《平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角》教學(xué)設(shè)計

1/12.4平面向量數(shù)量積2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（劉季梅）一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)本節(jié)課是在研究完向量的線性運算之后的又一重要運算，它把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來，這為解決有關(guān)的幾何問題提供了方便，特別為解決線段垂直問題提供了有效的方法，不僅它自身有很豐富的內(nèi)容，而且在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛，所以也是高中數(shù)學(xué)的一個重要概念.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)了解嘗試觀察、歸納、類比、聯(lián)想和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進行相關(guān)計算．2．掌握向量的模、平面上兩點間的距離公式的坐標(biāo)表示．3．掌握兩個向量的夾角公式和向量垂直的坐標(biāo)表示．（三）學(xué)習(xí)重點1．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．2．兩個向量的夾角公式和向量垂直的坐標(biāo)表示．（四）學(xué)習(xí)難點1．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的理解．2．平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第106頁至107頁，填空：①已知兩個非零向量，，則ab=．其含義是：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和．②已知向量，則，其含義是：向量的模（長度）等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．③已知，，則，.④已知兩個非零向量，，則．⑤已知兩個非零向量，，是它們的夾角，則．2．預(yù)習(xí)自測填空：已知向量，，（1）____________，____________；（2）____________，____________，____________；（3）若，則____________；（4）____________，____________．【答案】（1）1，4；（2），，；（3）1；（4）(2,1)；(-8,16)．（二）課堂設(shè)計1．知識回顧（1）已知兩個非零向量，，則ab=．其含義是：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和．（2）已知向量，則，其含義是：向量的模（長度）等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．（3）已知，，則，（4）已知兩個非零向量，，則．（5）已知兩個非零向量，，是它們的夾角，則．2．問題探究探究一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示●活動①引出平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的概念（討論后舉手回答）（1）設(shè)單位向量，分別與平面直角坐標(biāo)系中的x軸、y軸方向相同，O為坐標(biāo)原點，若向量，則向量的坐標(biāo)是，若向量a=(1，-2)，則向量a可用，表示為．（2）已知，，且，，則ab=．（3）已知兩個非零向量，，怎樣用a與b的坐標(biāo)來表示ab呢？的坐標(biāo)是：（3，2），可以將a的起點平移至坐標(biāo)原點，則a可用，表示為；根據(jù)向量數(shù)量積的運算律和垂直向量數(shù)量積為0，得：ab=；觀察第（2）問的計算過程，不難發(fā)現(xiàn)兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和∴ab=．【設(shè)計意圖】通過學(xué)生互相討論，教師設(shè)計問題的方式引導(dǎo)學(xué)生探索后得出平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的概念．●活動②平面向量垂直的坐標(biāo)表示（口答）學(xué)習(xí)了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，請同學(xué)們思考當(dāng)兩個非零向量和垂直的充要條件更進一步可以怎樣描述？，即．【設(shè)計意圖】鞏固向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，提煉兩向量垂直的坐標(biāo)表示這一重要的向量數(shù)量積的性質(zhì)．探究二平面向量數(shù)量模（長度）的坐標(biāo)表示●活動①平面向量的模（長度）的坐標(biāo)表示（舉手回答）已知向量，如何用向量的坐標(biāo)表示的模？因為，所以．其含義是：向量的模（長度）等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．【設(shè)計意圖】通過設(shè)計問題的方式引導(dǎo)學(xué)生得出平面向量的模（長度）的坐標(biāo)表示．●活動②平面向量的模（長度）的坐標(biāo)表示（口答）已知原點，點，，則如何用兩點的坐標(biāo)表示向量的模長？因為，所以．其含義是：向量的模等于兩點之間的距離．【設(shè)計意圖】通過設(shè)計問題的方式引導(dǎo)學(xué)生得出平面向量的模（長度）的坐標(biāo)表示．