第2課時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用同步檢測 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊

.1.2第2課時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用（同步檢測）一、選擇題1.直線y＝kx－k與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關(guān)系為()A.相交B.相切C.相離D.不確定2.直線y＝kx＋2和橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1有公共點，則k的取值范圍是()A.k<－eq\f(\r(6),3)或k>eq\f(\r(6),3)B.k≤－eq\f(\r(6),3)或k≥eq\f(\r(6),3)C.－eq\f(\r(6),3)<k<eq\f(\r(6),3)D.－eq\f(\r(6),3)≤k≤eq\f(\r(6),3)3.德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)天體運行軌道是橢圓，已知地球運行的軌道是一個橢圓，太陽在它的一個焦點上，軌道近日點到太陽中心的距離和遠(yuǎn)日點到太陽中心的距離之比是29∶30，那么地球運行軌道所在橢圓的離心率是()A.eq\f(1,59)B.eq\f(2,59)C.eq\f(29,59)D.eq\f(30,59)4.已知過圓錐曲線eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1上一點P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,m)＋eq\f(y0y,n)＝1.過橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1上的點A(3，－1)作橢圓的切線l，則過點A且與直線l垂直的直線方程為()A.x－y－3＝0B.x＋y－2＝0C.2x＋3y－3＝0D.3x－y－10＝05.美學(xué)四大構(gòu)件是：史詩、音樂、造型(繪畫、建筑等)和數(shù)學(xué)．素描是學(xué)習(xí)繪畫的必要一步，它包括了明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一步．某同學(xué)在畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體)的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓(如圖所示)，若“切面”所在平面與底面成60°角，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(1,3)6.如圖是一個籃球在太陽光照射下的影子，已知籃球的直徑為22cm，現(xiàn)太陽光與地面的夾角為60°，則此橢圓形影子的離心率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)7.(多選)若直線y＝kx＋2與橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1相切，則斜率k的值是()A.eq\f(\r(6),3)B.－eq\f(\r(6),3)C.－eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),3)8.(多選)如圖所示，某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P處變軌進(jìn)入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點處第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，且軌道Ⅱ的右頂點為軌道Ⅰ的中心．設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的長半軸長分別為a1和a2，半焦距分別為c1和c2，離心率分別為e1，e2，則下列結(jié)論正確的是()A.a1＋c1＞2(a2＋c2)B.a1－c1＝a2－c2C.e1＝eq\f(e2＋1,2)D.橢圓Ⅱ比橢圓Ⅰ更扁二、填空題9.某隧道的拱線設(shè)計為半個橢圓的形狀，最大拱高h(yuǎn)為6米(如圖所示)，路面設(shè)計是雙向車道，車道總寬為8eq\r(7)米，如果限制通行車輛的高度不超過4.5米，那么隧道設(shè)計的拱寬d至少應(yīng)是________米．10.過點M(1,1)作斜率為－eq\f(1,2)的直線與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為________11.若直線y＝x＋2與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有兩個公共點，則m的取值范圍是________________12.羅馬競技場，建于公元72年到82年，是古羅馬文明的象征，其內(nèi)部形狀近似為一個橢圓形，其長軸長約為188米，短軸長約為156米，競技場分為表演區(qū)與觀眾區(qū)，中間的表演區(qū)也近似為橢圓形，其長軸長為86米，短軸長為54米，若橢圓的面積為πab(其中a，b分別為橢圓的長半軸長與短半軸長，π取3.14)，已知觀眾區(qū)可以容納9萬人，由此推斷，觀眾區(qū)每個座位所占面積約為________平方米(保留小數(shù)點后兩位)．三、解答題13.已知橢圓x2＋8y2＝8，在橢圓上求一點P，使P到直線l：x－y＋4＝0的距離最短，并求出最短距離．14.已知點A，B的坐標(biāo)分別是(－1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為－2.(1)求動點M的軌跡方程；(2)若過點Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))的直線l交動點M的軌跡于C，D兩點，且N為線段CD的中點，求直線l的方程．15.如圖，某市新城公園將在長34米、寬30米的矩形地塊內(nèi)開鑿一個“撻圓”形水池，水池邊緣由兩個半橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(x≤0)和eq\f(y2,b2)＋eq\f(x2,81)＝1(x≥0)組成，其中a>b>9，“撻圓”內(nèi)切于矩形(即“撻圓”與矩形各邊均有且只有一個公共點)．(1)求“撻圓”的方程；(2)在“撻圓”形水池內(nèi)建一矩形網(wǎng)箱養(yǎng)殖觀賞魚，若該矩形網(wǎng)箱的一條邊所在直線方程為y＝t(t∈(0,15))，求該網(wǎng)箱所占水面面積的最大值．參考答案及解析：一、選擇題1.A解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－k，,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，))消去y得(4＋9k2)x2－18k2x＋9k2－36＝0，Δ＝(－18k2)2－4(4＋9k2)(9k2－36)＝576(2k2＋1)，易知Δ>0恒成立，∴直線y＝kx－k與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關(guān)系為相交．