華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專(zhuān)題06公式法解一元二次方程、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專(zhuān)題06公式法解一元二次方程、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一元二次方程的解法——公式法】 1【考點(diǎn)二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 3【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 6【考點(diǎn)四根據(jù)判別式與一元二次方程根的情況求參數(shù)】 7【考點(diǎn)五一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】 10【考點(diǎn)六利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】 11【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 14【典型例題】【考點(diǎn)一一元二次方程的解法——公式法】例題：（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1.（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．2.（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）解方程(1)；(2)．【考點(diǎn)二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】例題：（2023·廣東佛山·佛山市汾江中學(xué)?？既＃┮辉畏匠痰母那闆r是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．無(wú)法判斷【變式訓(xùn)練】1.（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A． B． C． D．2.（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）方程根的情況是（

）A．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷3.（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解 B．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解C．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解 D．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】例題：（2023·安徽宿州·?？家荒＃┤絷P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)_______．【變式訓(xùn)練】1.（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____．2.（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．【考點(diǎn)四根據(jù)判別式與一元二次方程根的情況求參數(shù)】例題：（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根小于0，求的取值范圍．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·浙江衢州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程根的判別式的值為5，求m的值及方程的根．2.（2023春·浙江杭州·八年級(jí)杭州市采荷中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說(shuō)明理由．(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)．【考點(diǎn)五一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】例題：（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【變式訓(xùn)練】1.（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若、為的兩根，則的值為_(kāi)_____．2.（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b滿足，，且，則的值為_(kāi)__．3.（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，是方程的兩根，則的值為_(kāi)_________．【考點(diǎn)六利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】例題：（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求k的值．2.（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)若為正整數(shù)，求的值；(2)若滿足，求的值．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考一模）用公式法解方程時(shí)，Δ＝（）A． B． C． D．2．（2023春·安徽安慶·八年級(jí)安慶市第四中學(xué)?？计谀┫铝幸辉畏匠讨校瑳](méi)有實(shí)數(shù)根的是（）A． B． C． D．3．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是（

）A． B． C．1 D．74．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長(zhǎng)為（）A． B． C． D．5．（2023春·湖南郴州·八年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求k的取值范圍（

）A． B．且 C． D．且二、填空題6．（2023·上海浦東新·校考三模）一元二次方程根的情況是．7．（2023春·福建福州·八年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)?？计谀┯霉椒ń怅P(guān)于的一元二次方程，得，則該一元二次方程是．8．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是．9．（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)校考期末）若一元二次方程的兩根分別為，則．10．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．三、解答題11．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．12．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．13．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．14．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）寫(xiě)出下列一元二次方程（方程的根為）的兩實(shí)數(shù)根的和與兩實(shí)數(shù)根的積(1)，___________；___________；(2)，___________；___________．15．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)惠州一中?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，判斷方程根的情況；(2)當(dāng)時(shí)，求方程的根．16．（2023春·北京門(mén)頭溝·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問(wèn)題：小明在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，解方程的過(guò)程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無(wú)解問(wèn)題：(1)上述過(guò)程中，從步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)）；(2)發(fā)生錯(cuò)誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．17．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）已知，關(guān)于的一元二次方程，(1)若，求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若，為整數(shù)，且方程有兩個(gè)整數(shù)根，求的值．18．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若的兩邊，的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊的長(zhǎng)為5，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求k的值．19．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若的兩條直角邊的長(zhǎng)恰好是此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，斜邊，求的周長(zhǎng)．20．（2023春·湖南郴州·八年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)試求的取值范圍；(2)若，求的值；(3)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且滿足，試求的值．

專(zhuān)題06公式法解一元二次方程、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一元二次方程的解法——公式法】 1【考點(diǎn)二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 3【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 6【考點(diǎn)四根據(jù)判別式與一元二次方程根的情況求參數(shù)】 7【考點(diǎn)五一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】 10【考點(diǎn)六利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】 11【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 14【典型例題】【考點(diǎn)一一元二次方程的解法——公式法】例題：（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】運(yùn)用公式法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，原方程的解為：，；（2）解：，，，，，原方程的解為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）運(yùn)用公式法求解即可；（2）運(yùn)用公式法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，，；（2）解：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）解方程(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用公式法求解即可．【詳解】（1）∵，∴∴，，，∴∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即，．（2）∵，∴，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】例題：（2023·廣東佛山·佛山市汾江中學(xué)?？既＃┮辉畏匠痰母那闆r是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．無(wú)法判斷【答案】A【分析】由一元二次方程根的判別式：時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有無(wú)的實(shí)數(shù)根；據(jù)此對(duì)方程進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意得，，，，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式確定方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，掌握根的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程跟的判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．，∵，，，∴，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)A符合題意；B．，∵，，，∴，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)B不符合題意；C．，∵，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)C不符合題意；D．，∵，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程：若，則原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若，則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若，則原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；是解本題的關(guān)鍵．2.（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）方程根的情況是（

