華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題05直接開平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專題05直接開平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一解一元二次方程——直接開平方法】 1【考點(diǎn)二一元二次方程的解法——因式分解法】 3【考點(diǎn)三配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程】 5【考點(diǎn)四配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程】 6【考點(diǎn)五用配方法解一元二次方程錯(cuò)解復(fù)原】 8【考點(diǎn)六利用配方法求多項(xiàng)式的最值問題】 10【過關(guān)檢測(cè)】 13【典型例題】【考點(diǎn)一解一元二次方程——直接開平方法】例題：（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）用開平方法解下列方程：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）解關(guān)于的方程：．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：(1)(2)．【考點(diǎn)二一元二次方程的解法——因式分解法】例題：（2023·安徽馬鞍山·?？家荒＃┙庀铝蟹匠蹋海咀兪接?xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程：(1)；(2)2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列一元二次方程．(1)(2)【考點(diǎn)三配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程】例題：（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解關(guān)于的方程：．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解方程：．2.（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)校聯(lián)考期末）解方程：．【考點(diǎn)四配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程】例題：（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用配方法解．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）用配方法解一元二次方程：．2.（2023春·江蘇南通·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【考點(diǎn)五用配方法解一元二次方程錯(cuò)解復(fù)原】例題：（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）以下是圓圓在用配方法解一元二次方程的過程：解：移項(xiàng)得配方：開平方得：移項(xiàng)：所以：，圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出正確的解答過程．【變式訓(xùn)練】1.（2023秋·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問題：佳佳解一元二次方程的過程如下：解：①②③④．問題：(1)佳佳解方程的方法是______；A．直接開平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法(2)上述解答過程中，從______步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)），發(fā)生錯(cuò)誤的原因是______；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．2.（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）用配方法解一元二次方程：．小明同學(xué)的解題過程如下：解：，小明的解題過程是否正確？若正確，請(qǐng)回答“對(duì)”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出你的解題過程．【考點(diǎn)六利用配方法求多項(xiàng)式的最值問題】例題：（2023秋·甘肅慶陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫作“配方法”．運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，例如．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)分解因式：．(2)求多項(xiàng)式的最小值．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（

）．A． B．0 C．3 D．52.（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，M有最小值5請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【過關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時(shí)，原方程可變形為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的根為（）A． B． C．， D．，3．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解方程：，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是（

）①，②，③，④．A．① B．② C．③ D．④4．（2023春·安徽蚌埠·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們規(guī)定一種新運(yùn)算“★”，其意義為，已知，則x的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或5．（2023春·安徽安慶·八年級(jí)安慶市第四中學(xué)校考期末）對(duì)于多項(xiàng)式，由于，所以有最小值3．已知關(guān)于x的多項(xiàng)式的最大值為10，則m的值為（）A．1 B． C． D．二、填空題6．（2023春·山東東營·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）方程的解為．7．（2023春·北京平谷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程時(shí)，將方程化為的形式，則，．8．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值為．9．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：，若，則的值為．10．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┑妊切蔚膬蛇呴L為方程的兩根，則這個(gè)等腰三角形的周長為三、解答題11．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：（用配方法）．12．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列方程．(用配方法)13．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程(1)；(2)．14．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：(1)(2)15．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解方程：(1)；(2)．16．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）用十字相乘法解方程：(1)；(2)；(3)．17．