江蘇高考數(shù)學應(yīng)用題題型歸納

GaoKao應(yīng)用題題型歸納在備考中，需要重點關(guān)注以下幾方面問題：1.掌握常見函數(shù)如二次函數(shù)、三次函數(shù)、有理分式函數(shù)〔尤其二次分式函數(shù)、無理函數(shù)等最值的求法，用導數(shù)求函數(shù)最值要引起重視；2.加強閱讀理解能力的培養(yǎng)，對圖形的識別、識別、分析尋找等量關(guān)系式的訓練要加強；3.對于由圖標(尤其表格)給出的函數(shù)應(yīng)用題的訓練要重視；4.應(yīng)用題的背景圖形可能由平面多邊形、空間多面體轉(zhuǎn)為由平面曲線，如圓，拋物線等圍成的圖形；空間旋轉(zhuǎn)體等的面積、體積的最值問題5.熟悉應(yīng)用題的解題過程：讀題、建模、求解、評價、作答.“抓重點：等量關(guān)系是關(guān)鍵；破難點：變量思想是主線.”一、利潤問題1、某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．〔1〕據(jù)市場調(diào)查，假設(shè)價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？〔2〕為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到元．公司擬投入萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品明年的銷售量至少應(yīng)到達多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．2、某小商品2012年的價格為8元/件,年銷量為件，現(xiàn)經(jīng)銷商方案在2013年將該商品的價格降至5.5元/件到7.5元/件之間，經(jīng)調(diào)查，顧客的期望價格為4元/件，經(jīng)測算，該商品的價格下降后新增的年銷量與實際價格和顧客期望價格的差成反比，比例系數(shù)為，該商品的本錢價格為3元/件?！?〕寫出該商品價格下降后，經(jīng)銷商的年收益與實際價格的函數(shù)關(guān)系式?！?〕設(shè)，當實際價格最低定為多少時，仍然可以保證經(jīng)銷商2013年的收益比2012年至少增長20%？解：〔1〕設(shè)該商品價格下降后為元/件，銷量增加到件，年收益，〔2〕當時，有解之得又所以因此當實際價格最低定為6元/件時，仍然可以保證經(jīng)銷商2013年的收益比2012年至少增長20%。3.近年來,某企業(yè)每年消耗電費約24萬元,為了節(jié)能減排,決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng),安裝這種供電設(shè)備的工本費(單位:萬元)與太陽能電池板的面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.5.為了保證正常用電,安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式.假設(shè)在此模式下,安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(單位:萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是為常數(shù)).記為該村安裝這種太陽能供電設(shè)備的費用與該村15年共將消耗的電費之和.(1)試解釋的實際意義,并建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)當為多少平方米時,取得最小值?最小值是多少萬元?4.某連鎖分店銷售某種商品,每件商品的本錢為元,并且每件商品需向總店交元的管理費,預(yù)計當每件商品的售價為元時,一年的銷售量為萬件．〔Ｉ〕求該連鎖分店一年的利潤〔萬元〕與每件商品的售價的函數(shù)關(guān)系式；〔II〕當每件商品的售價為多少元時,該連鎖分店一年的利潤最大,并求出的最大值．5.某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗知道，其次品率與日產(chǎn)量〔萬件〕之間大體滿足關(guān)系：〔其中為小于6的正常數(shù)〕〔注：次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品〕每生產(chǎn)1萬件合格的儀器可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出適宜的日產(chǎn)量.〔1〕試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額〔萬元〕表示為日產(chǎn)量〔萬件〕的函數(shù)；〔2〕當日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？解：〔1〕當時，，當時，，綜上，日盈利額〔萬元〕與日產(chǎn)量〔萬件〕的函數(shù)關(guān)系為：〔2〕由〔1〕知，當時，每天的盈利額為0當時，當且僅當時取等號所以當時，，此時當時，由知函數(shù)在上遞增，，此時綜上，假設(shè)，那么當日產(chǎn)量為3萬件時，可獲得最大利潤假設(shè)，那么當日產(chǎn)量為萬件時，可獲得最大利潤6.為穩(wěn)定房價,某地政府決定建造一批保障房供應(yīng)社會.方案用1

600萬元購得一塊土地,在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū)每幢樓的樓層數(shù)相同,且每層建筑面積均為1

000平方米,每平方米的建筑費用與樓層有關(guān),第x層樓房每平方米的建筑費用為(kx+800)元(其中k為常數(shù)).經(jīng)測算,假設(shè)每幢樓為5層,那么該小區(qū)每平方米的平均綜合費用為1

