全國初中生人教版八年級上冊數(shù)學期中測試題B卷解析版

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁全國初中生人教版八年級上冊數(shù)學期中測試題B卷解析版學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，在中，，是的角平分線，若P、Q分別是和邊上的動點，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】過點D作交，過點作交于Q，交于點P，由是的角平分線，可得點C與關于對稱，則即為所求．【詳解】解：如圖所示：過點D作交，過點作交于Q，交于點P，是的角平分線，，點C與關于對稱，，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱求最短距離，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，找到C點關于的對稱點，再由垂線段最短是求解的關鍵．2．某同學不小心把一塊玻璃打碎了，變成了如圖所示的三塊，現(xiàn)在要到玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，那么應帶哪塊去才能配好（）A．① B．② C．③ D．任意一塊【答案】A【分析】根據(jù)已知及全等三角形的判定方法進行分析，從而得到答案．【詳解】解：只第①塊玻璃中包含兩角及這兩角的夾邊，符合ASA．故選A．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，要求學生能對常用的判定方法熟練掌握并能進行靈活運用．解決本題主要看這3塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定即選哪塊．3．如圖，點E為∠BAC平分線AP上一點，AB＝4，△ABE的面積為12，則點E到直線AC的距離為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先利用△ABE的面積，求得點E到直線AB的距離，然后再利用角平分線的性質(zhì)求解即可【詳解】解：∵AB＝4，△ABE的面積為12，∴點E到直線AB的距離==6，∵E為∠BAC平分線AP上一點，∴點E到直線AC的距離＝6．故選：B．【點睛】本題主要是考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊距離相等是解決本題的關鍵．4．在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠A=∠D，若補充下列條件中的任意一條，就能判定△ABC≌△DEF的是

(

)①AC=DF

②BC=EF

③∠B=∠E

④∠C=∠FA．①②③ B．②③④C．①③④ D．①②④【答案】C【詳解】如圖，∵AB=DE，∠A=∠D，∴根據(jù)“邊角邊”可添加AC=DF，根據(jù)“角邊角”可添加∠B=∠E，根據(jù)“角角邊”可添加∠C=∠F．所以補充①③④可判定△ABC≌△DEF．故選C．5．如圖，把△ABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是(