（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)18．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）閱讀解方程的過程，并解決問題：解：方程兩邊分解因式，得，……第一步方程變形為，……第二步方程兩邊都除以，得，……第三步解得，……第四步(1)上述解方程的過程中從第______步開始出錯(cuò)；(2)請(qǐng)用因式分解法求出該方程的解．19．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）∵，∴我們把形如的式子稱為完全平方式．請(qǐng)解決下列問題：(1)代數(shù)式中，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式為完全平方式；(2)代數(shù)式中，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式為完全平方式；(3)代數(shù)式為完全平方式，求m的值．20．（2023秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【材料閱讀】先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：我們知道，所以代數(shù)式的最小值為0，可以用公式來求一些多項(xiàng)式的最小值．例題：求代數(shù)式的最小值．解：．∴代數(shù)式的最小值為4．請(qǐng)應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：(1)【類比探究】的最小值為______；(2)【舉一反三】代數(shù)式有最______（填“大”或“小”）值為______；(3)【靈活運(yùn)用】某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長度為），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為的矩形．已知柵欄的總長度為，則可設(shè)較小矩形的寬為，較大矩形的寬為（如圖）．當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？

專題05直接開平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一解一元二次方程——直接開平方法】 1【考點(diǎn)二一元二次方程的解法——因式分解法】 3【考點(diǎn)三配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程】 5【考點(diǎn)四配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程】 6【考點(diǎn)五用配方法解一元二次方程錯(cuò)解復(fù)原】 8【考點(diǎn)六利用配方法求多項(xiàng)式的最值問題】 10【過關(guān)檢測(cè)】 13【典型例題】【考點(diǎn)一解一元二次方程——直接開平方法】例題：（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）用開平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先方程兩邊同時(shí)乘以3，變形為，再開平方得，再解一元一次方程即可求解．（2）先把方程變形為，再開平方得，再解一元一次方程即可求解．【詳解】（1）解：或，，；（2）解：或，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握直接開平方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）解關(guān)于的方程：．【答案】，【分析】變形后利用直接開方法解方程即可．【詳解】整理得：，∴，∴或，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了直接開方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟記直接開平方法的解方程的步驟，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算即可．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：(1)(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先移項(xiàng)，寫成的形式，然后利用數(shù)的開方解答．（2）方程兩邊直接開方，再按解一元一次方程的方法求解．【詳解】（1）解：移項(xiàng)得，，開方得，，解得，．（2）方程兩邊直接開方得：，或，∴，或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接開平方法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二一元二次方程的解法——因式分解法】例題：（2023·安徽馬鞍山·?？家荒＃┙庀铝蟹匠蹋海敬鸢浮浚痉治觥渴紫纫祈?xiàng)，把方程的右邊化成，左邊分解因式，即可化成兩個(gè)一元一次方程，即可求解．【詳解】解：移項(xiàng)，得：則則或解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于正確理解因式分解法的基本思想是化成一元一次方程．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程：(1)；(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）把方程分解為兩個(gè)因式積的形式，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）利用因式分解法解方程．【詳解】（1），，或，所以，；（2），，或，所以，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列一元二次方程．(1)(2)【答案】(1)，，(2)，，【分析】（1）利用因式分解法求解即可得到答案；（2）移項(xiàng)，利用因式分解法求解即可得到答案；【詳解】（1）解：因式分解可得，，∴或，解得：，，故方程的解為：，；（2）解：移項(xiàng)得，，因式分解可得，，∴，，解得：，；【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋究键c(diǎn)三配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程】例題：（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解關(guān)于的方程：．【答案】，【分析】先移項(xiàng)后，再配方得，再直接開方即可求解．【詳解】解：，移項(xiàng)得：，配方得：，即，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解方程：．【答案】【分析】利用配方法求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2.（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)校聯(lián)考期末）解方程：．【答案】，【分析】根據(jù)配方法先配成：，然后解一元二次方程即可方法不唯一．【詳解】解：，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程】例題：（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用配方法解．【答案】【分析】利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：，移項(xiàng)得，二次項(xiàng)系數(shù)化成1得，配方得，即∴，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）用配方法解一元二次方程：．【答案】，【分析】根據(jù)完全平方公式的形式進(jìn)行配方，由此即可求解．【詳解】解：方程兩邊都乘，得，移項(xiàng)，得，配方，得，即，開平方，得，∴，，∴原方程的根是，．【點(diǎn)睛】本題主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·江蘇南通·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）先去括號(hào)，再利用配方法解一元二次方程即可得．