《平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角》教學設計

1/12.4平面向量數(shù)量積2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角（劉季梅）一、教學目標（一）核心素養(yǎng)本節(jié)課是在研究完向量的線性運算之后的又一重要運算，它把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來，這為解決有關的幾何問題提供了方便，特別為解決線段垂直問題提供了有效的方法，不僅它自身有很豐富的內(nèi)容，而且在數(shù)學、物理等學科中應用十分廣泛，所以也是高中數(shù)學的一個重要概念.通過本節(jié)課的學習，學生應了解嘗試觀察、歸納、類比、聯(lián)想和數(shù)形結合等數(shù)學思想方法.（二）學習目標1．掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，會進行相關計算．2．掌握向量的模、平面上兩點間的距離公式的坐標表示．3．掌握兩個向量的夾角公式和向量垂直的坐標表示．（三）學習重點1．平面向量數(shù)量積的坐標表示．2．兩個向量的夾角公式和向量垂直的坐標表示．（四）學習難點1．平面向量數(shù)量積的坐標表示的理解．2．平面向量數(shù)量積的應用．二、教學設計（一）課前設計1．預習任務（1）讀一讀：閱讀教材第106頁至107頁，填空：①已知兩個非零向量，，則ab=．其含義是：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積之和．②已知向量，則，其含義是：向量的模（長度）等于向量坐標平方和的算術平方根．③已知，，則，.④已知兩個非零向量，，則．⑤已知兩個非零向量，，是它們的夾角，則．2．預習自測填空：已知向量，，（1）____________，____________；（2）____________，____________，____________；（3）若，則____________；（4）____________，____________．【答案】（1）1，4；（2），，；（3）1；（4）(2,1)；(-8,16)．（二）課堂設計1．知識回顧（1）已知兩個非零向量，，則ab=．其含義是：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積之和．（2）已知向量，則，其含義是：向量的模（長度）等于向量坐標平方和的算術平方根．（3）已知，，則，（4）已知兩個非零向量，，則．（5）已知兩個非零向量，，是它們的夾角，則．2．問題探究探究一平面向量數(shù)量積的坐標表示●活動①引出平面向量數(shù)量積坐標表示的概念（討論后舉手回答）（1）設單位向量，分別與平面直角坐標系中的x軸、y軸方向相同，O為坐標原點，若向量，則向量的坐標是，若向量a=(1，-2)，則向量a可用，表示為．（2）已知，，且，，則ab=．（3）已知兩個非零向量，，怎樣用a與b的坐標來表示ab呢？的坐標是：（3，2），可以將a的起點平移至坐標原點，則a可用，表示為；根據(jù)向量數(shù)量積的運算律和垂直向量數(shù)量積為0，得：ab=；觀察第（2）問的計算過程，不難發(fā)現(xiàn)兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積之和∴ab=．【設計意圖】通過學生互相討論，教師設計問題的方式引導學生探索后得出平面向量數(shù)量積坐標表示的概念．●活動②平面向量垂直的坐標表示（口答）學習了平面向量數(shù)量積的坐標表示，請同學們思考當兩個非零向量和垂直的充要條件更進一步可以怎樣描述？，即．【設計意圖】鞏固向量數(shù)量積的坐標表示，提煉兩向量垂直的坐標表示這一重要的向量數(shù)量積的性質(zhì)．探究二平面向量數(shù)量模（長度）的坐標表示●活動①平面向量的模（長度）的坐標表示（舉手回答）已知向量，如何用向量的坐標表示的模？因為，所以．其含義是：向量的模（長度）等于向量坐標平方和的算術平方根．【設計意圖】通過設計問題的方式引導學生得出平面向量的模（長度）的坐標表示．●活動②平面向量的模（長度）的坐標表示（口答）已知原點，點，，則如何用兩點的坐標表示向量的模長？因為，所以．其含義是：向量的模等于兩點之間的距離．【設計意圖】通過設計問題的方式引導學生得出平面向量的模（長度）的坐標表示．●活動③平面向量數(shù)量積的性質(zhì)的坐標表示（舉手回答）已知兩個非零向量，，為a與b的夾角．(1)當a與b同向時，，_____________________；(2)當a與b反向時，，_____________________；(3)____________________________________；(4)設為與向量同向的單位向量，那么向量（___________，___________）．