2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破模型46 勾股定理之螞蟻行程、弦圖模型（含答案及解析）

1．平面展開-最短路徑問題（1）平面展開﹣最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們在解決有關(guān)結(jié)合問題時的關(guān)鍵就是能從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型．例．如圖所示，有一正方體紙盒，在點C1處有一只小蟲，它要爬到點A吃食物．應(yīng)該沿著怎樣的路線才能使行程最短？解：如圖，把側(cè)面或上面展開與正面組成一矩形，連接AC1，則AC1就是行程最短的路線．2.趙爽弦圖模型我國著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個矩形分成四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三角形拼成了一個大的正方形（如圖1），這個正方形稱為趙爽弦圖，驗證了一個非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2+b2＝c2．稱為勾股定理．把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形（如圖2），也能驗證這個結(jié)論證明：由圖2得，大正方形面積＝4×＝（a+b）2，整理得b2+c2+2ab＝2ab+c2，∴c2＝a2+b2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．例題精講例題精講考點一：行程最短問題【例1】．如圖，有一個圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是cm．（π取3）變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，圓錐的底面圓的半徑為10cm，母線長為40cm，C為母線PA的中點，一只螞蟻欲從點B處沿圓錐的側(cè)面爬到點C處，則它爬行的最短距離是cm．【變式1-2】．如圖，一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm，高是9cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所走的最短路線的長是cm．【變式1-3】．如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是米．考點二：弦圖模型的應(yīng)用【例2】．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，則中間小正方形EFGH的面積是．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成．若較短的直角邊BC＝2.5，將四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，若△BCD的周長是15，則這個風(fēng)車的外圍周長是．【變式2-2】．如圖，在弦圖中，正方形ABCD的對角線AC與正方形EFHI的對角線EH交于點K，對角線AC交正方形EFHI于G，J兩點，記△GKH面積為S1，△JIC面積為S2，若AE＝12，CD＝4，則S1+S2的值為．1．如圖所示，一只小螞蟻從棱長為1的正方體的頂點A出發(fā)，經(jīng)過每個面的中心點后，又回到A點，螞蟻爬行最短程S滿足（）A．5＜S≤6 B．6＜S≤7 C．7＜S≤8 D．8＜S≤92．如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan∠ADE的值為（）A． B． C． D．3．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，則S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．304．四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間空出的部分是一個小正方形，這樣就組成了一個“趙爽弦圖”（如圖）．如果小正方形面積為4，大正方形面積為74，直角三角形中較小的銳角為θ，那么tanθ的值是（）A． B． C． D．5．趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形（如圖所示）．某次課后服務(wù)拓展學(xué)習(xí)上，小潯繪制了一幅趙爽弦圖，她將EG延長交CD于點I．記小正方形EFGH的面積為S1，大正方形ABCD的面積為S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，則GI的值是（）A． B． C． D．6．如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點A到達(dá)A1，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為．

7．如圖，底面半徑為1，母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點，它爬行的最短路線長是．8．將四個全等的直角三角形分別拼成正方形（如圖1，2），邊長分別為6和2．若以一個直角三角形的兩條直角邊為邊向外作正方形（如圖3），其面積分別為S1，S2．則S1﹣S2＝．9．如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為3，圖2中陰影部分的面積為S，那么S的值為．

10．如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個小正方形．其邊長都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點A沿表面爬行至側(cè)面的B點，最少要用秒鐘．11．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的邊長為7cm，則圖中五個正方形A、B、C、D、E的面積和為cm2．12．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅弦圖，后人稱其為趙爽弦圖（如圖1）．圖2為小明同學(xué)根據(jù)弦圖思路設(shè)計的，在正方形ABCD中，以點B為圓心，AB為半徑作，再以CD為直徑作半圓交于點E，若邊長AB＝10，則△CDE的面積為．

