《2.1角的概念推廣》講義

《2.1角的概念推廣》講義同學(xué)們好，咱們現(xiàn)在開始學(xué)習(xí)高中北師大版（2019）必修（第二冊）第一章三角函數(shù)里的§2任意角中的2.1角的概念推廣。這部分內(nèi)容可有趣啦，就像我們探索一個神秘的數(shù)學(xué)寶藏一樣。在咱們以前的學(xué)習(xí)中，對角的認(rèn)識可能比較簡單。比如說，咱們看教室里的墻角，那就是一個直角，它的角度是90度。再看鐘表，分針走一圈是360度。這種我們熟悉的角，它們的范圍是從0度到360度。但是呢，在生活中啊，我們會遇到很多情況，只靠0度到360度這個范圍的角是不夠的。我給大家講個我自己的經(jīng)歷吧。有一次我去游樂場玩摩天輪，摩天輪轉(zhuǎn)起來的時候，我就在想，這個摩天輪的轉(zhuǎn)動角度怎么來描述呢？如果按照我們以前學(xué)的角的概念，好像有點麻煩。比如說，摩天輪順時針轉(zhuǎn)了一圈又多一點，這個多出來的部分怎么表示呢？這就引出了我們要推廣角的概念。那怎么推廣呢？我們先把角放在一個平面直角坐標(biāo)系里。我們規(guī)定，角的頂點放在坐標(biāo)原點，角的始邊放在x軸的正半軸上。這樣的話，角的終邊就可以在平面內(nèi)隨便轉(zhuǎn)啦。如果這個終邊是逆時針方向旋轉(zhuǎn)的，這個角就是正角。就像時鐘的指針如果是逆時針轉(zhuǎn)，就和平時的轉(zhuǎn)動方向不一樣，這時候形成的角就是正角。比如說，終邊逆時針旋轉(zhuǎn)了90度，這個角就是90度，這和我們之前學(xué)的直角的度數(shù)一樣，但是這里的90度是在新的角的概念下的正角。那要是終邊順時針旋轉(zhuǎn)呢？這個角就是負(fù)角。就好比你把時鐘的指針順時針撥，和正常走的方向相反。比如說，終邊順時針旋轉(zhuǎn)了90度，這個角就是90度。而且啊，這個終邊可以旋轉(zhuǎn)好多好多圈。要是終邊逆時針旋轉(zhuǎn)了一圈又多30度，一圈是360度，那這個角就是360度加上30度，也就是390度。要是順時針旋轉(zhuǎn)了一圈又多30度，這個角就是390度。那這樣的話，角的范圍就不再局限于0度到360度啦，而是可以是任意的實數(shù)。這就像打開了一扇新的大門，讓我們能描述更多的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。我們再來看一些實際的例子來加深理解。比如說汽車的方向盤，它可以向左或者向右轉(zhuǎn)動。如果向左轉(zhuǎn)動，我們可以看成是正角方向的旋轉(zhuǎn)；如果向右轉(zhuǎn)動，就可以看成是負(fù)角方向的旋轉(zhuǎn)。而且方向盤可以轉(zhuǎn)好多圈，這就和我們推廣后的角的概念很相似。再比如說，地球的自轉(zhuǎn)。地球是自西向東轉(zhuǎn)的，從北極點看是逆時針轉(zhuǎn)，這就可以看成是正角方向的旋轉(zhuǎn)。如果我們從另一個角度看，假設(shè)地球反向轉(zhuǎn)，那就是負(fù)角方向的旋轉(zhuǎn)。而且地球自轉(zhuǎn)一圈是一天，要是我們考慮多圈的情況，就可以用我們推廣后的角的概念來描述。接下來，我們要學(xué)習(xí)終邊相同的角。什么是終邊相同的角呢？就像在摩天輪上，轉(zhuǎn)了一圈或者幾圈之后，終邊又回到了原來的位置。比如說，30度角的終邊，和390度角（360度＋30度）的終邊是相同的。還有330度角（360度+30度）的終邊也和30度角的終邊相同。我們可以得出一個規(guī)律，所有與角α終邊相同的角（包括角α本身），都可以表示為β＝α＋k×360度（k是整數(shù)）。這個式子可重要啦，它就像一把萬能鑰匙，可以幫助我們找到很多終邊相同的角。比如說，我們找與60度角終邊相同的角。當(dāng)k＝1的時候，β＝60度+360度＝420度；當(dāng)k＝1的時候，β＝60度360度＝300度。