；；；由已知（）．其中性質(zhì)（3）中是柯西不等式．【設計意圖】鞏固平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，并會用向量的坐標表示．探究三平面向量數(shù)量夾角和投影的坐標表示●活動①平面向量夾角的坐標表示（舉手回答）設a與b是兩個非零向量，，，為a與b的夾角，那么a與b的夾角的余弦值用向量的坐標如何表示？向量b在向量a方向上的投影的坐標表示？；b在向量a方向上的投影是．【設計意圖】鞏固平面向量數(shù)量積公式變形求向量夾角余弦值和求投影的性質(zhì)，并會用向量的坐標表示．●活動②鞏固基礎，檢查反饋例1已知，，求，a與b的夾角θ．【知識點】向量數(shù)量積的坐標公式，向量的模和夾角的余弦值的坐標表示．【解題過程】；；；∴，又∵，∴．【思路點撥】利用向量數(shù)量積的坐標公式，向量的模和夾角的余弦值的坐標表示公式．【答案】；；；a與b的夾角為．同類訓練已知，，a與b的夾角θ，求．【知識點】向量數(shù)量積的坐標公式，向量的模和夾角的余弦值的坐標表示．【解題過程】；；；∴．【思路點撥】利用向量數(shù)量積的坐標公式，向量的模和夾角的余弦值的坐標表示公式．【答案】；．【設計意圖】鞏固平面向量數(shù)量積公式，向量的模的坐標表示和兩個向量夾角余弦值的坐標表示，并會進行具體計算．●活動③強化提升，靈活應用例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，試判斷的形狀，并給出證明．【知識點】平面向量垂直的坐標表示．【數(shù)學思想】數(shù)形結合【解題過程】如圖，在平面直角坐標系中標出A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)三點，發(fā)現(xiàn)為是以∠A為直角的直角三角形．證明如下：∵，，∴，∴，∴為直角三角形【思路點撥】作圖判斷三角形形狀，并找到垂直的兩個線段，表示兩線段對應向量，然后求兩向量的坐標數(shù)量積為0，從而達到證明的目的．【答案】為直角三角形，證明見解答過程．同類訓練在中，設，，且是直角三角形，求的值．【知識點】平面向量垂直的坐標表示．【數(shù)學思想】分類討論【解題過程】（1）若，，∴，即，解得：；（2）若，，，∴，即，解得：；（3）若，，∴，即，解得：．綜上：或或．【思路點撥】對三角形的三個角分別為直角進行分類討論求值．【答案】或或．【設計意圖】熟練平面向量垂直的坐標表示的應用，體會數(shù)形結合、分類討論的數(shù)學思想．3.課堂總結知識梳理（1）已知兩個非零向量，，則ab=．其含義是：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積之和．（2）已知向量，則，其含義是：向量的模（長度）等于向量坐標平方和的算術平方根．（3）已知，，則，（4）已知兩個非零向量，，則．（5）已知兩個非零向量，，是它們的夾角，則．重難點歸納1．掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，會進行相關計算．2．掌握向量的模、平面上兩點間的距離公式的坐標表示．3．掌握兩個向量的夾角公式和向量垂直的坐標表示．（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1．已知，，則（）A．23 B．57 C．63 D．83【知識點】向量數(shù)量積的坐標表示．【解題過程】．【思路點撥】熟練向量數(shù)量積的坐標表示和運算．【答案】D．2．已知，，則a在b方向上的投影為（）A． B． C． D．【知識點】向量坐標表示投影，向量數(shù)量積的坐標表示，向量坐標表示模長．【解題過程】．【思路點撥】會用向量坐標表示投影．【答案】A．3．已知，，且恰好與垂直，則實數(shù)的值為（）A．1 B． C．1或 D．以上均不對【知識點】向量的坐標運算，向量垂直的性質(zhì)．【解題過程】，∵與垂直，∴，即：，解得：，經(jīng)檢驗，滿足條件． 【思路點撥】向量加法和數(shù)乘的坐標運算，向量垂直的性質(zhì)．【答案】B4．已知點，，，，則四邊形為（）A．正方形 B．菱形 C．梯形 D．矩形【知識點】向量垂直和平行．【解題過程】∵，，∴．∴四邊形為平行四邊形．又∵，∴，又∵，∴四邊形為矩形．【思路點撥】用向量的坐標判定向量的平行和垂直．【答案】D．5．已知點為坐標原點，向量，，在軸上有一點，使有最小值，則點的坐標是（）A． B． C． D．【知識點】向量數(shù)量積，函數(shù)最值．【解題過程】設點的坐標為，則，．