【詳解】（1）解：，，，，即，，，所以方程的解為，．（2）解：，，，，，即，，，所以方程的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的常用方法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法、換元法等）是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五用配方法解一元二次方程錯(cuò)解復(fù)原】例題：（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）以下是圓圓在用配方法解一元二次方程的過程：解：移項(xiàng)得配方：開平方得：移項(xiàng)：所以：，圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出正確的解答過程．【答案】有錯(cuò)誤，過程見解析【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法進(jìn)而分析得出答案．【詳解】解：圓圓的解答過程有錯(cuò)誤，正確的解答過程如下：移項(xiàng)得：，配方：，，開平方得：，移項(xiàng)：，所以：，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元二次方程，正確掌握配方法解方程的步驟是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023秋·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問題：佳佳解一元二次方程的過程如下：解：①②③④．問題：(1)佳佳解方程的方法是______；A．直接開平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法(2)上述解答過程中，從______步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)），發(fā)生錯(cuò)誤的原因是______；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．【答案】(1)B(2)②，等號(hào)右邊沒有加9(3)，．【分析】（1）利用配方法解方程的方法進(jìn)行判斷；（2）第2步方程兩邊都加上4，則可判斷從②步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；（3）利用配方法解方程的基本步驟解方程．【詳解】（1）解：佳佳解方程的方法為配方法；故選：B；（2）解：上述解答過程中，從②步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，發(fā)生錯(cuò)誤的原因是方程右邊沒有加上9；故答案為：②；等號(hào)右邊沒有加9；（3）解：正確解答為：解：，移項(xiàng)得，配方得，即，∴，∴或，所以，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．2.（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）用配方法解一元二次方程：．小明同學(xué)的解題過程如下：解：，小明的解題過程是否正確？若正確，請(qǐng)回答“對(duì)”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出你的解題過程．【答案】錯(cuò)誤，見解析【分析】運(yùn)用配方法解答該方程即可判定正誤．【詳解】解：錯(cuò)誤，正確解法如下：解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用配方法解一元二次方程，掌握配方法成為解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六利用配方法求多項(xiàng)式的最值問題】例題：（2023秋·甘肅慶陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫作“配方法”．運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，例如．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)分解因式：．(2)求多項(xiàng)式的最小值．【答案】(1)(2)-23【分析】（1）先利用完全平方公式進(jìn)行配方，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）利用完全平方公式進(jìn)行配方，根據(jù)平方的非負(fù)性即可得出答案．【詳解】（1）解：原式．（2）解：，，，多項(xiàng)式的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查利用完全平方公式進(jìn)行配方以及利用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握兩個(gè)公式及其特點(diǎn)是本題解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（

）．A． B．0 C．3 D．5【答案】A【分析】利用配方法對(duì)代數(shù)式做適當(dāng)變形，通過計(jì)算即可得到答案．【詳解】代數(shù)式∵，∴即代數(shù)式，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和不等式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和不等式的性質(zhì)，從而完成求解．2.（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，M有最小值5請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可；（2）利用配方法分解因式即可；（3）利用配方法得到，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定M的最小值．【詳解】（1）解：，故答案為：16；（2）解：；（3）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，M有最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解?配方法等，熟練掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時(shí)，原方程可變形為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，配方得，然后作答即可．【詳解】解：，配方得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握配方法解一元二次方程．2．（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的根為（）A． B． C．， D．，【答案】D【分析】首先移項(xiàng)，將方程右邊移到左邊，再提取公因式x，可得，再根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”，即可求得方程的解．【詳解】解：，移項(xiàng)得：，因式分解得：，∴或，解得：，，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，解題關(guān)鍵在于要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法，本題運(yùn)用的是因式分解法．3．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解方程：，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是（