13．圖1是一個勾股定理演示教具的正面示意圖，當(dāng)它倒過來時，大正方形中的全部墨水恰能注滿兩個小正方形．王老師有一個內(nèi)長為11寸，內(nèi)寬為9寸的木質(zhì)盒子（如圖2）．現(xiàn)要自制一個這樣的教具（由三個正方形和一個直角三角形組成），使得教具恰好擺入這個盒子中，以便保護(hù)和攜帶（如圖3所示，A，B，C，D，E五點均緊貼盒子邊緣，教具的厚度等于木盒的內(nèi)高）．此時盒子的空間利用率為．14．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形，如圖，若拼成的大正方形為正方形ABCD，面積為9，中間的小正方形為正方形EFGH，面積為2，連接AC，交BG于點P，交DE于點M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP﹣S△CGP＝，③DH+HC＝4，④HC＝2+，以上說法正確的是.（填寫序號）15．一個長方體盒子，它的長是12dm，寬是4dm，高是3dm，（1）請問：長為12.5dm的鐵棒能放進(jìn)去嗎？（1）如果有﹣只螞蟻要想從D處爬到C處，求爬行的最短路程．16．如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形．（1）如圖①弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a．較短的直角邊為b，斜邊長為c，可以驗證勾股定理；（2）如圖②，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，則S2＝．

17．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即，從而得到等式c2＝，化簡便得結(jié)論a2+b2＝c2．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．現(xiàn)在，請你用“雙求法”解決下面兩個問題（1）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的長度．（2）如圖3，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，設(shè)BD＝x，求x的值．

1．平面展開-最短路徑問題（1）平面展開﹣最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們在解決有關(guān)結(jié)合問題時的關(guān)鍵就是能從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型．例．如圖所示，有一正方體紙盒，在點C1處有一只小蟲，它要爬到點A吃食物．應(yīng)該沿著怎樣的路線才能使行程最短？解：如圖，把側(cè)面或上面展開與正面組成一矩形，連接AC1，則AC1就是行程最短的路線．2.趙爽弦圖模型我國著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個矩形分成四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三角形拼成了一個大的正方形（如圖1），這個正方形稱為趙爽弦圖，驗證了一個非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2+b2＝c2．稱為勾股定理．把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形（如圖2），也能驗證這個結(jié)論證明：由圖2得，大正方形面積＝4×＝（a+b）2，整理得b2+c2+2ab＝2ab+c2，∴c2＝a2+b2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．例題精講例題精講考點一：行程最短問題【例1】．如圖，有一個圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是20cm．（π取3）解：將圓柱體展開，連接A、B，根據(jù)兩點之間線段最短，根據(jù)題意可得：AC是圓周的一半，∴AC＝×2×4π＝12，∴AB＝＝20cm．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，圓錐的底面圓的半徑為10cm，母線長為40cm，C為母線PA的中點，一只螞蟻欲從點B處沿圓錐的側(cè)面爬到點C處，則它爬行的最短距離是20cm．解：由題意知，底面圓的直徑AB＝20，故底面周長等于20π設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°∵根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，20π＝，解得n＝90°∴展開圖中扇形圓心角＝90°，作CE⊥PB于E，則CE＝PE＝10，BE＝40﹣10，∵根據(jù)勾股定理求得它爬行的最短距離是＝20cm∴螞蟻爬行的最短距離為20cm【變式1-2】．如圖，一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm，高是9cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所走的最短路線的長是15cm．解：由題意可得，當(dāng)展開前面和右面時，最短路線長是：＝＝15（cm）；當(dāng)展開前面和上面時，最短路線長是：＝＝7（cm）；當(dāng)展開左面和上面時，最短路線長是：＝（cm）；∵15＜7＜，∴一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm，高是9cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所走的最短路線的長是15cm，故答案為：15．【變式1-3】．如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是2.5米．解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為2，寬為（0.2+0.3）×3，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，解得x＝2.5．考點二：弦圖模型的應(yīng)用【例2】．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，則中間小正方形EFGH的面積是49．