故，當時，使有最小值1．【思路點撥】設點坐標并表示數(shù)量積，最后求二次函數(shù)最值．【答案】C6．若，，，則___________．【知識點】向量數(shù)量積運算律和坐標表示．【解題過程】∵，∴．【思路點撥】根據(jù)向量數(shù)量積公式變形求長度結合數(shù)量積的運算律．【答案】．能力型師生共研7．若平面向量與的夾角為，且，則___________．【知識點】向量模長的坐標表示，共線反向向量．【解題過程】由題知：與共線且方向相反，所以．設，則，即，∵，∴，即．解得：（正值舍去）．所以．【思路點撥】設向量坐標，根據(jù)條件列方程組求解，明確反向向量和向量模長的坐標特征．【答案】．8．已知向量，．（1）若，求的值；（2）若的值不超過，求的取值范圍．【知識點】向量垂直和向量的模長．【解題過程】（1）∵，∴，即．解得：．（2），∵，∴．解得．【思路點撥】明確垂直向量的坐標性質(zhì)，向量坐標表示模長．【答案】(1)k=5,(2)探究型多維突破9．已知的三個頂點坐標分別為，，，且于點．（1）求點的坐標；（2）求的面積．【知識點】點表示向量，向量垂直，三角形的面積．【數(shù)學思想】方程的思想【解題過程】（1）設，則，，．因為共線，所以．又因為，所以解得∴點的坐標為．（2）由（1），知，，，所以．【思路點撥】設點的坐標，根據(jù)垂直向量的坐標性質(zhì)和三點共線得到方程組，解方程組得點的坐標．【答案】（1）點的坐標為；（2）．10．設平面向量，，與不共線．（1）求證：向量與垂直；（2）若向量與的模相等，求角．【知識點】向量垂直，向量數(shù)量積的運算律．【解題過程】（1）由已知，，∵，且與均為非零向量，∴向量與垂直．（2）由已知：．化簡，得，所以．所以．又因為，所以或．【思路點撥】明確內(nèi)積為0的兩向量垂直．明確模長相等的向量的模長平方也相等，從而運用向量數(shù)量積的運算律，化簡得到的方程達到求解的目的．【答案】（1）證明見解題過程；（2）或．自助餐1．已知a，b為平面向量，，，則夾角的余弦值等于（）A． B． C． D．【知識點】向量坐標，向量夾角．【數(shù)學思想】方程組消元的思想．【解題過程】∵，∴，故，∴．【思路點撥】向量坐標的加減法運算，向量夾角余弦值的坐標表示．【答案】C．2．已知向量，，，若向量滿足，，則等于（）A． B． C． D．【知識點】向量平行和垂直．【數(shù)學思想】方程的思想．【解題過程】設，由得，①；由得，②；聯(lián)立①②得，，所以．【思路點撥】設向量的坐標，根據(jù)向量平行和垂直的坐標特征列方程組求解．【答案】D3．已知，則與a垂直的單位向量的坐標為________． 【知識點】向量垂直，單位向量．【數(shù)學思想】方程的思想．【解題過程】設所求向量為，由為單位向量得：，①；由得，②；聯(lián)立①②得，；或，．所以與a垂直的單位向量的坐標為或．【思路點撥】設所求向量的坐標，根據(jù)單位向量和向量垂直的坐標特征列方程組求解．【答案】或．4．在中，已知，點在邊上，則的最小值為________．【知識點】向量數(shù)量積的最值．【數(shù)學思想】數(shù)形結合的思想．【解題過程】以的邊為軸，邊上的中線為軸建立平面直角坐標系，則，．設，，∴，，所以，當時取最小值．【思路點撥】建立合適的直角坐標系，設未知元表示向量內(nèi)積求最值．【答案】5．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a與b的夾角是45°．（1）求b；（2）若c與b同向，且a與c－a垂直，求c．【知識點】向量的夾角，同向向量和垂直向量．【解題過程】(1)a·b＝2n－2，|a|＝eq\r(5)，|b|＝eq\r(n2＋4)，∴cos45°＝eq\f(2n－2,\r(5)·\r(n2＋4))＝eq\f(\r(2),2)，∴3n216n12＝0(n>1)，∴n＝6或n＝－eq\f(2,3)(舍)，∴b＝(2,6)．(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.又c與b同向，故可設c＝λb(λ>0)，(ca)·a＝0，∴λb·a|a|2＝0，∴λ＝eq\f(|a|2,b·a)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，∴c＝eq\f(1,2)b＝(-1，3)．【思路點撥】明確向量的夾角坐標公式，向量同向和垂直的性質(zhì)．【答案】（1）b＝(2,6)；（2）c＝(-1，3)6．已知平面向量a＝(eq\r(3)，－1)，b＝（1）證明：a⊥b；（2）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關系式k＝f(t)．【知識點】向量垂直．【數(shù)學思想】函數(shù)的思想．【