270元.(每平方米平均綜合費用=eq\f(購地費用+所有建筑費用,所有建筑面積)).(1)求k的值;(2)問要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費用最低,應(yīng)將這10幢樓房建成多少層?此時每平方米的平均綜合費用為多少元?解：(1)如果每幢樓為5層,那么所有建筑面積為10×1

000×5平方米,所有建筑費用為[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1

000×10,所以,1270=eq\f(16000000+［(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)］×1000×10,10×1000×5),解之得:k=50\f(32000000+［(k+800)+(2k+800)+(3k+800))+(4k+800)+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)(2)設(shè)小區(qū)每幢為n(n∈N*)層時,每平方米平均綜合費用為f(n),由題設(shè)可知f(n)=eq\f(16000000+［(50+800)+(100+800)+…+(50n+800)］×1000×10,10×1000×n)=eq\f(1600,n)+25n+825≥2eq\r(1600×25)+825=1225(元)\f(32000000+［(k+800)+(2k+800)+(3k+800))+(4k+800)+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)當且僅當eq\f(1600,n)=25n,即n=8時等號成立\f(32000000+［(k+800)+(2k+800)+(3k+800))+(4k+800)+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)7．某單位決定對本單位職工實行年醫(yī)療費用報銷制度,擬制定年醫(yī)療總費用在2萬元至10萬元(包括2萬元和10萬元)的報銷方案,該方案要求同時具備以下三個條件:①報銷的醫(yī)療費用y(萬元)隨醫(yī)療總費用x(萬元)增加而增加;②報銷的醫(yī)療費用不得低于醫(yī)療總費用的50%;③報銷的醫(yī)療費用不得超過8萬元.(1)請你分析該單位能否采用函數(shù)模型y=0.05(x2+4x+8)作為報銷方案;(2)假設(shè)該單位決定采用函數(shù)模型y=x2lnx+a(a為常數(shù))作為報銷方案,請你確定整數(shù)的值.(參考數(shù)據(jù):ln20.69,ln102.3)【解】(1)函數(shù)y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函數(shù),滿足條件①,當x=10時,y有最大值7.4萬元,小于8萬元,滿足條件③，但當x=3時,y=eq\f(29,20)<eq\f(3,2),即yeq\f(x,2)不恒成立,不滿足條件②,故該函數(shù)模型不符合該單位報銷方案(2)對于函數(shù)模型y=x2lnx+a,設(shè)f(x)=x2lnx+a,那么f′(x)=1eq\f(2,x)=eq\f(x－2,x)0.所以f(x)在[2,10]上是增函數(shù),滿足條件①,由條件②,得x2lnx+aeq\f(x,2),即a2lnxeq\f(x,2)在x[2,10]上恒成立,令g(x)=2lnxeq\f(x,2),那么g′(x)=eq\f(2,x)－\f(1,2)=eq\f(4－x,2x),由g′(x)>0得x<4,g(x)在(0,4)上增函數(shù),在(4,10)上是減函數(shù).ag(4)=2ln42=4ln22，由條件③,得f(10)=102ln10+a8,解得a2ln102另一方面,由x2lnx+ax,得a2lnx在x[2,10]上恒成立,a2ln2,綜上所述,a的取值范圍為[4ln22,2ln2],所以滿足條件的整數(shù)a的值為1二、與幾何圖形有關(guān)的實際問題1.某個公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=200米，BC=100米．

(1)現(xiàn)在準備養(yǎng)一批供游客欣賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點D，E，F(xiàn)，如圖(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF

