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模型介紹模型介紹考點(diǎn)1一點(diǎn)一垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的垂線、另一坐標(biāo)軸上一點(diǎn)(含原點(diǎn))圍成的三角形面積等于|k|.【示例】拓展:【例1】.如圖,已知?jiǎng)狱c(diǎn)A,B分別在x軸,y軸正半軸上,動(dòng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上,PA⊥x軸,△PAB是以PA為底邊的等腰三角形.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí),△PAB的面積將會(huì)()A.越來(lái)越小 B.越來(lái)越大 C.不變 D.先變大后變小變式訓(xùn)練【變1-1】.如圖,點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖象上,過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線,垂足分別是M、N,射線AB交x軸于點(diǎn)C,若OM=MN=NC,四邊形AMNB的面積是4,則k的值為.【變1-2】.如圖,在第一象限內(nèi),點(diǎn)P(2,3),M(a,2)是雙曲線y=(k≠0)上的兩點(diǎn),PA⊥x軸于點(diǎn)A,MB⊥x軸于點(diǎn)B,PA與OM交于點(diǎn)C,則△OAC的面積為()A. B. C.2 D.考點(diǎn)2一點(diǎn)兩垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)軸的兩條垂線所圍成的矩形面積等于|k|.【示例】【例2】.雙曲線與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點(diǎn),連接OA、OB,則△AOB的面積為()A.1 B.2 C.3 D.4變式訓(xùn)練【變2-1】.如圖,函數(shù)y=(x>0)和(x>0)的圖象分別是l1和l2.設(shè)點(diǎn)P在l2上,PA∥y軸交l1于點(diǎn)A,PB∥x軸交l1于點(diǎn)B,△PAB的面積為.【變2-2】.如圖,直線AB∥x軸,分別交反比例函數(shù)y=圖象于A、B兩點(diǎn),若S△AOB=2,則k2﹣k1的值為.【變2-3】.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,M為y軸正半軸上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M的直線l∥x軸,l分別與反比例函數(shù)y=和y=的圖象交于A、B兩點(diǎn),若S△AOB=3,則k的值為.考點(diǎn)3兩曲一平行模型模型講解】?jī)蓷l雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條(或兩條)坐標(biāo)軸平行,求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)圍成的圖形面積,過(guò)這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線,結(jié)合k的幾何意義求解.類型1兩條雙曲線的k值符號(hào)相同【示例】【例3】.如圖,四邊形OABC是矩形,四邊形ADEF是正方形,點(diǎn)A、D在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,點(diǎn)F在AB上,點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象上,正方形ADEF的面積為16,且BF=2AF,則k值為()A.﹣8 B.﹣12 C.﹣24 D.﹣36變式訓(xùn)練【變3-1】.若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在函數(shù)的圖象上.若正方形OABC的面積為1,則k的值為;點(diǎn)E的坐標(biāo)為.【變3-2】.如圖,A、B兩點(diǎn)在雙曲線y=上,分別經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線段,已知S陰影=1.7,則S1+S2等于.【變3-3】.如圖,在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上,有點(diǎn)P1,P2,P3,P4,…,它們的橫坐標(biāo)依次為1,2,3,4,….分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線,圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1,S2,S3,…,則S1+S2+S3+…+Sn=.(用n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù))考點(diǎn)4兩點(diǎn)一垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作垂線圍成的三角形面積等于|k|,反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)及坐標(biāo)軸上任一點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積,等于坐標(biāo)軸所分的兩個(gè)三角形面積之和.【示例】【例4】.如圖,正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=﹣相交于A,C兩點(diǎn),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于B點(diǎn),連接BC,下列結(jié)論:①k=﹣;②不等式kx<﹣的解集為﹣4<x<0或x>4;③△ABC的面積等于16.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3變式訓(xùn)練【變4-1】.如圖所示,一次函數(shù)y=kx(k<0)的圖象與反比例函數(shù)y=﹣的圖象交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C,連接AC,則△ABC的面積為.【變4-2】.如圖,過(guò)點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,連接BC,則△ABC的面積為.【變4-3】.如圖,函數(shù)y=x與y=的圖象交于A、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AC垂直于y軸,垂足為C,連接BC,若S△ABC=3,則k=.考點(diǎn)5兩點(diǎn)兩垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|.示例】【例5】.如圖,正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=﹣的圖象交于A,C兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D,則△ABD的面積為.