)．A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2C．∠A=∠1+∠2 D．∠A=2∠1+2∠2【答案】B【分析】過點D、E分別作反向延長線交于A’點，設值，根據(jù)折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及平角的定義即可得出兩者的關系.【詳解】設∠A’ED＝x，∠A’DE＝y(tǒng)，∵△ABC紙片沿DE折疊，∴∠AED＝x，∠ADE＝y(tǒng)，∵∠A’＋x＋y＝180，∠2＋2x＝180，∠1＋2y＝180，∴∠2＋∠1＋2（180－∠A）＝2×180，∴∠2＋∠1－2∠A＝0，2∠A＝∠1＋∠2.故選B.【點睛】本題考查了折疊問題和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握翻折變換和三角形的內(nèi)角和定理是本題解題的關鍵.6．如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，BF⊥AC于點F，DE＝2，則BF的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】過D作DG⊥AC于點G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及割補法可列出等式，進而可求出BF的值．【詳解】解：如圖，過D作DG⊥AC于點G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DG=DE=2，∵，∴，∴，解得BF=5，故選：C．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，割補法求面積，能夠熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解決本題的關鍵．7．如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點，且AE＝CF，當BF＋CE取得最小值時，∠AFB＝A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°【答案】B【分析】如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉(zhuǎn)化為FH，與BF在同一個三角形中，根據(jù)兩點之間線段最短，確定點F的位置，即F為AC與BH的交點時，BF+CE的值最小，求出此時∠AFB＝105°．【詳解】解：如圖，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴當F為AC與BH的交點時，如圖2，BF+CE的值最小，此時∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故選B．【點睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題，關鍵是作出輔助線，當BF+CE取得最小值時確定點F的位置，有難度．8．下列說法：①全等圖形的形狀相同、大小相等；②有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等；③一個銳角和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；④全等三角形的對應邊上的中線相等；其中正確的說法為（）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：①全等圖形的形狀相同、大小相等；正確；②有兩邊和及其夾角對應相等的兩個三角形全等，而不能判斷全等；故說法錯誤，③一個銳角和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；正確；④全等三角形的對應邊上的中線相等；正確；故選．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，全等圖形等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．9．如圖，ΔABC中，是的外角平分線，是上異于的任意一點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】可在CA的延長線上取一點E，使AE=AB，得出△ABP≌△AEP，從而將四條不同的線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中進行求解，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，在CA的延長線上取一點E，使AE=AB，連接EP．由AD是∠BAC的外角平分線，可知∠BAP=∠EAP，又AP是公共邊，AE=AB，故△ABP≌△AEP從而有BP=PE，∵在△CPE中，CB+PE＞CE∴CB+PB＞CE而CE=AC+AE=AC+AB∴CB+PB＞AB+AC，故選D.【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形三邊關系的問題，應熟練掌握．10．如圖，在四邊形中，，，，，點在線段上以的速度由點向點運動，同時點在線段上由點向點勻速運動，若與在某一時刻全等，則點運動速度為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，設點P運動時間為t秒，點運動速度為，則，，根據(jù)，可得或，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：設點P運動時間為t秒，點運動速度為，則，，∴，∵，∴或，當時，，，∴，解得：，∴，解得：；當時，，∴，解得：；綜上所述，點運動速度為或．故選：D．11．如圖，已知，，，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先利用證明，得出，，進而可判斷③；利用證明，即可判斷①；利用可證明，即可判斷④，由已知條件可證明，無法證明，即可判斷②．【詳解】解：∵，，，∴，∴，，∴，故③正確；∴，∴，，故①正確；∵，，，∴，故④正確；∵，，∴，即，無法證明，故②錯誤；故選：C．二、填空題12．如圖所示，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，過O點的直線MN∥BC，若AB=12，AC=14，BC=15，則△AMN的周長為.【答案】26【詳解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO=∠CBO，∠OCB=∠OCN；∵MN∥BC，∴∠MOB=∠CBO，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO；∴OM=BM，CN=ON，∴△AMN的周長=12+14=26．點睛：本題主要考查角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及三角形的周長求法，合理利用圖中線段的相等關系是關鍵．13．如圖，在中，，點P從點B出發(fā)以每秒的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒的速度向點C運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，當是等腰三角形時（），運動的時間是秒．【答案】4【分析】本題考查等腰三角形的定義，根據(jù)題意得，列出方程即可求解【詳解】解：設運動的時間為x，在中，，點P從點B出發(fā)以每秒的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒的速度向點C運動，當是等腰三角形時，，，即，解得：．14．如圖，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB邊上取點D，連接DE，DE＝AC，若，BH＝1，則BC＝．

【答案】2.5【分析】過點E作EF⊥AB，交BA的延長線于點F，先分別證明，，由此可得，，再結(jié)合可得，由此可得，進而即可求得答案．【詳解】解：如圖，過點E作EF⊥AB，交BA的延長線于點F，

∵EF⊥AB，AH⊥BC，∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，∵AEBC，∴∠EAF＝∠B，在與中，∴，∴，，在與中，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，∴，∴，即，又∵BH＝1，∴CH＝1.5，∴BC＝BH＋CH＝2.5，故答案為：2.5．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積公式，作出正確的輔助線并能靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關鍵．15．如圖，在△ABC中，已知點E、F分別是AD、CE邊上的中點，且S△BEF=3cm2，則S△ABC的值為cm2．

【答案】12cm2【分析】先說明BE、CE、BF為△ABD、△ACD、△BEC的中線，然后根據(jù)中線的性質(zhì)可知將相應三角形分成面積相等的兩部分，逐步計算即可解答．【詳解】解：∵由于E、F分別為AD、CE的中點∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面積相等，∴S△BEC=2S△BEF=6（cm2），∴S△ABC=2S△BEC=12（cm2）．故答案為12．.【點睛】本題考查了三角形的面積，理解三角形中線可將三角形分成面積分成相等的兩部分是解答本題的關鍵．16．如圖，，垂足為點，，，射線，垂足為點，一動點從點出發(fā)以個單位/秒的速度沿射線運動，點為射線BM上一動點始終保持，當點運動秒時，與全等．

