查的是同類二次根式的判斷，掌握二次根式的性質(zhì)和同類二次根式的定義是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】若最簡(jiǎn)二次根式2與3是同類二次根式，則x＝_____．【答案】﹣2或1【分析】根據(jù)同類二次根式定義列式計(jì)算即可；解：因?yàn)樽詈?jiǎn)二次根2與3是同類二次根式，所以x+7＝9﹣x2，且x+7≥0、9﹣x2≥0，解得x1＝﹣2．x2＝1，故答案是：﹣2或1．【點(diǎn)撥】本題主要考查了同類二次根式的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2】已化簡(jiǎn)的和是同類二次根式，則a+b＝_____．【答案】【分析】根據(jù)根指數(shù)及被開方數(shù)分別相同可列出方程，解出后可得出a和b的值，代入可得出答案．解：已化簡(jiǎn)的和是同類二次根式，可得：，解得：，把a(bǔ)＝，b＝代入a+b＝故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查同類二次根式定義以及建立方程組求出解，再代入求值的問題，這類問題是典型題目．類型二、二次根式的加減運(yùn)算2.計(jì)算（1）－+（2）解：（1）原式；（2）原式．【總結(jié)升華】一定要注意二次根式的加減要做到先化簡(jiǎn)，再合并.舉一反三：【變式1】（1）（2）解：（1）；（2）；類型三、二次根式的混合運(yùn)算

3．計(jì)算：（1）；（2）．解：（1）原式=（2）原式=【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．4、觀察下列等式：解答下列問題：（1）寫出一個(gè)無理數(shù)，使它與的積為有理數(shù)；（2）利用你觀察的規(guī)律，化簡(jiǎn)；（3）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由平方差的運(yùn)算法則，即可得到答案；（2）找出題目中的規(guī)律，把分母有理化，即可得到答案；（3）先把分母有理化，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵，∴這個(gè)無理數(shù)為：；（2）==；（3）==．【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的運(yùn)算法則，分母有理化，平方差運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，正確的發(fā)現(xiàn)題目中的規(guī)律是解題關(guān)鍵．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算包含著很多技巧性的東西，技巧運(yùn)用得好計(jì)算就很簡(jiǎn)便而且準(zhǔn)確.舉一反三：【變式】閱讀下面的問題：；；試求：(1)；(2)【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先分母有理化，然后在根據(jù)二次根式運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）首先根據(jù)平方差公式進(jìn)行分母有理化，然后根據(jù)二次根式運(yùn)算法則計(jì)算即可．解：（1）原式===；（2）原式===【點(diǎn)撥】本題考查了分母有理化，二次根式的乘除，平方差公式，關(guān)鍵是掌握平方差運(yùn)算法則．二次根式的加減運(yùn)算（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．計(jì)算+的值等于（）A． B．4 C．5 D．2+2【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：原式=2+3=5故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則.2．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：A、＝，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，與是同類二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；C、，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了同類二次根式，以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握同類二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．3．下列計(jì)算正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】利用完全平方公式和二次根式的相關(guān)計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)不符合題意；B、與不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，故此選項(xiàng)符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的乘法計(jì)算，二次根式的加法運(yùn)算，完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．4．從，，這三個(gè)實(shí)數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有（

）個(gè)．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意分別求出這三個(gè)實(shí)數(shù)中任意兩數(shù)的積，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：由題意得：，∴所有積中小于2的有兩個(gè)；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．5．在根式，，，，中，與是同類二次根式的有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式，繼而可得出答案．【詳解】∵=5，=，=，故與是同類二次根式的有：，，共2個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式是化為最簡(jiǎn)二次根式后被開方數(shù)相同的二次根式．6．已知，，，那么a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把化為再結(jié)合從而可得答案．【詳解】解：∵，，，而∴故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的大小比較，二次根式的混合運(yùn)算，掌握“二次根式的大小比較的方法”是解本題的關(guān)鍵．7．如果最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并，那么a的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．10【答案】A【分析】先把化簡(jiǎn)成最近二次根式，然后根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并，得到被開方數(shù)相同，列出一元一次方程求解即可．【詳解】，∵最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式化簡(jiǎn)，同類二次根式：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，利用同類二次根式的被開方數(shù)相同是解題的關(guān)鍵．8．已知a＝，b＝2+，則a，b的關(guān)系是（）A．相等 B．互為相反數(shù)C．互為倒數(shù) D．互為有理化因式【答案】A【分析】求出a與b的值即可求出答案．【詳解】解：∵a＝＝+2，b＝2+，∴a＝b，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是求出a與b的值，本題屬于基礎(chǔ)題型．9．一個(gè)等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為5和2，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．10+2 B．5+4C．10+2或5+4 D．10+4【答案】A【分析】求等腰三角形的周長(zhǎng)，即是確定等腰三角形的腰與底的長(zhǎng)求周長(zhǎng)；題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為和，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：①若2為腰長(zhǎng)，5為底邊長(zhǎng)，由于2+2＜5，則三角形不存在；②5為腰長(zhǎng)，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為5+5+2＝10+2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長(zhǎng)，不能盲目地將三邊長(zhǎng)相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長(zhǎng)能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．10．觀察下列等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，按照上述規(guī)律，計(jì)算：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意，可得，，，??，再相加即可得解．【詳解】解：第個(gè)等式：，

