2023-2024學(xué)年江蘇省南京一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年江蘇省南京一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知m∈R，則“m=?1”是“直線mx+(2m?1)y?2=0與直線3x+my+3=0垂直”的(

)A.充要條件 B.必要而不充分條件

C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件2.若數(shù)列{an}滿足a1=2，aA.12 B.2 C.3 D.3.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)的部分圖象如圖所示，則(

)A.f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減

B.f(x)的一個增區(qū)間為(?1,1)

C.f(x)的一個極大值為f(?1)

D.f(x)的最大值為f(1)4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，若A.2 B.3 C.32 5.已知點P(2,0)，點Q在圓x2+y2=1上運動，則線段PQ的中點A.(x?1)2+y2=1 B.x6.分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得如圖2的一個樹形圖，記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為an，白圈的個數(shù)為bn，若an=55，則A.34 B.35 C.88 D.897.三個數(shù)a=2e2,b=A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c8.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)左、右焦點，過點F1的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于MA.5 B.52 C.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知圓O1：x2+y2?2x?3=0和圓O2：x2A.兩圓的圓心距|O1O2|=2

B.兩圓有3條公切線

C.直線AB的方程為x?y+1=0

D.圓10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前項和為Sn，公差為d，已知a3=12，SA.a6>0 B.?4<d<?3

C.Sn<0時，n的最小值為13 11.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，P為其上一動點，當P運動到(2,t)時，|PF|=4，直線l與拋物線相交于A，B兩點，點M(4,1)，下列結(jié)論正確的是(

)A.拋物線的方程為y2=8x

B.存在直線l，使得A、B兩點關(guān)于x+y?6=0對稱

C.|PM|+|PF|的最小值為6

D.當直線l過焦點F時，以AF為直徑的圓與12.已知有序數(shù)對(x1,y1)滿足lnx1?xA.D的最小值為255 B.D取最小值時x2的值為125

C.D的最小值為45 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.在平面直角坐標系xOy中，P(x1,y1)，Q(x2,y2)是直線l上不同的兩點，直線l上的向量PQ以及與它平行的非零向量都稱為直線14.已知橢圓x220+y2k=1(20>k>0)的焦距為8，過橢圓的一個焦點，作垂直于長軸的直線交橢圓于15.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，且f(x)=f′(π3)sinx+cosx，則f′(5π16.已知數(shù)列{an}滿足a1=4，nan+1=2(n+1)an，則數(shù)列{an}四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知函數(shù)f(x)=x2?lnx．

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)求函數(shù)18.(本小題12分)

在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an?3n+1，n∈N?

(1)證明數(shù)列19.(本小題12分)

已知圓C的圓心在直線3x?y=0上，且經(jīng)過點A(?1,3)，B(1,5)．

(1)求圓C的標準方程；

(2)過點P(2,1)的直線l與圓C相交于M，N兩點，且|MN|=23，求直線l20.(本小題12分)

已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項a1=2，且1a1，1a2，1a4成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

21.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為12，過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點，若△F1AB的周長為8．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)P為橢圓C上的動點，過原點作直線與橢圓22.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x?mlnx(m∈R)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若存在不相等的實數(shù)x1，x2，使得f(x1)=f(x參考答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.C

6.A

7.D

8.C

9.CD

10.AC

11.ACD

12.BC

13.150°

14.415.1

16.n?2n+117.解：(1)依題意，函數(shù)f(x)=x2?lnx的定義域為(0,+∞)，

且f′(x)=2x?1x，

∴f(1)=12?ln1=1，f′(1)=2?1=1，

因此，曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y?1=x?1，即y=x；

(2)依題意，函數(shù)f(x)=x2?lnx的定義域為(0,+∞)，

且f′(x)=2x?1x，令18.(1)證明：∵an+1=4an?3n+1，n∈N?，

∴an+1?(n+1)=4an?3n+1?(n+1)，

4an?4n=4(an?n)．19.解：(1)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

則3(?D2)+E2=0，1+9?D+3E+F=0，1+25+D+5E+F=0，

聯(lián)立解得D=?2，E=?6，F(xiàn)=6，

∴圓C的方程為x2+y2?2x?6y+6=0，即(x?1)2+(y?3)2=4．

(2)直線l的斜率不存在時，設(shè)直線l的方程為x?2=0，則24?1=23，滿足|MN|=23．

直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y?1=k(x?2)，即kx?y+1?2k=0，

圓心C(1,3)到直線20.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

由(1a2)2=1a1?1a4，得(a1+d)2=a1(a1+3d)．

因為d≠0，所以d=a1=2，

所以an=2n.(4分)

(2)b1+221.解：(1)由橢圓的定義可知三角形F1AB的周長為4a=8，所以a=2，

又離心率e=ca=12，所以c=1，則b2=a2?c2=3，

所以橢圓的方程為x24+y23=1；

(2)①當直線MN不與x軸垂直時，設(shè)直線的方程為y=kx，M(x,y)，N(?x,?y)，

代入橢圓方程可得：x2=123+4k2,y2=12k23+4k3，

則|MN|=(?x?x)2+(?y?y)2=2x2+y222.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f′(x)=1?mx=x?mx，

當m≤0時，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當m>0時，由f′(x)>0得x>m，所以f(x)在(m,+∞)上單調(diào)遞增；

由f′(x)<0得0<x<m，所以f(x)在(0,m)上單調(diào)遞減；

故當m≤0時，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當m>0時，f(x)在(m,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,m)上單調(diào)遞減；

(2)證明：