變式訓(xùn)練【變5-1】.如圖,一次函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)上的圖象交于A,C兩點(diǎn),AB∥y軸,BC∥x軸,若△ABC的面積為4,則k=.【變5-2】.如圖,正比例函數(shù)y=kx(k>0)與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,C兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,交x軸于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線,交x軸于點(diǎn)D,連接AD,BC,則四邊形ABCD的面積為.【變5-3】.如圖,直線分別與反比例函數(shù)y=﹣和y=的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)P,且P為線段AB的中點(diǎn),作AC⊥x軸于點(diǎn)C,BD⊥x軸交于點(diǎn)D,則四邊形ABCD的面積是.考點(diǎn)6反比例函數(shù)上兩點(diǎn)和外一點(diǎn)模型【模型講解】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和原點(diǎn)所圍成的三角形面積,若兩交點(diǎn)在同一分支上,用減法.【示例】方法一:S△AOB=S△COD-S△AOC-S△BOD.方法二:作AE⊥x軸于點(diǎn)E,交OB于點(diǎn)M,BF⊥x軸于點(diǎn)F,則S△OAM=S四邊形MEFB(劃歸到模型一),則S△AOB=S直角梯形AEFB.【拓展】方法一:當(dāng)或=m時(shí),則S四邊形OFBE=m|k|.方法二:作EM⊥x軸于M,則S△OEF=S直角梯形EMAF(劃歸到上一個(gè)模型示例).【例6】.如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(diǎn),則S△AOB=()A. B. C. D.6變式訓(xùn)練【變6-1】.如圖,直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,且交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B,A,點(diǎn)C在x軸上,且.若S△BCA=12,則k的值為()A.12 B.﹣12 C.﹣6 D.6【變6-2】.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y=與直線y=交于A,B,x軸的正半軸上有一點(diǎn)C使得∠ACB=90°,若△OCD的面積為25,則k的值為.【變6-3】.如圖,正比例函數(shù)y=﹣x與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在x軸上,連接AC,BC.若∠ACB=90°,△ABC的面積為10,則該反比例函數(shù)的解析式是.考點(diǎn)7反比例函數(shù)上兩點(diǎn)和原點(diǎn)模型【模型講解】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和原點(diǎn)所圍成的三角形面積,若兩交點(diǎn)分別在兩個(gè)分支上,用加法.【示例】方法一:S△AOB=OD·|xB-xA|=OC·|yA-yB|.方法二:S△AOB=S△AOC+S△OCD+S△OBD.方法三:作AE⊥y軸于點(diǎn)E,BF⊥x軸于點(diǎn)F,延長(zhǎng)AE與BF相交于點(diǎn)N,則S△AOB=S△ABN-S△AOE-S△OBF-S矩形OENF.【例7】.如圖,直線AB交雙曲線于A、B,交x軸于點(diǎn)C,B為線段AC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于M,連接OA.若OM=2MC,S△OAC=12.則k的值為.變式訓(xùn)練【變7-1】.如圖,在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上,反比例函數(shù)y=(x>0)與AB相交于點(diǎn)D,與BC相交于點(diǎn)E,若BD=3AD,且四邊形ODBE的面積為21,則k=.【變7-2】.如圖,點(diǎn)是直線AB與反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn),AC⊥x軸,垂足為點(diǎn)C,已知D(0,1),連接AD,BD,BC.(1)求反比例函數(shù)和直線AB的解析式;(2)△ABC和△ABD的面積分別為S1,S2,求S2﹣S1.考點(diǎn)8兩雙曲線k值符號(hào)不同模型模型講解】?jī)蓷l雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條(或兩條)坐標(biāo)軸平行,求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)圍成的圖形面積,過(guò)這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線,結(jié)合k的幾何意義求解.類型1兩條雙曲線的k值符號(hào)相同【示例】【例8】.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=kx與的圖象交于A、B兩點(diǎn),過(guò)A作y軸的垂線,交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C,連接BC,則△ABC的面積為()A.2 B.3 C.5 D.6變式訓(xùn)練【變8-1】.如圖,過(guò)x軸正半軸上的任意一點(diǎn)P,作y軸的平行線,分別與反比例函數(shù)y=(x>0)和y=﹣(x>0)的圖象交于B、A兩點(diǎn).若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn),則△ABC的面積為()A.3 B.6 C.9 D.【變8-2】.如圖,點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是反比例函數(shù)y=(x>0)和y=(x>0)的圖象上的點(diǎn),AB⊥x軸,點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn),若S△ABC=2,則m﹣n的值為.1.如圖,Rt△ABC的頂點(diǎn)A在雙曲線y=的圖象上,直角邊BC在x軸上,∠ABC=90°,∠ACB=30°,OC=4,連接OA,∠AOB=60°,則k的值是()A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣22.如圖,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)B,C在第一象限,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn),反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)C,D兩點(diǎn),若∠COA=α,則k的值等于()A.8sin2α B.8cos2α C.4tanα D.2tanα3.