）A．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷【答案】C【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，∴∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．3.（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解 B．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解C．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解 D．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解【答案】D【分析】直接利用一元二次方程根的判別式分析求出即可．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，方程為，解得，故當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故A不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程為一元二次方程，，當(dāng)時(shí)，方程有相等的實(shí)數(shù)根，故B不符合題意，CD、當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程為為一元二次方程，，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故C不符合題意，D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，根的判別式，正確把握其定義是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】例題：（2023·安徽宿州·校考一模）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【分析】分當(dāng)時(shí)和當(dāng)兩種情況討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)關(guān)于的方程為，解得，方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)關(guān)于的方程若有實(shí)數(shù)根，則有，解得．綜上所述，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判別式，利用分類(lèi)討論的思想分析問(wèn)題是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____．【答案】3【分析】一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則有，得到關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式以及解一元一次方程的知識(shí)，理解并正確運(yùn)用一元二次方程的根的判別式是解題關(guān)鍵．2.（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．【答案】且，【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴且，故答案為：且，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【考點(diǎn)四根據(jù)判別式與一元二次方程根的情況求參數(shù)】例題：（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根小于0，求的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先求出判別式，利用配方法變?yōu)橥耆椒绞郊纯?，?）利用求根公式，先求一元二次方程含k的根，讓其一根小于0，求出范圍即可．【詳解】（1）解：，，，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：，，，方程有一根小于0，，．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的范圍問(wèn)題，掌握根的判別式的用途，會(huì)用根的判別式解決方程根的情況，會(huì)利用求根公式解方程，會(huì)用條件利用不等式，會(huì)解不等式是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·浙江衢州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程根的判別式的值為5，求m的值及方程的根．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或3，當(dāng)時(shí)，方程的解為；當(dāng)時(shí)，方程的解為；【分析】（1）先得出一元二次方程根的判別式，再證明判別式大于0即可解答；（2）令判別式等于5求得或3，然后分和兩種情況，分別代入方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴不論m為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：令，則，解得：或3當(dāng)時(shí)，原方程可化為：∴∴；當(dāng)時(shí)，原方程可化為：∴∴；綜上，當(dāng)時(shí)，方程的解為；當(dāng)時(shí)，方程的解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，由方程根的情況得到判別式的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·浙江杭州·八年級(jí)杭州市采荷中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說(shuō)明理由．(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)．【答案】(1)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可進(jìn)行解答；（2）根據(jù)矩形對(duì)角線相等的性質(zhì)可得，則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即可求出m的值，最后將m的值代入原方程，即可求解．【詳解】（1）解：這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根理由：，∵，∴，∴這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵a，b是矩形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，∴，∵該一元二次方程的兩根為a，b，∴有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴這個(gè)一元二次方程為，解得．∴這個(gè)矩形對(duì)角線的長(zhǎng)是5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知一元二次方程根的情況求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【考點(diǎn)五一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】例題：（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以得到，的值，即可求得．【詳解】∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴，則原式故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若、為的兩根，則的值為_(kāi)_____．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，∴．∴的值為0．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根與關(guān)系，若α，β是一元二次方程的兩根時(shí)，，．2.（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b滿足，，且，則的值為_(kāi)__．【答案】7【分析】根據(jù)題意得出a、b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故，，把所求式子變形再整體代入可算得答案．【詳解】解：∵a，b滿足，，且，∴a、b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式．3.（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，是方程的兩根，則的值為_(kāi)_________．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，即，代入得到，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．【詳解】解：∵是方程的根∴∴∴∵，是方程的兩根∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的定義，一元二次工程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．【考點(diǎn)六利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】例題：（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，進(jìn)而得到，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和，∴，解得；（2）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和，∴，∵，∴，∴，解得或（舍去）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·安徽合肥·八年級(jí)校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求k的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用根的判別式判斷即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系式得到，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵∴無(wú)論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出：，由得：解得：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，正確掌握根的判別式的三種情況及根與系數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)若為正整數(shù)，求的值；(2)若滿足，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)，，代入，解方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得：，為正整數(shù)，；（2）解：，，，，，解得：，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程中根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考一模）用公式法解方程時(shí)，Δ＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】Δ＝，給賦值并代入求值即可．【詳解】解：，∵，∴Δ＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽安慶·八年級(jí)安慶市第四中學(xué)?？计谀┫铝幸辉畏匠讨?，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別找出一元二次方程中的二次項(xiàng)系數(shù)a，一次項(xiàng)系數(shù)b、常數(shù)項(xiàng)c，再利用一元二次方程根的判別式判斷方程的根的情況．【詳解】解：A、，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)正確；D、，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握，方程有實(shí)數(shù)根，否則，無(wú)實(shí)數(shù)根．3．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是（