2.B解析：將y＝kx＋2代入橢圓方程eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，消去y，可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，∴Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48，∵直線和橢圓有公共點，∴72k2－48≥0，∴k≤－eq\f(\r(6),3)或k≥eq\f(\r(6),3).3.A解析：設(shè)橢圓的長半軸長為a，半焦距為c，由題意可得eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(29,30)，整理得a＝59c，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,59).∴地球運行軌道所在橢圓的離心率是eq\f(1,59).4.B解析：過橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1上的點A(3，－1)的切線l的方程為eq\f(3x,12)＋eq\f(－y,4)＝1，即x－y－4＝0，切線l的斜率為1.與直線l垂直的直線的斜率為－1，故過點A且與直線l垂直的直線方程為y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.5.C解析：設(shè)橢圓長軸長為2a，短軸長為2b，由“切面”所在平面與底面成60°角，可得eq\f(2b,2a)＝cos60°，即a＝2b，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).6.B解析：如圖，l1，l2是兩條與球相切的直線，分別切于點A，C，與底面交于點B，D，設(shè)籃球的半徑為R，∴AC＝2R＝22，R＝11，過點C作CE∥BD交l1于點E，則CE＝BD，在△ACE中，CE＝eq\f(AC,sin60°)，∴CE＝22×eq\f(2,\r(3))＝2a，∴a＝eq\f(22,\r(3))＝eq\f(2R,\r(3))，b＝R，∴c＝eq\r(\f(4R2,3)－R2)＝eq\f(\r(3),3)R，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\f(\r(3)R,3),\f(2R,\r(3)))＝eq\f(1,2).7.AB解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，))得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由題意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±eq\f(\r(6),3)．8.ABC解析：對A，由題可知a1＝2a2，c1＝a2＋c2＞2c2，所以a1＋c1＞2(a2＋c2)，所以選項A正確；對B，由a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，得a1－c1＝a2－c2，所以選項B正確；對C，由a1＝2a2，c1＝a2＋c2，得eq\f(c1,a1)＝eq\f(a2＋c2,2a2)＝eq\f(1＋\f(c2,a2),2)，即e1＝eq\f(e2＋1,2)，所以選項C正確；對D，根據(jù)選項C知，2e1＝e2＋1＞2e2，所以e1＞e2，即橢圓Ⅰ比橢圓Ⅱ更扁，所以選項D錯誤．故選ABC．二、填空題9.答案：32解析：設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,36)＝1，當(dāng)點(4eq\r(7)，4.5)在橢圓上時，eq\f(16×7,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2,36)＝1，解得a＝16，∵車輛高度不超過4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱寬至少為32米．10.答案：eq\f(\r(2),2)解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②∵M(jìn)是線段AB的中點，∴eq\f(x1＋x2,2)＝1，eq\f(y1＋y2,2)＝1.∵直線AB的方程是y＝－eq\f(1,2)(x－1)＋1，∴y1－y2＝－eq\f(1,2)(x1－x2)．由①②兩式相減可得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)＝0，即eq\f(2,a2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·eq\f(2,b2)＝0.∴a＝eq\r(2)b，∴c＝b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).11.答案：(1,3)∪(3，＋∞)解析：∵eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1表示橢圓，∴m>0且m≠3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，))得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3，∴m的取值范圍是(1,3)∪(3，＋∞)．12.答案：0.22解析：由條件可得，競技場的總面積為π×eq\f(188,2)×eq\f(156,2)＝7332π(平方米)，表演區(qū)的面積為π×eq\f(86,2)×eq\f(54,2)＝1161π(平方米)，故觀眾區(qū)的面積為7332π－1161π＝6171π(平方米)，故觀眾區(qū)每個座位所占面積為eq\f(6171π,90000)≈eq\f(6171×3.14,90000)≈0.22(平方米)．三、解答題13.解：設(shè)與直線x－y＋4＝0平行且與橢圓相切的直線方程為x－y＋a＝0(a≠4)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋8y2＝8，,x－y＋a＝0，))消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴與直線l距離較近的切線為x－y＋3＝0，兩條直線之間的距離即為所求最短距離，且直線x－y＋3＝0與橢圓的切點即為所求點P.故所求最短距離d＝eq\f(|4－3|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋8y2＝8，,x－y＋3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(8,3)，,y＝\f(1,3)，))即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，\f(1,3))).14.解：(1)設(shè)M(x，y)．因為kAM·kBM＝－2，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝－2(x≠±1)，化簡得2x2＋y2＝2(x≠±1)．即點M的軌跡方程為2x2＋y2＝2(x≠±1)．(2)設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)．當(dāng)直線l⊥x軸時，直線l的方程為x＝eq\f(1,2)，易知此時線段CD的中點不是N，不符合題意．當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為y－1＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，將點C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐標(biāo)代入2x2＋y2＝2(x≠±1)，得2xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝2，①2xeq\o\al(2,2)＋y