解：∵AE＝5，AB＝13，∴BF＝AE＝5，在Rt△ABF中，AF＝＝12，∴小正方形的邊長EF＝12﹣5＝7，∴小正方形EFGH的面積為7×7＝49．故答案為：49．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成．若較短的直角邊BC＝2.5，將四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，若△BCD的周長是15，則這個風(fēng)車的外圍周長是38．解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，AC＝y(tǒng)，則x2＝4y2+2.52，∵△BCD的周長是15，∴x+2y+2.5＝15則x＝6.5，y＝3．∴這個風(fēng)車的外圍周長是：4（x+y）＝4×9.5＝38．故答案是：38．【變式2-2】．如圖，在弦圖中，正方形ABCD的對角線AC與正方形EFHI的對角線EH交于點K，對角線AC交正方形EFHI于G，J兩點，記△GKH面積為S1，△JIC面積為S2，若AE＝12，CD＝4，則S1+S2的值為16．解：由題意可得，AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，F(xiàn)H∥EI，∵∠AGF＝∠HGK，∠IJC＝∠KJE，∵FH∥EI，∴∠HGK＝∠KJE，∴∠AGF＝∠IJC，在△AFG和△CIJ中，，∴△AFG≌△CIJ（AAS），∴FG＝IJ，∵四邊形EFHI為正方形，∴EI﹣IJ＝FH﹣FG，即HG＝EJ，在△GHK和△JEK中，，∴△GHK≌△JEK（AAS），∴HK＝EK，即點K為正方形EFHI的中心，如圖，過點K作KM⊥FH于點M，∵AE＝12，CD＝4，∴BF＝12，AD＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝4，∴AF＝DE＝4，EF＝AE﹣AF＝12﹣4＝8，則FH＝8，KM＝4，設(shè)GH＝a，F(xiàn)G＝b，則a+b＝FH＝8，∴＝，＝＝2b，∴S1+S2＝2a+2b＝2（a+b）＝16．故答案為：16．1．如圖所示，一只小螞蟻從棱長為1的正方體的頂點A出發(fā)，經(jīng)過每個面的中心點后，又回到A點，螞蟻爬行最短程S滿足（）A．5＜S≤6 B．6＜S≤7 C．7＜S≤8 D．8＜S≤9解：正方體展開圖形為：則螞蟻爬行最短程S＝5+＝5+．即6＜S≤7．故選：B．2．如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan∠ADE的值為（）A． B． C． D．解：設(shè)小正方形EFGH面積是a2，則大正方形ABCD的面積是13a2，∴小正方形EFGH邊長是a，則大正方形ABCD的邊長是a，∵圖中的四個直角三角形是全等的，∴AE＝DH，設(shè)AE＝DH＝x，在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，即13a2＝x2+（x+a）2解得：x1＝2a，x2＝﹣3a（舍去），∴AE＝2a，DE＝3a，∴tan∠ADE＝＝，故選：C．3．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，則S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．30解：設(shè)每個小直角三角形的面積為m，則S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，因為S1+S2+S3＝60，所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，即3S2＝60，解得S2＝20．故選：C．4．四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間空出的部分是一個小正方形，這樣就組成了一個“趙爽弦圖”（如圖）．如果小正方形面積為4，大正方形面積為74，直角三角形中較小的銳角為θ，那么tanθ的值是（）A． B． C． D．解：由已知條件可知，小正方形的邊長為2，大正方形的邊長為．設(shè)直角三角形中較小邊長為x，則有（x+2）2+x2＝（）2，解得x＝5．則較長邊的邊長為x+2＝5+2＝7．故tanθ＝＝．故選：B．5．趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形（如圖所示）．某次課后服務(wù)拓展學(xué)習(xí)上，小潯繪制了一幅趙爽弦圖，她將EG延長交CD于點I．記小正方形EFGH的面積為S1，大正方形ABCD的面積為S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，則GI的值是（）A． B． C． D．解：如圖，連接DG，∵趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形，∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，∵DI＝2，CI＝1，∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，∵大正方形ABCD的面積為S2，∴S2＝CD2＝32＝9，又∵小正方形EFGH的面積為S1，S2＝5S1，∴S1＝，∴EF＝FG＝GH＝HE＝，∵將EG延長交CD于點I，∴∠HGE＝45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG＝＝，設(shè)AE＝BF＝CG＝DH＝x，則AF＝BG＝CH＝DE＝x+，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，解得：x1＝，x2＝﹣（不合題意，舍去），即AE＝BF＝CG＝DH＝x＝，∴DH＝EH＝，∴CH垂直平分ED，∴DG＝EG＝，∴∠DGH＝∠HGE＝45°，∴∠DGE＝45°+45°＝90°，∴∠DGI＝90°，在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI＝＝＝，故選：A．6．如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點A到達(dá)A1，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為13．解：因為圓柱底面圓的周長為2π×＝12，高為5，所以將側(cè)面展開為一長為12，寬為5的矩形，根據(jù)勾股定理，對角線長為＝13．故螞蟻爬行的最短距離為13．7．