●活動③平面向量數(shù)量積的性質(zhì)的坐標(biāo)表示（舉手回答）已知兩個非零向量，，為a與b的夾角．(1)當(dāng)a與b同向時，，_____________________；(2)當(dāng)a與b反向時，，_____________________；(3)____________________________________；(4)設(shè)為與向量同向的單位向量，那么向量（___________，___________）．；；；由已知（）．其中性質(zhì)（3）中是柯西不等式．【設(shè)計意圖】鞏固平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，并會用向量的坐標(biāo)表示．探究三平面向量數(shù)量夾角和投影的坐標(biāo)表示●活動①平面向量夾角的坐標(biāo)表示（舉手回答）設(shè)a與b是兩個非零向量，，，為a與b的夾角，那么a與b的夾角的余弦值用向量的坐標(biāo)如何表示？向量b在向量a方向上的投影的坐標(biāo)表示？；b在向量a方向上的投影是．【設(shè)計意圖】鞏固平面向量數(shù)量積公式變形求向量夾角余弦值和求投影的性質(zhì)，并會用向量的坐標(biāo)表示．●活動②鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1已知，，求，a與b的夾角θ．【知識點】向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，向量的模和夾角的余弦值的坐標(biāo)表示．【解題過程】；；；∴，又∵，∴．【思路點撥】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，向量的模和夾角的余弦值的坐標(biāo)表示公式．【答案】；；；a與b的夾角為．同類訓(xùn)練已知，，a與b的夾角θ，求．【知識點】向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，向量的模和夾角的余弦值的坐標(biāo)表示．【解題過程】；；；∴．【思路點撥】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，向量的模和夾角的余弦值的坐標(biāo)表示公式．【答案】；．【設(shè)計意圖】鞏固平面向量數(shù)量積公式，向量的模的坐標(biāo)表示和兩個向量夾角余弦值的坐標(biāo)表示，并會進行具體計算．●活動③強化提升，靈活應(yīng)用例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，試判斷的形狀，并給出證明．【知識點】平面向量垂直的坐標(biāo)表示．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)三點，發(fā)現(xiàn)為是以∠A為直角的直角三角形．證明如下：∵，，∴，∴，∴為直角三角形【思路點撥】作圖判斷三角形形狀，并找到垂直的兩個線段，表示兩線段對應(yīng)向量，然后求兩向量的坐標(biāo)數(shù)量積為0，從而達到證明的目的．【答案】為直角三角形，證明見解答過程．同類訓(xùn)練在中，設(shè)，，且是直角三角形，求的值．【知識點】平面向量垂直的坐標(biāo)表示．【數(shù)學(xué)思想】分類討論【解題過程】（1）若，，∴，即，解得：；（2）若，，，∴，即，解得：；（3）若，，∴，即，解得：．綜上：或或．【思路點撥】對三角形的三個角分別為直角進行分類討論求值．【答案】或或．【設(shè)計意圖】熟練平面向量垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想．3.課堂總結(jié)知識梳理（1）已知兩個非零向量，，則ab=．其含義是：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和．（2）已知向量，則，其含義是：向量的模（長度）等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．（3）已知，，則，（4）已知兩個非零向量，，則．（5）已知兩個非零向量，，是它們的夾角，則．重難點歸納1．掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進行相關(guān)計算．2．掌握向量的模、平面上兩點間的距離公式的坐標(biāo)表示．3．掌握兩個向量的夾角公式和向量垂直的坐標(biāo)表示．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．已知，，則（）A．23 B．57 C．63 D．83【知識點】向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【解題過程】．【思路點撥】熟練向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和運算．【答案】D．2．已知，，則a在b方向上的投影為（）A． B． C． D．【知識點】向量坐標(biāo)表示投影，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量坐標(biāo)表示模長．【解題過程】．【思路點撥】會用向量坐標(biāo)表示投影．【答案】A．3．已知，，且恰好與垂直，則實數(shù)的值為（）A．1 B． C．1或 D．以上均不對【知識點】向量的坐標(biāo)運算，向量垂直的性質(zhì)．【解題過程】，∵與垂直，∴，即：，解得：，經(jīng)檢驗，滿足條件． 【思路點撥】向量加法和數(shù)乘的坐標(biāo)運算，向量垂直的性質(zhì)．【答案】B4．已知點，，，，則四邊形為（）A．正方形 B．菱形 C．梯形 D．矩形【知識點】向量垂直和平行．【解題過程】∵，，∴．∴四邊形為平行四邊形．又∵，∴，又∵，∴四邊形為矩形．【思路點撥】用向量的坐標(biāo)判定向量的平行和垂直．