【答案】或或或【分析】本題考查三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關鍵．首先根據(jù)題意可知，本題要分兩種情況討論：①當在線段上時，②當在射線上時；再分別分成兩種情況，，結(jié)合已知，運用即可得出與全等，然后分別計算的長度即可．【詳解】解：①當在線段上，時，，，，，∴點的運動時間為（秒）；②當在上，時，，，，，∴點的運動時間為（秒）；③當在線段上，時，，這時在點未動，因此時間為秒；④當在上，時，，，點的運動時間為（秒），故答案為：或或或．17．已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D為AC的中點，則中線BD的取值范圍為.【答案】2.5<BD<12.5【分析】延長BD到E，使BD=DE，連接AE，可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=BC=15，在中利用三角形三邊關系可求得BE的范圍，可求得BD的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長BD到E，使BD=DE，連接AE，∵D為AC的中點，∴AD=CD，在和中，∵∴（SAS），∴AE=BC=15，在中，由三角形三邊關系可得，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了添加輔助線，全等三等三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形的三邊關系，輔助線——中線倍長是本題的關鍵．18．有些數(shù)學題，表面上看起來無從下手，但根據(jù)圖形的特點，可補全成為特殊的圖形，然后根據(jù)特殊幾何圖形的性質(zhì)去考慮，常?？梢垣@得簡捷解法．根據(jù)閱讀，請解答問題：如圖所示，已知△ABC的面積為16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點D，則△ADC的面積為cm2．【答案】8【分析】延長BD、AC交于點E，由題意證得△ABD≌△AED（ASA），證得AB＝AE，BD＝DE，即可證得S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，設S△EDC＝x，利用S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝12+2S△EDC即可求得結(jié)果．【詳解】解：延長BD、AC交于點E，∵AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點D，∴在△ABD和△AED中，∴△ABD≌△AED（ASA），∴AB＝AE，BD＝DE，∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，設S△EDC＝x，∵△ABC的面積為16cm2，∴S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝16+2S△EDC＝16+2x，∴S△ADC＝S△ADE﹣S△EDC＝故答案為8．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，以及三角形面積的求法，根據(jù)圖形的特點，補全成特殊的圖形是解題的關鍵.19．如圖，直角坐標系中，的頂點，分別在坐標軸上，且，，若點、的坐標分別為、0,2，則點的坐標為．

【答案】【分析】過作軸于點，由，可得，從而證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出，，通過線段和差與點在第四象限即可求解．【詳解】如圖，過作軸于點，

，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∴點坐標為，故答案為：．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握判定與性質(zhì)的應用和全等三角形的垂線模型．20．如圖，已知點P（2m﹣1，6m﹣5）在第一象限角平分線OC上，一直角頂點P在OC上，角兩邊與x軸y軸分別交于A點，B點，則：（1）點P的坐標為；（2）OA+BO＝．【答案】（1，1）2【分析】（1）作軸于，軸于，由角平分線的性質(zhì)得出，得出方程，解方程求出，即可得出點坐標；（2）由證明，得出，則．【詳解】解：（1）作軸于，軸于，如圖所示：根據(jù)題意得：，，，，故答案為；（2）由（1）得：，，，，在和中，，，，，，，．故答案為2．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識點；證明三角形全等是解決問題（2）的關鍵．21．如圖，在中，，平分，P為線段上一動點，Q為邊上一動點，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)為．【答案】/66度【分析】在上截取，連接，證明得出，從而證明當點A、P、E在同一直線上，且時，的值最小，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出結(jié)果【詳解】解：在上截取，連接，如圖所示：平分，，在和中，，，，，，∴當點A、P、E在同一直線上，且，的值最小，即的值最小，∴當點A、P、E在同一直線上，且時，，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的定義、全等三角形的性質(zhì)和判定、垂線段最短及三角形的內(nèi)角和定理，確定使最小時點P的位置是解題的關鍵．22．如圖，在中，，，，有下列結(jié)論：①；②；③連接，；④過點作交于點，連接，則．其中正確的結(jié)論有．【答案】①②③【分析】①根據(jù)證明；②由，得到角相等，從而推出；③連接，過點D作，過點D作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可判斷；④無法證明，從而無法證明．【詳解】∵在與中，，∴故①正確；∵∴∵∴∴∴∴故②正確；如圖，連接，過點D作，過點D作，∵，∴，∵，，∴∵，，∴是的角平分線∵∴∴故③正確；如圖，過點作交于點，連接，若∵則∵則若，則∵∴∵∴則∴∴故④錯誤．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是能夠根據(jù)題目條件，進行推論，能夠作出輔助線連接，過點D作，過點D作．23．在中，，，，，動點P從點A出發(fā)，沿運動，回到點A停止，速度為．（1）如圖1，當點P到，的距離與相等時，；（2）如圖2，在中，，，，．在中，若另外有一個動點Q與點P同時出發(fā)，從點A沿著運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某時刻，恰好，則點Q的運動速度為．【答案】3或或或【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定；解題的關鍵是注意分類討論．（1）連接，證明，得出，根據(jù)即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意分四種情況進行分析，利用全等三角形的性質(zhì)得出點所走的路程，進而可求出的運動時間，即的運動時間，再利用速度路程時間求解即可．【詳解】解：（1）連接，如圖所示：∵點P到，的距離與相等，∴平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：3．（2）設點的運動速度為，①當點在上，點在上，時，，∴運動時間為。則，解得；②當點在上，點在上，時，，∴運動時間為，則，解得：；③當點P在上，點在上，時，，∴點P的路程為，點Q的路程為，∴此時運動時間為，則，解得；④當點P在上，點Q在上，時，∴點P的路程為，點Q的路程為，∴此時運動時間為，則，解得；∴運動的速度為或或或．故答案為：或或或．24．如圖，已知中，，滿足，點P從A點出發(fā)沿A→C→B路徑向終點B運動：點Q從B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點A運動；點P，Q的速度分別以每秒1個單位長度和每秒3個單位長度的速度同時開始運動，兩個點都要到達相應的終點時才能停止運動，分別過P，Q作于E，于F．設運動時間為t秒，當以P，E，C為頂點的三角形與以Q，F(xiàn)，C為頂點的三角形全等時，t的值為（不考慮兩三角形重合的情況）．【答案】或【分析】先證明時，再根據(jù)題意分為五種情況，結(jié)合分別列方程求解，解出方程即可．【詳解】解：①當P在上，Q在上運動時，如圖①：