）A． B． C．1 D．7【答案】D【分析】利用兩根之和為，兩根之積為，計(jì)算即可．【詳解】解：∵、是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系的公式．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，根據(jù)菱形的面積得到，利用勾股定理以及完全平方公式計(jì)算可得答案．【詳解】解：設(shè)方程的兩根分別為a，b，∴，∵a，b分別是一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，已知菱形的面積為11，∴，即，∵菱形對(duì)角線垂直且互相平分，∴該菱形的邊長(zhǎng)為，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及菱形的性質(zhì)，完全平方公式，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·湖南郴州·八年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求k的取值范圍（

）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式以及二次根式有意義的條件，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，然后求解即可解答．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，∴且，解得：且．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的定義、二次根式有意義的條件等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式，列出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023·上海浦東新·?？既＃┮辉畏匠谈那闆r是．【答案】有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】先求根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況．【詳解】解：∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故答案為：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．7．（2023春·福建福州·八年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)?？计谀┯霉椒ń怅P(guān)于的一元二次方程，得，則該一元二次方程是．【答案】【分析】根據(jù)公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)的值，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意及求根公式，得，，，該一元二次方程為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解題關(guān)鍵．8．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是．【答案】【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．9．（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)?？计谀┤粢辉畏匠痰膬筛謩e為，則．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根分別為，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，，掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．10．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】/【分析】由題意可得，然后解不等式即可．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，整理得：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根得判別式的應(yīng)用，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)方程無(wú)實(shí)數(shù)解【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；（2）用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，，則，∴，∴；（2）解：，，則，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程求根公式．12．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)方程無(wú)解(2)方程無(wú)解【分析】先把原方程化為一般式，然后判斷的符號(hào)，如果，則用公式法求解即可，如果，則原方程無(wú)解．【詳解】（1）解：化為一般式得：，∴，∴，∴原方程無(wú)解；（2）解：，化為一般式得，∴，∴，∴原方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用公式法解方程即可．【詳解】（1）解：方程可化為：，∴，∴，∴，∴；（2）解：，整理得，即，∴，∴，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知公式法是解題的關(guān)鍵．14．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）寫(xiě)出下列一元二次方程（方程的根為）的兩實(shí)數(shù)根的和與兩實(shí)數(shù)根的積(1)，___________；___________；(2)，___________；___________．【答案】(1)3，1(2)，【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，；故答案為：3，1；（2）解：∵，，，∴，；故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，要掌握根與系數(shù)的關(guān)系式：．15．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)惠州一中?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，判斷方程根的情況；(2)當(dāng)時(shí)，求方程的根．【答案】(1)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根(2)【分析】（1）利用判別式的符號(hào)，來(lái)判斷方程根的情況；（2）利用因式分解法，解一元二次方程．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)：方程為：，，，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；（2）解：當(dāng)時(shí)，方程為：，，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與判別式，以及解一元二次方程；熟練掌握判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，以及因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·北京門(mén)頭溝·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問(wèn)題：小明在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，解方程的過(guò)程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無(wú)解問(wèn)題：(1)上述過(guò)程中，從步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)）；(2)發(fā)生錯(cuò)誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】(1)③(2)計(jì)算錯(cuò)誤(3)見(jiàn)解析【分析】根據(jù)公式法的步驟判斷和求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得：從③步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤故答案為：③；（2）計(jì)算錯(cuò)誤（負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)得負(fù)數(shù)）；（3）∵，，，∴，∴，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握公式法的計(jì)算步驟．17．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）已知，關(guān)于的一元二次方程，(1)若，求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若，為整數(shù)，且方程有兩個(gè)整數(shù)根，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）對(duì)一元二次方程，先明確其各項(xiàng)系數(shù)，，的值，再利用判別式證明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)整數(shù)根，即，由求出的范圍，且必須為能被開(kāi)方的奇數(shù)，據(jù)此列出關(guān)系式，求解．【詳解】（1）證明：對(duì)關(guān)于的一元二次方程，其中，，，則，當(dāng)時(shí)，，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：