如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,B分別在x軸和y軸,=.∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點(diǎn)C,與AB交于點(diǎn)D,反比例函數(shù)y=的圖象過(guò)點(diǎn)C.當(dāng)以CD為邊的正方形的面積為時(shí),k的值是()A.2 B.3 C.5 D.74.如圖,已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上,第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上,且OA⊥OB,cosA=,則k的值為()A.﹣3 B.﹣4 C.﹣ D.﹣25.如圖,反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,1),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸,垂足為B,在y軸的正半軸上取一點(diǎn)P(0,t),過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l,以直線l為對(duì)稱軸,點(diǎn)B經(jīng)軸對(duì)稱變換得到的點(diǎn)B′在此反比例函數(shù)的圖象上,則t的值是()A. B. C. D.6.如圖,菱形OABC的頂點(diǎn)B在y軸上,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣3,2),若反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,則k的值為()A.﹣6 B.﹣3 C.3 D.67.如圖,直線y=與雙曲線y=(k>0,x>0)交于點(diǎn)A,將直線y=向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后,與y軸交于點(diǎn)C,與雙曲線y=(k>0,x>0)交于點(diǎn)B,若OA=3BC,則k的值為()A.3 B.6 C. D.8.如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,BC=2AB.A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(﹣1,0),(0,2),C,D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=(k<0)的圖象上,則k等于.9.如圖,點(diǎn)E,F(xiàn)在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,直線EF分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A,B,且BE:BF=1:m.過(guò)點(diǎn)E作EP⊥y軸于P,已知△OEP的面積為1,則k值是,△OEF的面積是(用含m的式子表示)10.如圖,在Rt△OAB中,OA=4,AB=5,點(diǎn)C在OA上,AC=1,⊙P的圓心P在線段BC上,且⊙P與邊AB,AO都相切.若反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)圓心P,則k=.11.如圖,OABC是平行四邊形,對(duì)角線OB在軸正半軸上,位于第一象限的點(diǎn)A和第二象限的點(diǎn)C分別在雙曲線y=和y=的一支上,分別過(guò)點(diǎn)A、C作x軸的垂線,垂足分別為M和N,則有以下的結(jié)論:①=;②陰影部分面積是(k1+k2);③當(dāng)∠AOC=90°時(shí),|k1|=|k2|;④若OABC是菱形,則兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱,也關(guān)于y軸對(duì)稱.其中正確的結(jié)論是(把所有正確的結(jié)論的序號(hào)都填上).12.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:y=﹣x﹣1,雙曲線y=,在l上取一點(diǎn)A1,過(guò)A1作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B1,過(guò)B1作y軸的垂線交l于點(diǎn)A2,請(qǐng)繼續(xù)操作并探究:過(guò)A2作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B2,過(guò)B2作y軸的垂線交l于點(diǎn)A3,…,這樣依次得到l上的點(diǎn)A1,A2,A3,…,An,…記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an,若a1=2,則a2=,a2013=;若要將上述操作無(wú)限次地進(jìn)行下去,則a1不可能取的值是.13.如圖,一次函數(shù)y=x+1的圖象與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(a,3),與y軸交于點(diǎn)B.(1)求a,k的值;(2)直線CD過(guò)點(diǎn)A,與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D,AC=AD,連接CB.①求△ABC的面積;②點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)Q在x軸上,若以點(diǎn)A,B,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo).14.在平面直角坐標(biāo)系中,已知一次函數(shù)y1=k1x+b與坐標(biāo)軸分別交于A(5,0),B(0,)兩點(diǎn),且與反比例函數(shù)y2=的圖象在第一象限內(nèi)交于P,K兩點(diǎn),連接OP,△OAP的面積為.(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式.(2)當(dāng)y2>y1時(shí),求x的取值范圍.(3)若C為線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PC+KC最小時(shí),求△PKC的面積.15.如圖,一次函數(shù)y=x+1與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A(m,2),B兩點(diǎn),分別連接OA,OB.(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式;(2)求△AOB的面積;(3)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)O,B,A,P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.16.已知A(3,0)、B(0,4)是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn),連接AB.