【答案】D．5．已知點為坐標(biāo)原點，向量，，在軸上有一點，使有最小值，則點的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【知識點】向量數(shù)量積，函數(shù)最值．【解題過程】設(shè)點的坐標(biāo)為，則，．故，當(dāng)時，使有最小值1．【思路點撥】設(shè)點坐標(biāo)并表示數(shù)量積，最后求二次函數(shù)最值．【答案】C6．若，，，則___________．【知識點】向量數(shù)量積運算律和坐標(biāo)表示．【解題過程】∵，∴．【思路點撥】根據(jù)向量數(shù)量積公式變形求長度結(jié)合數(shù)量積的運算律．【答案】．能力型師生共研7．若平面向量與的夾角為，且，則___________．【知識點】向量模長的坐標(biāo)表示，共線反向向量．【解題過程】由題知：與共線且方向相反，所以．設(shè)，則，即，∵，∴，即．解得：（正值舍去）．所以．【思路點撥】設(shè)向量坐標(biāo)，根據(jù)條件列方程組求解，明確反向向量和向量模長的坐標(biāo)特征．【答案】．8．已知向量，．（1）若，求的值；（2）若的值不超過，求的取值范圍．【知識點】向量垂直和向量的模長．【解題過程】（1）∵，∴，即．解得：．（2），∵，∴．解得．【思路點撥】明確垂直向量的坐標(biāo)性質(zhì)，向量坐標(biāo)表示模長．【答案】(1)k=5,(2)探究型多維突破9．已知的三個頂點坐標(biāo)分別為，，，且于點．（1）求點的坐標(biāo)；（2）求的面積．【知識點】點表示向量，向量垂直，三角形的面積．【數(shù)學(xué)思想】方程的思想【解題過程】（1）設(shè)，則，，．因為共線，所以．又因為，所以解得∴點的坐標(biāo)為．（2）由（1），知，，，所以．【思路點撥】設(shè)點的坐標(biāo)，根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)性質(zhì)和三點共線得到方程組，解方程組得點的坐標(biāo)．【答案】（1）點的坐標(biāo)為；（2）．10．設(shè)平面向量，，與不共線．（1）求證：向量與垂直；（2）若向量與的模相等，求角．【知識點】向量垂直，向量數(shù)量積的運算律．【解題過程】（1）由已知，，∵，且與均為非零向量，∴向量與垂直．（2）由已知：．化簡，得，所以．所以．又因為，所以或．【思路點撥】明確內(nèi)積為0的兩向量垂直．明確模長相等的向量的模長平方也相等，從而運用向量數(shù)量積的運算律，化簡得到的方程達到求解的目的．【答案】（1）證明見解題過程；（2）或．自助餐1．已知a，b為平面向量，，，則夾角的余弦值等于（）A． B． C． D．【知識點】向量坐標(biāo)，向量夾角．【數(shù)學(xué)思想】方程組消元的思想．【解題過程】∵，∴，故，∴．【思路點撥】向量坐標(biāo)的加減法運算，向量夾角余弦值的坐標(biāo)表示．【答案】C．2．已知向量，，，若向量滿足，，則等于（）A． B． C． D．【知識點】向量平行和垂直．【數(shù)學(xué)思想】方程的思想．【解題過程】設(shè)，由得，①；由得，②；聯(lián)立①②得，，所以．【思路點撥】設(shè)向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量平行和垂直的坐標(biāo)特征列方程組求解．【答案】D3．已知，則與a垂直的單位向量的坐標(biāo)為________． 【知識點】向量垂直，單位向量．【數(shù)學(xué)思想】方程的思想．【解題過程】設(shè)所求向量為，由為單位向量得：，①；由得，②；聯(lián)立①②得，；或，．所以與a垂直的單位向量的坐標(biāo)為或．【思路點撥】設(shè)所求向量的坐標(biāo)，根據(jù)單位向量和向量垂直的坐標(biāo)特征列方程組求解．【答案】或．4．在中，已知，點在邊上，則的最小值為________．【知識點】向量數(shù)量積的最值．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合的思想．【解題過程】以的邊為軸，邊上的中線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)，，∴，，所以，當(dāng)時取最小值．【思路點撥】建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)未知元表示向量內(nèi)積求最值．【答案】5．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a與b的夾角是45°．（1）求b；（2）若c與b同向，且a與c－a垂直，求c．【知識點】向量的夾角，同向向量和垂直向量．【解題過程】(1)a·b＝2n－2，|a|＝eq\r(5)，|b|＝eq\r(n2＋4)，∴cos45°＝eq\f(2n－2,\r(5)·\r(n2＋4))＝eq\f(\r(2),2)，∴3n216n12＝0(n>1)，∴n＝6或n＝－eq\f(2,3)(舍)，∴b＝(2,6)．(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.又c與b同向，故可設(shè)c＝λb(λ>0)，(ca)·a＝0，∴λb·a|a|2＝0，∴λ＝eq\f(|a|2,b·a)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，∴c＝eq\f(1,2)b＝(-1，3)．【思路點撥】明確向量的夾角坐標(biāo)公式，向量同向和垂直的性質(zhì)．【答案】（1）b＝(2,6)；（2）c＝(-1，3)6．已知平面向量a＝(eq\r(3)，－1)，b＝（1）證明：a⊥b；（2）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t)．【知識點】向量垂直．【數(shù)學(xué)思想】函數(shù)的思想．【