第個(gè)等式：，第個(gè)等式：，

第個(gè)等式：，……第n個(gè)等式：，∴=，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律以及分母有理化，首先要理解題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得到答案．11．下列運(yùn)算正確的有（）個(gè).①②③④⑤⑥A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則分別進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算出正確結(jié)果即可作出判斷．【詳解】①，故①錯(cuò)誤.②，故②錯(cuò)誤.③，故③錯(cuò)誤.④，故④錯(cuò)誤.⑤，故⑤錯(cuò)誤.⑥，故⑥正確.∴①②③④⑤⑥中只有⑥1個(gè)正確.故選A.．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是能熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．12．下列關(guān)于的敘述正確的是（）A．在數(shù)軸上不存在的點(diǎn) B．C．的算術(shù)平方根是13 D．與最接近的整數(shù)是4【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，實(shí)數(shù)的加法法則，算術(shù)平方根的計(jì)算法則，無理數(shù)的估算即可求解．解：A、在數(shù)軸上存在的點(diǎn)，故錯(cuò)誤；B、，故錯(cuò)誤；C、的算術(shù)平方根是，故錯(cuò)誤；D、與最接近的整數(shù)是4，故正確；故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)的加法，算術(shù)平方根，無理數(shù)的估算，關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算法則．13．對(duì)于已知三角形的三條邊長(zhǎng)分別為,,，求其面積的問題，中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行過深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出求其面積的海倫公式：，其中,若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為,,，則其面積（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)公式解答即可．【詳解】根據(jù)題意，若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，4，則其面積為故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用、數(shù)學(xué)常識(shí)等知識(shí)，難度較難，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．14．設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則的值是（

）A．6 B． C．12 D．【答案】A【分析】首先根據(jù)的整數(shù)部分可確定的值，進(jìn)而確定的值，然后將與的值代入計(jì)算即可得到所求代數(shù)式的值．【詳解】∵，∴，∴的整數(shù)部分，∴小數(shù)部分，∴．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，正確確定的整數(shù)部分與小數(shù)部分的值是解題關(guān)鍵．15．已知：a=，b=，則a與b的關(guān)系是（）A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．平方相等【答案】C【詳解】因?yàn)?故選C.二、填空題16．?dāng)?shù)軸上，點(diǎn)表示，點(diǎn)表示，則間的距離___________【答案】2－2【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的意義可知數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)的距離是||=2－2．解：∵=<0，∴兩點(diǎn)之間的距離為：||==2－2，

故答案為：2－2．【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離及絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)間的距離公式．17．計(jì)算：_____．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則與完全平方公式即可求解．解：=故答案為：．【點(diǎn)撥】此題主要考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式的運(yùn)算法則與完全平方公式的運(yùn)用．18．計(jì)算的結(jié)果是______．【答案】【分析】先將二次根式化簡(jiǎn)及分母有理化，再合并同類二次根式解題．解：故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的減法、二次根式分母有理化等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．19．比較大?。憨乢____﹣2．（填“”或“”）【答案】【分析】首先利用二次根式的性質(zhì)可得2＝，再比較大小即可．解：∵2＝＝＞，∴﹣＞﹣2，故答案為：＞．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的大小比較，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在長(zhǎng)方形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形A，B，正方形A的面積為2，正方形B的面積為6，則圖中陰影部分的面積是__________．【答案】【分析】設(shè)兩個(gè)正方形A，B的邊長(zhǎng)是x、y（x＜y），得出方程x2=2，y2=6，求出x=，y=，代入陰影部分的面積是（yx）x求出即可．解：設(shè)兩個(gè)正方形A，B的邊長(zhǎng)是x、y（x＜y），

則x2=2，y2=6，

x=，y=，

則陰影部分的面積是（yx）x=（）×=，

故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的應(yīng)用、算術(shù)平方根性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．21．化簡(jiǎn)：______．【答案】【分析】分子分母同乘以進(jìn)行分母有理化即可得．解：原式，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的分母有理化，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．22．若a是的小數(shù)部分，則_____．【答案】2【分析】根據(jù)＜＜可得的整數(shù)部分是3，則小數(shù)部分a＝﹣3，代入計(jì)算即可．解：∵9＜11＜16，∴3＜＜4，∴的整數(shù)部分是3，∴小數(shù)部分是a＝﹣3，∴a（a+6）＝（﹣3）（+3）＝11﹣9＝2．【點(diǎn)撥】本題考查了無理數(shù)的估算，注意在相乘的時(shí)候，運(yùn)用平方差公式簡(jiǎn)便計(jì)算．23．已知，則代數(shù)式的值為_______．【答案】【分析】把直接代入求解即可．解：，∴原式=．故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．24．若，則的值為_________．【答案】【分析】先將變形為，再把代入求值即可．解：，，的值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式及其變形是解答此題的關(guān)鍵．25．已知為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)=_____．【答案】【分析】由二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．解：由二次根式的性質(zhì)可知，，∴===；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)進(jìn)行解題．三、解答題26．（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計(jì)算結(jié)果：①；②；③；④__________；…（2）深入探究，觀察下列等式：①；②；③；…根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容：__________．（3）拓展應(yīng)用，通過以上初步感知與深入探究，計(jì)算：①；②．【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075【分析】(1)觀察可得，每個(gè)式子的結(jié)果都等于被開放數(shù)中所有加數(shù)的底數(shù)之和；(2)所有自然數(shù)相加的和等于首項(xiàng)＋尾項(xiàng)的和再乘以自然數(shù)的個(gè)數(shù)，最后除以2即可；(3)利用（1）（2）中的規(guī)律綜合運(yùn)用即可求解．【詳解】解：（1）10；（2）；（3）①原式；②原式．【點(diǎn)睛】主要考查了二次根式的基本性質(zhì)與化簡(jiǎn)、探尋數(shù)列規(guī)律、整式的加減，掌握這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，其中探求規(guī)律是解題關(guān)鍵27．已知，，求代數(shù)式的值．【答案】－4【分析】先將代數(shù)式因式分解，再