數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：正弦定理和余弦定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1.在△ABC中,A=60°，a=,則等于(）A。B.C.D。思路解析:由比例的運(yùn)算性質(zhì)，知=,由題意，已知A、a,可得。答案：B2.△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)向量p=(a+c，b),q=（b—a,c—a)，若p∥q，則角C的大小為()A.B.C.D。思路解析:p∥q（a+c）（c-a）=b(b—a)b2+a2—c2=ab,利用余弦定理，得2cosC=1，即cosC=C=.答案:B3.在△ABC中，若,則△ABC是()A。直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D。等腰直角三角形思路解析：設(shè)=k，則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入,得。于是sinAcosB-cosAsinB=0,sin（A—B）=0,∴A=B.同理，B=C，C=A.答案:B4。在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,A=，a=,b=1,則c等于(）A.1B。2C.D.思路解析：由正弦定理，得sinB=，又a＞b，所以A＞B，故B=30°。所以C=90°。故c=2.也可以利用b2+c2—a2=2bccosA求解。答案：B5。在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c。若sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8，則a∶b∶c=____________，∠B的大小是____________。思路解析：∵,sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,∴a∶b∶c=5∶7∶8。令a=5，b=7,c=8，則cosB=?！唷螧=.答案:5∶7∶86。在△ABC中,已知BC=12，A=60°，B=45°，則AC=____________.思路解析：已知兩角及任一邊運(yùn)用正弦定理,已知兩邊及其夾角運(yùn)用余弦定理。由正弦定理,得，解得AC=。答案：7.已知鈍角△ABC的三邊a=k，b=k+2，c=k+4，求k的取值范圍。思路分析:由三角形中大邊對(duì)大角的性質(zhì),可知角C為最大角，即C為鈍角，則cosC＜0,結(jié)合余弦定理可求解。注意已知三邊a，b，c,必須首先能構(gòu)成一個(gè)三角形，方法是兩邊之和大于第三邊。解：∵c＞b＞a,∴角C為鈍角.由余弦定理，得cosC=＜0?！鄈2-4k—12＜0，即—2＜k＜6.又由三角形兩邊之和大于第三邊，即k+(k+2)＞k+4,得k＞2.∴2＜k＜6.8?！鰽BC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，角C等于角A的2倍，a+b=10,cosA=，求:（1）的值;(2)b的值。思路分析：由C=2A，得sinC=sin2A，利用二倍角公式結(jié)合正弦定理可求的值;利用余弦定理及的值聯(lián)立求b.解：（1)∵C=2A，∴sinC=sin2A=2sinAcosA。由正弦定理,得=2cosA=2×=.(2）cosA==,又a+b=10,c=，聯(lián)立，解得當(dāng)a=5，b=5時(shí),三角形為等腰三角形，由A=B及C=2A可得A=45°，這與cosA=矛盾，不合題意，∴b的值為。我綜合我發(fā)展9.在△ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為a、b、c。求證：。思路分析：分析所給的等式左右兩邊的差異，利用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊、角的統(tǒng)一.證明：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2—2accosB,得a2-b2=b2-a2—2bccosA+2accosB.整理,得。依正弦定理，有,，∴。10。在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng),且.(1)求sinB;（2）若b=，且a=c，求△ABC的面積。思路分析:本題所給已知條件中，既有邊又有角，第一個(gè)問(wèn)題是求其中一內(nèi)角的正弦,由此容易想到利用正弦定理、余弦定理，把已知條件中的邊角之間的關(guān)系全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，從而將問(wèn)題解決.第二個(gè)問(wèn)題容易想到利用三角形相應(yīng)的面積公式，圍繞著公式去考慮需要些什么條件.解:（1)由正弦定理得，又，即sinBcosC=3sinAcosB—sinCcosB，sin（B+C)=3sinAcosB。又sin（B+C)=sin(π—A）=sinA＞0,∴sinA=3sinAcosB?！郼osB=。又0＜B＜π，∴sinB=.（2)在△ABC中，由余弦定理，得a2+c2-ac=32,又a=c，∴=32，a2=24?！郤△ABC=。11。某觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測(cè)得公路上與C相距31千米的B處有一人正沿此公路向A走去,走20千米后到達(dá)D處，此時(shí)測(cè)得C、D間的距離為21千米，求此人所在D處距A還有多少千米？思路分析:此題主要涉及到方位角，對(duì)于方位角不僅要分清東南西北四個(gè)基本方向，而且對(duì)于一些方位術(shù)語(yǔ)也要有清楚的認(rèn)識(shí)才行，否則就容易出錯(cuò).此題畫圖分析較好.解：由題意,知∠CAD=60°，cosB=，sinB=.在△ABC中，AC==24。由余弦定理，得BC2=AC2+AB2—2AC·AB·cosA，即312=AB2+242-2·AB·24·cos60°。AB2-24AB—385=0，AB=35或-11（舍）。故AD=AB-BD=15千米，此人所在D處距A還有1512。在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C及其對(duì)邊a、b、c滿足。(1)求角A的大?。唬?)若a=6，求△ABC面積的最大值.思路分析：為了求角A的大小，可以把已知式子邊角統(tǒng)一，顯然由正弦定理邊化角容易實(shí)現(xiàn);要求三角形面積的最大值，需把此面積表示出來(lái)，根據(jù)三角形的面積公式，轉(zhuǎn)化為求BC的最大值,根據(jù)余弦定理可以解決。解：（1）根據(jù)正弦定理，已知等式可化為，∵A+B+C=180°，∴,sinB=sin（A-B）-sin（A+B）=sinAcosB-cosAsinB—sinAcosB—cosAsinB=-2cosAsinB。又sinB≠0，∴cosA=,A=120°.（2)根據(jù)余