第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì)-綜合檢測(cè)1（基礎(chǔ)卷）（解析版）

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．函數(shù)的定義域是A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)解析式有意義可得關(guān)于的不等式組，其解集為函數(shù)的定義域．【解析】由解析式有意義可得，故，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故選D．2．下列函數(shù)為冪函數(shù)的是A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析即可求解．【解析】冪函數(shù)是形如的函數(shù)，故ABC不符合，D符合，故選D3．已知函數(shù)則等于A．4 B．C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域，先求得，再求即可．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)所以，所以，故選D.4．圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”，是甘肅禮縣出土的先秦時(shí)期的青銅器皿，其身流線自若、紋理分明，展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術(shù)．科研人員為了測(cè)量其容積，以恒定的流速向其內(nèi)注水，恰好用時(shí)秒注滿，設(shè)注水過程中，壺中水面高度為，注水時(shí)間為，則下面選項(xiàng)中最符合關(guān)于的函數(shù)圖象的是A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)壺的結(jié)構(gòu)即可得出選項(xiàng)．【解析】水壺的結(jié)構(gòu)：低端與上端細(xì)、中間粗，所以在注水恒定的情況下：開始水的高度增加的快，中間增加的慢，最后水上升的速度又變快，由圖可知選項(xiàng)A符合，故選A5．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且，則的取值范圍為A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件求出的解析式，再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性求解即可．【解析】由題意可知，，解得，，故，易知，為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，解得，或．故的取值范圍為．故選C．6．已知函數(shù)，則的最小值是A． B．2C．1 D．0【答案】B【分析】利用換元法求出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)求最值即可．【解析】令，則，且，所以，所以，當(dāng)時(shí)，．故選B7．如圖，一個(gè)“心形”由兩個(gè)函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”上部分的函數(shù)解析式可能為A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象的對(duì)稱性可排除BD，再根據(jù)時(shí)函數(shù)值可排除A．【解析】由圖可知，“心形”關(guān)于軸對(duì)稱，所以上部分的函數(shù)為偶函數(shù)，排除B，D．又“心形”函數(shù)的最大值為1，且，排除A．故選C．8．已知不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【分析】由分段函數(shù)知，分兩部分討論函數(shù)的單調(diào)性，從而可得在上是減函數(shù)，化恒成立問題為在，上恒成立；從而化為最值問題即可．【解析】由，知①當(dāng)時(shí)，，故在，上是減函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù)；又，在上是減函數(shù)，不等式在，上恒成立可化為在，上恒成立；即在，上恒成立，故，解得，，即；故選A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)為A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．區(qū)間上的增函數(shù) D．區(qū)間上的減函數(shù)【答案】BC【分析】由冪函數(shù)的概念可得的值，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果．【解析】由為冪函數(shù)，得，即m=2，則該函數(shù)為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，故選BC．10．下列函數(shù)相等的是A．函數(shù)與函數(shù) B．函數(shù)與函數(shù)C．函數(shù)與函數(shù) D．函數(shù)與函數(shù)【答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)的三要素逐一判斷選項(xiàng)，得出答案．【解析】選項(xiàng)A，函數(shù)與函數(shù)定義域均為，且解析式相同，正確；選項(xiàng)B，函數(shù)與函數(shù)定義域均為，且解析式相同，正確；選項(xiàng)C，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)椋e(cuò)誤；選項(xiàng)D，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)定義域?yàn)榛?，錯(cuò)誤；故選AB11．已知函數(shù)，則函數(shù)具有下列性質(zhì)A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼D【分析】先利用分離常數(shù)法將進(jìn)行化簡(jiǎn)，對(duì)A，B，C通過圖象的平移以及的性質(zhì)即可判斷；對(duì)D，通過以及函數(shù)的定義域即可求解．【解析】，故的圖象是由的圖象向左平移一個(gè)單位再向下平移一個(gè)單位得到；對(duì)A，的對(duì)稱中心為，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)B，的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，且定義域?yàn)椋?，即函?shù)的值域?yàn)椋蔇正確．故選AD．12．已知函數(shù)，其中表示不大于的最大整數(shù)，下列關(guān)于的性質(zhì)，正確的是A．在上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)C．的值域?yàn)?D．