面積S△DEF的最大值；

(2)現(xiàn)在準備新建造一個荷塘，分別在AB，BC，CA上取點D，E，F(xiàn)，如圖(2)，建造△DEF連廊〔不考慮寬度〕供游客休憩，且使△DEF為正三角形，設(shè)求△DEF邊長的最小值．2.某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為〔如圖〕，考慮到防洪堤鞏固性及石塊用料等因素，設(shè)計其橫斷面要求面積為平方米，且高度不低于米．記防洪堤橫斷面的腰長為〔米〕，外周長〔梯形的上底線段與兩腰長的和〕為〔米〕.⑴求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；⑵要使防洪堤橫斷面的外周長不超過米，那么其腰長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？⑶當防洪堤的腰長為多少米時，堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省〔即斷面的外周長最小〕？求此時外周長的值.3、如圖，兩座建筑物的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9和15，從建筑物的頂部看建筑物的視角.求的長度；在線段上取一點點與點不重合〕，從點看這兩座建筑物的視角分別為問點在何處時，最??？第17題圖第17題圖4、某單位設(shè)計一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如下圖．為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補，且AB＝BC．〔1〕設(shè)AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍；(第2題圖〕C(第2題圖〕CABDl解：〔1〕在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA．同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC．因為∠A和∠C互補，所以AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC＝CB2+CD2＋2CB·CD·cosA．即x2+(9－x)2－2x(9－x)cosA＝x2+(5－x)2＋2x(5－x)cosA．解得cosA＝eq\f(2,x)，即f(x)＝eq\f(2,x)．其中x∈(2，5)．〔2〕四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)(AB·AD+CB·CD)sinA＝eq\f(1,2)[x(5－x)+x(9－x)]eq\r(,1－cos2A)．＝x(7－x)eq\r(,1－(eq\f(2,x))2)＝eq\r(,(x2－4)(7－x)2)＝eq\r(,(x2－4)(x2－14x＋49))．記g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2，5)．由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4(x＝7和x＝－eq\f(1,2)舍)．所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(2，4)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(4，5)內(nèi)單調(diào)遞減．因此g(x)的最大值為g(4)＝12×9＝108．所以S的最大值為EQ\r(,108)＝6eq\R(,3)．5.如圖,有三個生活小區(qū)(均可看成點)分別位于三點處,,到線段的距離,(參考數(shù)據(jù):).今方案建一個生活垃圾中轉(zhuǎn)站,為方便運輸,準備建在線段(不含端點)上.設(shè),試將到三個小區(qū)距離的最遠者表示為的函數(shù),并求的最小值；設(shè),試將到三個小區(qū)的距離之和表示為的函數(shù),并確定當取何值時,可使最小?6、如圖，在半徑為、圓心角為的扇形的弧上任取一點，作扇形的內(nèi)接矩形，使點在上，點在上，設(shè)矩形的面積為,〔1〕按以下要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：POABQMN①設(shè)POABQMN②設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式，〔2〕請你選用〔1〕中的一個函數(shù)關(guān)系式，求出的最大值.解：〔1〕①因為，，所以，所以.②因為，，，所以，所以，即，〔2〕選擇，所以7、某企業(yè)有兩個生產(chǎn)車間分別在、兩個位置，車間有100名員工，車間有400名員工，現(xiàn)要在公路上找一點，修一條公路，并在處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，、、中任意兩點間的距離均是1，設(shè)，所有員工從車間到食堂步行的總路程為.〔1〕寫出關(guān)于的函數(shù)表達式，并指出的取值范圍；〔2〕問食堂建在距離多遠時，可使總路程最少？解：〔1〕在中，∵，∴，.那么.，其中.〔2〕令，得.當時，，是的單調(diào)減函數(shù)；當時，，是的單調(diào)增函數(shù).∴當時，取得最小值.此時，，8、如圖，是一塊邊長，的剩余角料.現(xiàn)要從中裁剪出一塊面積最大的平行四邊形用料，要求頂點分別在邊上.問點在邊上的什么位置時，剪裁符合要求？并求這個最大值.解：設(shè)BQ＝x，那么CQ＝7－x，且0＜x＜7.由余弦定理，得A＝120°，cosB＝eq\f(11,14)，cosC＝eq\f(13,14)，∴sinB＝eq\f(5\r(3),14)，sinC＝eq\f(3\r(3),14).在△PQB中，由正弦定理，得PQ＝eq\f(xsinB,sin120°).在△RQC中，由正弦定理，得RQ＝eq\f((7－x)sinC,sin120°).∴S?APQR＝PQ·RQ·sin120°＝eq\f(x(7－x)sinBsinC,sin120°)＝eq\f(15\r(3),98)x(7－x)，當x＝eq\f(7,2)時，取最大值eq\f(15\r(3),8).故當Q是BC中點時，平行四邊形APQR面積最大，最大面積為eq\f(15\r(3),8)米.9、如下圖，某動物園要為剛?cè)雸@的小老虎建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室，已有兩面墻的夾角為60°〔即〕，現(xiàn)有可供建造第三面圍墻的材料6米〔兩面墻的長均大于6米〕，為了使得小老虎能健康成長，要求所建造的三角形露天活動室盡可能大，記，問當為多少時，所建造的三角形露天活動室的面積最大？解：在中，由正弦定理： 化簡得：所以即所以當即時，=10.如圖，某海域中有甲、乙兩艘測量船分別停留在相距海里的M,N兩點，他們在同時觀測島嶼上中國移動信號塔AB，設(shè)塔底延長線與海平面交于點O．點M在點O的正東方向，點N在點O的南偏西方向，海里，在M處測得塔底B和塔頂A的仰角分別為和．〔1〕求信號塔的高度；〔2〕乙船試圖在線段上選取一點，使得在點處觀測信號塔的視角最大，請判斷這樣的點是否存在，假設(shè)存在，求出最大視角及的長；假設(shè)不存在，說明理由．第10第10題圖11.如圖，某小區(qū)有一邊長為2