由題意可知：，，，，，，，，，，，，，，即，；②當P在上，Q在上運動時，如圖②，

由題意可知：，，由①可知，，，，此時，故此種情況不符合題意；③當P，Q都在上時，如圖③，兩個三角形重合，不符合題意；

④當Q到A點停止，P在上運動時，，此時，；⑤P，Q都在上時，點P，Q的速度分別以每秒1個單位長度和每秒3個單位長度的速度同時開始運動，P，Q都在上運動的情況不存在，綜上所述，t的值為或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查對全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的幾何應用，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能根據(jù)題意得出方程是解此題的關鍵．三、解答題25．【發(fā)現(xiàn)問題】（1）數(shù)學活動課上，王老師提出了如下問題：如圖1，，，中線的取值范圍是多少？【探究方法】第一小組經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長到E，使得；②連接，通過三角形全等把、、轉(zhuǎn)化在中；③利用三角形的三邊關系可得AE的取值范圍為，從而得到的取值范圍是________________________；方法總結(jié)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形【問題拓展】（2）如圖2，，，與互補，連接、，E是的中點，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，若，延長交于點F，，，求的面積．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】本題考查了倍長中線型全等問題，正確作出輔助線是解題關鍵．（1）根據(jù)提示證即可求解；（2）延長至點，使得，連接，證得，，進而可得，再證即可；（3）由（2）可得：，，進一步得；根據(jù)題意可證，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵是的中線．∴，∵，，∴，∴，可得，即：，∴，故答案為：；（2）證明：延長至點，使得，連接，如圖所示：由題意得：，∵，,∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖，由（2）可得：，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．26．全等三角形是研究圖形性質(zhì)的主要工具，以此為基礎，我們又探索出一些軸對稱圖形的性質(zhì)與判定．通過尋找或構(gòu)造軸對稱圖形，能運用其性質(zhì)及判定為解題服務．(1)如圖1，BE⊥AC，CD⊥AB，BD＝CE，BE與CD相交于點F．①求證：BE＝CD；②連接AF，求證：AF平分∠BAC．(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別在AB、AC上，且BD＝CE．請你只用無刻度的直尺畫出∠BAC的平分線．（不寫畫法，保留畫圖痕跡）．(3)如圖3，在△ABC中，仍然有條件“AB＝AC，點D，E分別在AB和AC上”．若，則CD與BE是否仍相等？為什么？【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）①先根據(jù)定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)線段和差即可得證；②直接根據(jù)角平分線的判定即可得證；（2）連接交于點，連接并延長交于點，則平分，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)定理可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的判定可得，然后根據(jù)定理可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得；（3）在上取一點，使得，連接，先根據(jù)定理可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)平角的定義、等量代換可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，最后根據(jù)等量代換即可得證．【詳解】（1）證明：①∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴；②如圖1，連接，

∵，，，且點在的內(nèi)部，∴平分．（2）解：如圖2，連接交于點，連接并延長交于點，則平分，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，，即，在和中，，∴，∴，∴平分．（3）解：，理由如下：如圖3，在上取一點，使得，連接，