是奇函數(shù)【答案】AC【分析】由表示不大于的最大整數(shù)，化簡(jiǎn)，作出的圖象，利用圖象判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)論．【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；……所以作出的圖象如圖所示：對(duì)照?qǐng)D象可以看出：對(duì)于A：在上是增函數(shù)是正確的；故A正確．對(duì)于B：是非奇非偶函數(shù)；故B錯(cuò)誤．對(duì)于C：的值域?yàn)?；故C正確．對(duì)于D：是非奇非偶函數(shù)；故D錯(cuò)誤．故選AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域即的值域，求出函數(shù)的定義域即可．【解析】由題可知，，所以函數(shù)定義域?yàn)?，故答案為?4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_________．【答案】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，令，分別求出和的單調(diào)區(qū)間，再利用符合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求出的單調(diào)減區(qū)間．【解析】由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，在單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在單調(diào)遞減．故答案為15．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則_________．【答案】【分析】先由奇函數(shù)求出，對(duì)，利用賦值法求出，得到，再用賦值法分別求出．【解析】因?yàn)橐阎婧瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，所以因?yàn)?，所以，所以，即．?duì)于，當(dāng)x=1時(shí)，有，當(dāng)x=3時(shí)，有．故答案為．16．函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的范圍是_________．【答案】【分析】根據(jù)解析式可判斷是定義在上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化不等式即可求解．【解析】，，是定義在上的奇函數(shù)，且顯然在上單調(diào)遞增，由可得，，解得．故答案為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）己知函數(shù)（1）畫出該函數(shù)圖象：（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）圖象見解析；（2）．【分析】（1）利用分段函數(shù)各區(qū)間的函數(shù)解析式畫出圖象即可，注意端點(diǎn)值．（2）由（1）的圖象可得，即可求的值．【解析】（1）由函數(shù)解析式，可得圖象如下：（2）由（1）圖知，可得．18．（12分）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)的解析式；（2）解不等式．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）根據(jù)是冪函數(shù)，得到，再由是偶函數(shù)和在上單調(diào)遞增，由，且為偶函數(shù)求解．（2）根據(jù)（1）偶函數(shù)在上遞增，轉(zhuǎn)化為求解．【解析】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，則，解得或，又是偶函數(shù)，所以是偶數(shù)，又在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以、、或．所以或；（2）由（1）偶函數(shù)在上遞增，，可化為，即，所以或．所以的范圍是．19．（12分）若對(duì)一切實(shí)數(shù)，，都有．（1）求；（2）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（3）若，求．【答案】（1）；（2）奇函數(shù)，證明見解析；（3）．【分析】（1）令，得到，即可求解；（2）函數(shù)是奇函數(shù)，令，得到，結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到，即可證得為奇函數(shù)；（3）令，得到，進(jìn)而求得，結(jié)合為奇函數(shù)，即可求解．【解析】（1）由對(duì)一切實(shí)數(shù)，，都有，令，可得，即，解得．（2）函數(shù)是奇函數(shù)．證明如下：由題意，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，可得，即，由（1）知，所以，所以為奇函數(shù)．（3）令，可得，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以．20．（12分）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，對(duì)一切正數(shù)上都有成立，且．（1）求和的值；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）利用及遞推關(guān)系，可得、，即可求值；（2）題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為，利用的定義域及單調(diào)性求解集即可．【解析】（1）由題意，，則，．（2）由，而，所以，又在上為增函數(shù)，所以，解得．所以的取值范圍．21．（12分）設(shè)函數(shù)；（1）若，判斷函數(shù)的奇偶性；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）奇函數(shù)；（2）．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷分段函數(shù)的奇偶性即可；（2）分類討論求解不等式可得出結(jié)果．【解析】（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，故恒有，所以函數(shù)為奇函數(shù)．（2）由題意得或解得．由或，解得．22．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的最小值為0，求實(shí)數(shù)m的值．（2）若當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，．【分析】（1）根據(jù)最小值列出等式求解m；（2）根據(jù)題意位于二次函數(shù)的對(duì)稱軸的右側(cè)；（3）對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)