如圖，底面半徑為1，母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點，它爬行的最短路線長是．解：由題意知，底面圓的直徑為2，故底面周長等于2π．設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，2π＝，解得n＝90°，所以展開圖中圓心角為90°，根據(jù)勾股定理求得到點A的最短的路線長是：＝＝4．8．將四個全等的直角三角形分別拼成正方形（如圖1，2），邊長分別為6和2．若以一個直角三角形的兩條直角邊為邊向外作正方形（如圖3），其面積分別為S1，S2．則S1﹣S2＝12．解：設(shè)四個全等的直角三角形的兩條直角邊分別為a，b（a＞b），根據(jù)圖1得：a+b＝6，根據(jù)圖2得：a﹣b＝2，聯(lián)立解得：，∴S1＝16，S2＝4，則S1﹣S2＝12．故答案為：12．9．如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為3，圖2中陰影部分的面積為S，那么S的值為16．解：由題意作出如下圖，得AC＝，BD＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，則大正方形面積＝AC2＝34，△ADC面積＝（5×3﹣2×3）＝4.5，陰影部分的面積S＝34﹣4×4.5＝16，故答案為：16．10．如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個小正方形．其邊長都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點A沿表面爬行至側(cè)面的B點，最少要用2.5秒鐘．解：因為爬行路徑不唯一，故分情況分別計算，進(jìn)行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面右面由勾股定理得AB＝＝cm；（2）展開底面右面由勾股定理得AB＝＝5cm；所以最短路徑長為5cm，用時最少：5÷2＝2.5秒．11．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的邊長為7cm，則圖中五個正方形A、B、C、D、E的面積和為98cm2．解：設(shè)正方形A、B、C、D的邊長分別是a、b、c、d，則正方形A的面積＝a2，正方形B的面積＝b2，正方形C的面積＝c2，正方形D的面積＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y(tǒng)2，∴正方形A、B、C、D、E的面積和＝（a2+b2）+（c2+d2）+72＝x2+y2+72＝72+72＝98（cm2）．即正方形A，B，C，D、E的面積的和為98cm2．故答案為：98．12．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅弦圖，后人稱其為趙爽弦圖（如圖1）．圖2為小明同學(xué)根據(jù)弦圖思路設(shè)計的，在正方形ABCD中，以點B為圓心，AB為半徑作，再以CD為直徑作半圓交于點E，若邊長AB＝10，則△CDE的面積為20．解：如圖，取CD的中點F，連接BF、BE、DE、EF，由題意可得，F(xiàn)E＝FC，BE＝BC，∴BF是EC的垂直平分線，∴∠FBC+∠BCE＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠FBC＝∠DCE，又∵∠BCF＝∠CED＝90°，∴△BCF∽△CED，∴＝＝，∵BC＝CD＝AB＝10，CF＝5，∠BCF＝90°，∴BF＝＝＝5，∴＝＝，解得：CE＝4，ED＝2，∴S△CDE＝×CE×DE＝×4×2＝20，故答案為：20．13．圖1是一個勾股定理演示教具的正面示意圖，當(dāng)它倒過來時，大正方形中的全部墨水恰能注滿兩個小正方形．王老師有一個內(nèi)長為11寸，內(nèi)寬為9寸的木質(zhì)盒子（如圖2）．現(xiàn)要自制一個這樣的教具（由三個正方形和一個直角三角形組成），使得教具恰好擺入這個盒子中，以便保護(hù)和攜帶（如圖3所示，A，B，C，D，E五點均緊貼盒子邊緣，教具的厚度等于木盒的內(nèi)高）．此時盒子的空間利用率為．解：如圖，過點A作AM⊥EG的延長線于點M，過點F作FR⊥GH于點R，過點B作BN⊥GH，過點F作FN∥GH，延長GH交CK于K，∵四邊形AGFL、DEGH、BCHF均為正方形，∴AG＝FG，BF＝FH＝CH，EG＝GH，∠AGF＝∠BFH＝90°＝∠AMG＝∠FRG＝∠BNF＝∠CKH，∴∠AGM+∠FGM＝∠FGR+∠FGM，∴∠AGM＝∠FGR，∴△AGM≌△FGR（AAS），∴AM＝FR，GM＝GR，同理，△BFN≌△HFR≌△CHK（AAS），∴FR＝FN＝HK＝AM，BN＝HR，設(shè)AM＝x，BN＝y(tǒng)，AM＝FR＝z，則FR＝FN＝HK＝AM＝x，BN＝HR＝y(tǒng)，由勾股定理得：FH2＝x2+y2，F(xiàn)G2＝x2+z2，GH＝y(tǒng)+z，根據(jù)題意，得：FH2+FG2＝GH2，∴x2+z2+x2+y2＝（y+z）2，∴x2＝y(tǒng)z①，∵AM+GR+RH+HK＝9，BN+FR+EG＝11，∴2x+y+z＝9②，x+2y+z＝11③，②﹣③，得：x﹣y＝﹣2，即y＝x+2④，②×2﹣③，得：3x+z＝7，即z＝7﹣3x⑤，將④⑤代入①，得：x2＝（x+2）（7﹣3x），解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去），∴y＝4，z＝1，∴GH＝5，F(xiàn)G2＝5，F(xiàn)H2＝20，∴勾股定理演示教具的正面面積為：S＝25+5+20+××2＝55，∵教具的厚度等于木盒的內(nèi)高，∴盒子的空間利用率為：＝，故答案為：．14．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形，如圖，若拼成的大正方形為正方形ABCD，面積為9，中間的小正方形為正方形EFGH，面積為2，連接AC，交BG于點P，交DE于點M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP﹣S△CGP＝，③DH+HC＝4，④HC＝2+，以上說法正確的是①③④.（填寫序號）解：∵Rt△BCG≌Rt△DAE，∴CG＝AE，∠CGP＝∠AEM，∵CH∥AF．∴∠GCP＝∠MAE，∴△CGP≌△AEM（ASA），∴S△CGP＝S△AEM，CP＝ME，∴S△AFP﹣S△CGP＝S四邊形MEFP∵HE＝GF，∴HM＝PF，∴S四邊形MEFP＝S四邊形MHGP＝S正方形EFGH＝1，∴S△AFP﹣S△CGP＝1，∵DH2+CH2＝DC2＝9，∴（DH+CH