∵，∴，在和中，，∴，，，，，，，，．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、角平分線的判定定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和等腰三角形是解題關鍵．27．如圖，C為線段上一動點，（不與A，E重合），在同側(cè)分別作等邊三角形和．則以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤中正確的有_____．并證明其中的一個結(jié)論．【答案】①②③⑤，證明見解析【分析】此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及三角形全的判定與性質(zhì)；三角形全等的證明是正確解答本題的關鍵．證明即可解題．【詳解】解：正確的有①②③⑤，①∵和為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，②由①中的全等得，又，∴，即，∴，∴；⑤又∵，∴為等邊三角形，∴，∴成立；③由得③成立．故答案為：①②③⑤．28．在中，，D為直線上任意一點，連結(jié)，于點E，于點F．【畫圖】（1）如圖①，當點D在邊上時，請畫出中邊上的高；【探究】（2）如圖①，通過觀察、測量，你猜想之間的數(shù)量關系為__________；為了說明之間的數(shù)關系，小明是這樣做的：證明：∵__________，∴__________．∵，∴__________．【運用】（3）如圖②，當點D為中點時，試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展】（4）如圖③，當點D在的延長線上時，請直接寫出之間的數(shù)量關系．【答案】（1）見詳解；（2），，，；（3）與的數(shù)量關系為，理由見解析；（4）【分析】本題考查了中線平分三角形的面積，割補法求三角形的面積．（1）過點B作交于一點E，即可作答．（2），根據(jù)已有的過程結(jié)合面積之間的關系列式化簡，即可作答．（3）同理得，因為點D為中點，所以，結(jié)合，化簡得，即可作答．（4）同理結(jié)合面積之間的關系列式化簡，，即可作答．【詳解】解：（1）依題意，邊上的高如圖所示：（2）；證明：∵，∴，∵，∴；（3）過點B作交于一點G，∵，∴，∵點D為中點，∴，∵，∴；∵，，∴，∴，（4）過點B作交于一點，∵，∴，∵，∴，則，29．如圖，中，點D在邊上，，的平分線交于點E，過點E作，垂足為，且，連接．

(1)求證：平分；(2)若，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過點E作于G，于H，先通過計算得出，根據(jù)角平分線的判定與性質(zhì)得，則，由到角兩邊距離相等的點在角的平分線上結(jié)論得證；（2）設，則，根據(jù)，即：，求得，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）明：如圖，過點E作于G，于H，

∵，∴，∵，∴，∴，∴為的平分線，又，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴點E在的平分線上，∴平分；（2）解：設，則，∴，即：，解得，，∴，∴的面積為．【點睛】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的高．熟練掌握：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上是解題的關鍵．30．在中，，，直線經(jīng)過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：①：②：(2)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：；(3)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，請直接寫出，，之間的等量關系．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，全等三角形性質(zhì)和判定，解題的關鍵在于熟練掌握全等三角形性質(zhì)和判定．（1）①利用三角形內(nèi)角和定理和等量代換得到，再利用“”證明三角形全等，即可解題；②利用全等三角形性質(zhì)得到，，再結(jié)合等量代換即可證明：（2）由（1）①同理可證，利用全等三角形性質(zhì)得到，，再結(jié)合等量代換即可證明：（3）解題方法與（2）類似．【詳解】（1）證明①在中，，，于D，于E，，，，，；②，，，；（2）證明：由（1）①同理可證，，，；（3）解：，理由如下：由（1）①同理可證，，，．31．已知，平分，點A，B，C分別是射線，，上的動點（A，B，C不與點O重合），連接，連接交射線于點D，設．(1)如圖1，若，①的度數(shù)是_________；②當時，的度數(shù)是_________；當時，的度數(shù)是_________；(2)在一個四邊形中，若存在一個內(nèi)角是它的對角的2倍，我們稱這樣的四邊形為“完美四邊形”，如圖2，若，延長交射線于點F，當四邊形為“完美四邊形”時，求的值．【答案】(1)①；②，(2)的值是或或【分析】（1）①先利用角的平分線的定義，得到，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，等量代換求得的度數(shù)即可；②當時，根據(jù)①得，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，求得，結(jié)合；當時，根據(jù)①得，，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，求得，結(jié)合解答即可；（2）利用分類思想，分；三種情況解答即可．【詳解】（1）解：①∵，平分，∴，∵，∴；②當時，根據(jù)①得，∵，∴；∴，∴；當時，根據(jù)①得，，∵，∴；∴，∴，故答案為：①；②，；（2）①當時，如圖，∵，平分，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴；②當點C在F左邊，時，∵，平分，∴，∵，，∴，，∵，∴∵，∴，∴；③當點C在F右邊，時，∵，平分，∴，∵，，∴，，∴；∴；∵，∴，∴；綜上所述，當四邊形為“完美四邊形”時，的值是或或．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應用，垂直的定義，直角三角形的性質(zhì)，角的平分線定義，分類思想．本題利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)是關鍵，注意分類討論思想的運用．32．（1）如圖1，在中，的平分線與高線CD交于點F，則與的數(shù)量關系______．