那我們怎么在坐標(biāo)系里確定這些角呢？我們還是以30度角為例。30度角的終邊在第一象限。390度角呢，它是30度角轉(zhuǎn)了一圈之后的角，它的終邊也在第一象限，和30度角的終邊相同。330度角是30度角逆時針轉(zhuǎn)了一圈之后的角，它的終邊也在第一象限。這時候我們可以發(fā)現(xiàn)一個有趣的事情，在0度到360度這個范圍內(nèi)，每個終邊相同的角都有一個代表角。比如說，對于所有終邊和30度角相同的角，30度就是在0度到360度范圍內(nèi)的代表角。我們再來看一個更復(fù)雜一點的例子。假設(shè)有一個角是120度，它的終邊在第三象限。那和它終邊相同的角呢？當(dāng)k＝1的時候，β＝120度+360度＝240度，240度角的終邊也在第三象限。當(dāng)k＝2的時候，β＝120度+2×360度＝600度，600度角的終邊轉(zhuǎn)了一圈多之后，還是和120度角的終邊相同。我們還可以通過終邊相同的角來解決一些實際問題。比如說，在機械工程里，有一些零件是做圓周運動的。我們要確定這些零件在不同時刻的位置，就可以用角的概念來描述。如果我們知道這個零件開始的位置對應(yīng)的角是α，經(jīng)過一段時間后，它轉(zhuǎn)了k圈，那它現(xiàn)在的位置對應(yīng)的角就是α＋k×360度。再比如說，在天文觀測中，星星的位置也可以用角來描述。地球在公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)的過程中，我們觀察星星的角度是不斷變化的。如果我們把某一時刻觀察星星的角度設(shè)為α，隨著時間的推移，地球轉(zhuǎn)動了k圈，那再次觀察這個星星的角度就是α＋k×360度。在學(xué)習(xí)角的概念推廣的時候，有幾個重點和難點大家要注意。重點呢，就是要理解正角、負(fù)角和零角的概念，還有終邊相同的角的表示方法。這就像蓋房子的基石，只有把這些概念弄清楚了，我們才能在這個基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)更多關(guān)于三角函數(shù)的知識。難點呢，就是對于終邊相同的角的理解和運用。尤其是在做一些比較復(fù)雜的題目時，比如給你一個很大或者很小的角，讓你找出在0度到360度范圍內(nèi)和它終邊相同的角，或者讓你根據(jù)終邊相同的角的關(guān)系來求解一些參數(shù)，這時候就需要大家好好思考，多做一些練習(xí)。我再給大家講個故事來幫助大家理解終邊相同的角。我有個朋友是做鐘表維修的。他在調(diào)整鐘表指針的時候，就會用到角的概念。他把鐘表指針的初始位置看成是一個角的始邊，然后根據(jù)要調(diào)整的時間來確定指針轉(zhuǎn)動的角度。如果指針多轉(zhuǎn)了一圈或者少轉(zhuǎn)了一圈，就相當(dāng)于形成了終邊相同的角。他就需要根據(jù)這個原理來準(zhǔn)確地調(diào)整指針的位置，讓鐘表走得準(zhǔn)確無誤。還有一點要注意的是，在我們用β＝α＋k×360度（k是整數(shù)）這個式子的時候，要清楚k的取值范圍和意義。k可以是正數(shù)，表示終邊逆時針旋轉(zhuǎn)了k圈；k也可以是負(fù)數(shù)，表示終邊順時針旋轉(zhuǎn)了k圈；k＝0的時候，表示就是角α本身。我們再做幾個練習(xí)題來鞏固一下。比如說，寫出與45度角終邊相同的角的集合。按照我們學(xué)的知識，這個集合可以表示為{β|β＝45度+k×360度，k∈Z}。再比如說，在0度到360度范圍內(nèi)，找出與750度角終邊相同的角。我們可以把750度寫成720度+30度，也就是2×360度+30度，所以在0度到360度范圍內(nèi)，和750度角終邊相同的角就是30度。通過這些練習(xí)，大家是不是對角