復(fù)數(shù)的三角表示同步練習(xí) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊

*§3復(fù)數(shù)的三角表示A組1.復(fù)數(shù)z=sin15°+icos15°的三角形式是().A.cos195°+isin195°B.sin75°+icos75°C.cos15°+isin15°D.cos75°+isin75°2.復(fù)數(shù)sin50°-isin140°的輻角的主值是().A.150° B.40° C.-40° D.320°3.若復(fù)數(shù)z=(a+i)2的輻角是3π2,則實(shí)數(shù)a的值是(A.1 B.-1 C.-2 D.-34.若復(fù)數(shù)cosθ+isinθ和sinθ+icosθ相等,則θ的值為().A.π4 B.C.2kπ+π4(k∈Z) D.kπ+π4(k∈5.如果θ∈π2,π,那么復(fù)數(shù)(1+i)(cosθ-isinθ)的三角形式是(A.2[cos9π4-θB.2[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)]C.2[cosπ4+θ+D.2[cos3π4+θ6.已知z=cos2π3+isin2π3,則argz27.把復(fù)數(shù)1+i對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)π2,所得到的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.8.設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+3i,z2=3+i,則z1z2的輻角的主值是9.已知z1=12cosπ3+isinπ3,z2=6(cosπ6+B組1.設(shè)π<θ<5π4,則復(fù)數(shù)cos2θ+isin2A.2π-3θ B.3θ-2πC.3θ D.3θ-π2.復(fù)數(shù)z=tanθ+iπ2<θ<A.1cosθ(sinθ+icosB.1cosθ(cosθ+isinC.-1cosθ[cos(3π2-θ)+isin(3D.-1cosθ[cos(3π2+θ)+isin(33.(多選題)已知z1,z2是復(fù)數(shù),則下列說法正確的是().A.若z12+z2B.若z12>-z22C.若z12+z22=0,則D.若z12+z22<0,則4.已知復(fù)數(shù)z滿足z2+2z+4=0,且argz∈π2,π,則z的三角形式為5.將復(fù)數(shù)1+3i所表示的向量繞原點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角(0<θ<2π)所得的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2,則θ=.

6.設(shè)O為復(fù)平面的原點(diǎn),A,B為單位圓上兩點(diǎn),A,B所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2,z1,z2的輻角的主值分別為α,β.若△AOB的重心G對應(yīng)的復(fù)數(shù)為13+115i,求tan(α7.設(shè)復(fù)數(shù)z1=3+i,復(fù)數(shù)z2滿足|z2|=2,已知z1z22的對應(yīng)點(diǎn)在虛軸的負(fù)半軸上,且argz2∈(0,π),求z2答案A組1.Dz=sin15°+icos15°=cos75°+isin75°,故選D.2.Dsin50°-isin140°=cos(270°+50°)+isin(180°+140°)=cos320°+isin320°.3.B∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,argz=3π∴a2-1=0,4.D因?yàn)閏osθ+isinθ=sinθ+icosθ,所以cosθ=sinθ,即tanθ=1,所以θ=π4+kπ(k∈Z)5.A因?yàn)?+i=2coscosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ),所以(1+i)(cosθ-isinθ)=2[cosπ4+2π-=2cos6.4π3因?yàn)閍rgz=2π3,所以argz2=2argz=7.1-i(1+i)cos=2=2[cos(π4?π2)+isin=2[cos(-π4)+isin-=1-i.8.π6由題知,z1=2cosπ3+isinπ3,z2=2(cosπ69.解z1z2=12×6×[cosπ3+π6+isin(π3+π首先作復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的向量OZ1,然后將OZ1繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π6,再將其長度伸長為原來的6倍,得到的向量即為zB組1.Bcos2θ+isin2θcosθ-isin因?yàn)棣?lt;θ<5π4,所以3π<3θ<15π4,所以π<3θ-2π<7π4,因而所求輻角的主值為3θ2.Cz=tanθ+i=sinθcosθ+i=1cosθ(sin∵π2<θ<π,∴1cosθ<0,∴z=-1cosθ(-sinθ-icosθ)=-1cosθ[cos(3π2-θ)3.BD若z12=i,z22=1-i,顯然滿足z12+z22>0,但是不滿足z12>-z22,故A不正確.當(dāng)z12>-z22成立時,顯然有z12∈R,-z22∈R,故B正確.當(dāng)z1=1,z2=i時,顯然滿足z12+z22=0,但是z4.z=2cos2π3+isin2π3由z2+2z+4=0,得z=12因?yàn)閍rgz∈π2,π,所以z=-1所以z=-1+3i=2cos5.2π3由題意知,(1+3i)(cosθ+isinθ)即2cosπ3+isinπ3(cosθ+isinθ)=2[cos(π3+θ)所以cosπ3+θ=-1,sin又0<θ<2π,所以π3<π3+則π3+θ=π,于是θ=26.解由題意可設(shè)z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ.因?yàn)椤鰽OB的重心G對應(yīng)的復(fù)數(shù)為13所以z1+z23=13+1于是有cos所以tanα+β2=15,故tan(α7.解因?yàn)閦1=2