（2）如圖2，在中，，CD是高，的外角．的平分線交CD的延長線于F，其反向延長線與的延長線交于點E，試探究與的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】本題考查的是三角形的高，角平分線的含義，三角形的內(nèi)角和定理的應用，三角形的外角的性質(zhì)，熟練的利用三角形的外角的性質(zhì)解題是關鍵．（1）先證明，，再結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）設，先求解，結(jié)合角平分線可得，再由高的定義得出，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：（1）解：，是高，，，，是角平分線，，，，．故答案為：；（2），理由如下：設，∵，，為的角平分線，，為邊上的高，，，又，，．∴．33．（1）已知如圖1，在中，，求邊上的中線的取值范圍．（2）思考：已知如圖2，是的中線，，試探究線段與的數(shù)量和位置關系，并加以證明．【答案】（1）；（2）且【分析】（1）用倍長中線模型，構(gòu)造全等三角形，即可求出中線的取值范圍；（2）用倍長中線模型，通過證明三角形的全等，可求出線段與的數(shù)量和位置關系．【詳解】解：（1）如下圖，延長，使得，則，∵D是的中點，∴，在和中，，∴，∴，在中，可得：，即，∵，∴，∴，∴邊上的中線的取值范圍為：；（2）且，證明如下：如下圖，延長，使得，延長與交于點H，由（1）可易證，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，

∴，∵，∴，∴，綜上所述，且．【點睛】本題考查三角形中線的定義、三角形全等的判定和性質(zhì)，用倍長中線模型添加輔助線是解本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．34．如圖，已知，點E在上，與相交于點F．

(1)若，，則線段的長是；(2)已知，，求的度數(shù)．【答案】(1)3(2)【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形計算，得到答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，計算即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，∴；（2）解：∵，，，∴，，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．35．如圖，已知正方形的邊長為10厘米，點E在邊上，且厘米，如果點P在線段上以2厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段上由C點向D點運動．設運動時間為t秒．

(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過2秒后，與是否全等？請說明理由(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，則當t為何值時，能夠使與全等；此時點Q的運動速度為多少？【答案】(1)全等，理由見解析(2)【分析】（1）由“”可證即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，列出方程可求的值，再求解Q的速度即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵正方形，∴，，而，∴，∵點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過2秒后，，，，，，在和中，，；（2）設經(jīng)過秒后，，當點與點速度不相同時，，此時，，解得，又，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應用，找到正確的數(shù)量關系是解題的關鍵．36．如圖，已知中，，，分別過、向過的直線作垂線，垂足分別為．（1）如圖1，過的直線與斜邊不相交時，直接寫出線段、、的數(shù)量關系是______；（2）如圖2，過的直線與斜邊相交時，探究線段、、的數(shù)量關系并加以證明；（3）在（2）的條件下，如圖3，直線交于點，延長交于點，連接、、，若，，，四邊形的面積是90，求的面積．【答案】（1）數(shù)量關系為：EF=BE+CF；（2）數(shù)量關系為：EF=BE-CF．證明見詳解；（3）S△GHC=15．【分析】（1）數(shù)量關系為：EF=BE+CF．利用一線三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可；（2）數(shù)量關系為：EF=BE-CF．先證∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，可得∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可；（3）先由（2）結(jié)論EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用對角線垂直的四邊形面積可求BG=，再求EG=3，AH=10，分別求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面積差即可求出．【詳解】解：（1）數(shù)量關系為：EF=BE+CF．∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC（AAS），∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF+AE=BE+CF；（2）數(shù)量關系為：EF=BE-CF．∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC（AAS），∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF-AE=BE-CF；（3）∵EF=BE-CF；，∴BE=AF=EF+CF=6+6=12，∵，EH+FH=EF=6，∴2FH+FH=6，解得FH=2，∴EH=2FH=4，S四邊形ABFG==90，∴BG=，∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10，∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，∴S△GHC=S△AC