）①，②，③，④．A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】按照配方法的步驟逐步分析即可.【詳解】解：，，，．即．從用配方法的解題過程中可知，第③步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：①把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；②把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；③等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．4．（2023春·安徽蚌埠·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們規(guī)定一種新運(yùn)算“★”，其意義為，已知，則x的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)新運(yùn)算的法則，列出一元二次方程，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，整理，得：，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算，因式分解法解一元二次方程．解題的關(guān)鍵是理解新運(yùn)算的定義，正確的列出一元二次方程．5．（2023春·安徽安慶·八年級(jí)安慶市第四中學(xué)?？计谀?duì)于多項(xiàng)式，由于，所以有最小值3．已知關(guān)于x的多項(xiàng)式的最大值為10，則m的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】原式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出m的值即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴的最大值為，∴，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，正確將原式配方是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·山東東營·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）方程的解為．【答案】【分析】根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”進(jìn)行求解．【詳解】解：由，得或，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．7．（2023春·北京平谷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程時(shí)，將方程化為的形式，則，．【答案】【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊都加上1，然后把方程作邊寫成完全平方形式，從而得到m、n的值．【詳解】解：，移項(xiàng)得：，配方得：，即，∴，∴，故答案為：1，5．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程—配方法：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．8．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值為．【答案】1【分析】根據(jù)完全平方公式將原式變形為，然后利用完全平方式的非負(fù)性分析其最值．【詳解】解：∵∴∴代數(shù)式的最小值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)及其非負(fù)性是解題關(guān)鍵．9．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：，若，則的值為．【答案】或/或【分析】根據(jù)，由，可得：，據(jù)此求出的值為多少即可．【詳解】解：，，即：，，解得：，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握利用因式分解法求解一元二次方程．10．（2023·安徽合肥·校考一模）等腰三角形的兩邊長為方程的兩根，則這個(gè)等腰三角形的周長為【答案】【分析】先利用因式分解法求出方程的兩個(gè)根，從而可得等腰三角形的兩邊長，再根據(jù)等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系定理可得這個(gè)等腰三角形的三邊長，然后利用三角形的周長公式即可得．【詳解】解：，因式分解，得，解得，等腰三角形的邊長是方程的兩個(gè)根，這個(gè)等腰三角形的兩邊長為，(1)當(dāng)邊長為的邊為腰時(shí)，這個(gè)等腰三角形的三邊長為，此時(shí)，不滿足三角形的三邊關(guān)系定理，舍去；(2)當(dāng)邊長為的邊為腰時(shí)，這個(gè)等腰三角形的三邊長為，此時(shí)，滿足三角形的三邊關(guān)系定理，則這個(gè)等腰三角形的周長為；綜上，這個(gè)等腰三角形的周長為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程、等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．三、解答題11．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：（用配方法）．【答案】【分析】利用配方法解答，即可求解．【詳解】解：，，，，，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列方程．(用配方法)【答案】，【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：∵，∴，則∴即∴，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）方程運(yùn)用因式分解法求解即可；（2）方程運(yùn)用直接開平方法求解即可．【詳解】（1），，則或，解得，；（2），，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡便的方法．14．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用分解因式法解一元二次方程即可；（2）先移項(xiàng)，然后用分解因式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，分解因式得：，∴或，解得：，．（2）解：，移項(xiàng)得：，分解因式得：，∴或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法，準(zhǔn)確計(jì)算．15．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用解一元二次方程-配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：，，，，，；（2）（2），，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程——配方法，熟練掌握解一元二次方程——配方法是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）用十字相乘法解方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】根據(jù)因式分解法求解即可.【詳解】（1）解：方程可以化為：，∴或，∴，；（2）解：方程可以化為：，∴或，∴，；（3）解：方程可以化為：，∴或，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．17．（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）移項(xiàng)后利用分解因式法求解即可；（3）原方程化為一般形式后再利用分解因式法求解；（4）原方程化為一般形式后再利用分解因式法求解.【詳解】（1）解：∵，∴，∴或，解得；（2）解：移項(xiàng)，得，即，進(jìn)一步可變形為，∴或，解得：；（3）解：原方程可變形為，即為，∴或，解得：；（4）解：原方程即為，∴，∴或，解得：.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的求解，屬于基本題目，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵.18．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）閱讀解方程的過程，并解決問題：解：方程兩邊分解因式，得，……第一步方程變形為，……第二步方程兩邊都除以，得，……第三步解得，……第四步(1)上述解方程的過程中從第______步開始出錯(cuò)；(2)請(qǐng)用因式分解法求出該方程的解．【答案】(1)三(2)，【分析】（1）根據(jù)因式分解法