(1)如圖①,點(diǎn)P在線段AB上,以點(diǎn)P為圓心的圓與兩條坐標(biāo)軸都相切,求過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)表達(dá)式;(2)如圖②,點(diǎn)N是線段OB上一點(diǎn),連接AN,將△AON沿AN翻折,使得點(diǎn)O與線段AB上的點(diǎn)M重合,求經(jīng)過(guò)A、N兩點(diǎn)的一次函數(shù)表達(dá)式.17.小華同學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)后,對(duì)函數(shù)通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線,畫出了如圖1所示的圖象.x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣﹣﹣01234…y…12410﹣4﹣2﹣﹣1…請(qǐng)根據(jù)圖象解答:(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】①寫出函數(shù)的兩條性質(zhì):;;②若函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)滿足x1+x2=0,則y1+y2=0一定成立嗎?.(填“一定”或“不一定”)(2)【延伸探究】如圖2,將過(guò)A(﹣1,4),B(4,﹣1)兩點(diǎn)的直線向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到直線l與函數(shù)y=﹣(x≤﹣1)的圖象交于點(diǎn)P,連接PA,PB.①求當(dāng)n=3時(shí),直線l的解析式和△PAB的面積;②直接用含n的代數(shù)式表示△PAB的面積.
模型介紹模型介紹考點(diǎn)1一點(diǎn)一垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的垂線、另一坐標(biāo)軸上一點(diǎn)(含原點(diǎn))圍成的三角形面積等于|k|.【示例】拓展:【例1】.如圖,已知?jiǎng)狱c(diǎn)A,B分別在x軸,y軸正半軸上,動(dòng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上,PA⊥x軸,△PAB是以PA為底邊的等腰三角形.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí),△PAB的面積將會(huì)()A.越來(lái)越小 B.越來(lái)越大 C.不變 D.先變大后變小解:如圖,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥PA于點(diǎn)C,則BC=OA,設(shè)點(diǎn)P(x,),則S△PAB=PA?BC=??x=3,當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí),△PAB的面積將會(huì)不變,始終等于3,故選:C.變式訓(xùn)練【變1-1】.如圖,點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖象上,過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線,垂足分別是M、N,射線AB交x軸于點(diǎn)C,若OM=MN=NC,四邊形AMNB的面積是4,則k的值為﹣.解:設(shè)OM=a,則OM=MN=NC=a,∵點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y=的圖象上,AM⊥OC、BN⊥OC,∴AM=,BN=,∵S△AOC=S△AOM+S四邊形AMNB+S△BNC,∴﹣×3a×=﹣k+4﹣×a×,解得k=﹣,故答案為:﹣.【變1-2】.如圖,在第一象限內(nèi),點(diǎn)P(2,3),M(a,2)是雙曲線y=(k≠0)上的兩點(diǎn),PA⊥x軸于點(diǎn)A,MB⊥x軸于點(diǎn)B,PA與OM交于點(diǎn)C,則△OAC的面積為()A. B. C.2 D.解:把P(2,3),M(a,2)代入y=得k=2×3=2a,解得k=6,a=3,設(shè)直線OM的解析式為y=mx,把M(3,2)代入得3m=2,解得m=,所以直線OM的解析式為y=x,當(dāng)x=2時(shí),y=×2=,所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,),所以△OAC的面積=×2×=.故選:B.考點(diǎn)2一點(diǎn)兩垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)軸的兩條垂線所圍成的矩形面積等于|k|.【示例】【例2】.雙曲線與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點(diǎn),連接OA、OB,則△AOB的面積為()A.1 B.2 C.3 D.4解:設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C.∵AB∥y軸,∴AC⊥x軸,BC⊥x軸.∵點(diǎn)A在雙曲線y=的圖象上,∴△AOC的面積=×10=5.∵點(diǎn)B在雙曲線y=的圖象上,∴△COB的面積=×6=3.∴△AOB的面積=△AOC的面積﹣△COB的面積=5﹣3=2.故選:B.變式訓(xùn)練【變2-1】.如圖,函數(shù)y=(x>0)和(x>0)的圖象分別是l1和l2.設(shè)點(diǎn)P在l2上,PA∥y軸交l1于點(diǎn)A,PB∥x軸交l1于點(diǎn)B,△PAB的面積為.解:設(shè)點(diǎn)P(x,),則點(diǎn)B(,),A(x,),∴BP=x﹣=,AP=﹣=,∴S△ABP==,故答案為:.【變2-2】.如圖,直線AB∥x軸,分別交反比例函數(shù)y=圖象于A、B兩點(diǎn),若S△AOB=2,則k2﹣k1的值為4.解:設(shè)A(a,b),B(c,d),代入得:k1=ab,k2=cd,∵S△AOB=2,∴cd﹣ab=2,∴cd﹣ab=4,∴k2﹣k1=4,故答案為:4.【變2-3】.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,M為y軸正半軸上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M的直線l∥x軸,l分別與反比例函數(shù)y=和y=的圖象交于A、B兩點(diǎn),若S△AOB=3,則k的值為﹣2.解:∵直線l∥x軸,∴AM⊥y軸,BM⊥y軸,∴S△AOM=|k|,S△BOM=×4=2,∵S△AOB=3,∴S△AOM=1,∴|k|=2,∵k<0,∴k=﹣2,故答案為:﹣2.考點(diǎn)3兩曲一平行模型模型講解】?jī)蓷l雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條(或兩條)坐標(biāo)軸平行,求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)圍成的圖形面積,過(guò)這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線,結(jié)合k的幾何意義求解.類型1兩條雙曲線的k值符號(hào)相同【示例】【例3】.如圖,四邊形OABC是矩形,四邊形ADEF是正方形,點(diǎn)A、D在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,點(diǎn)F在AB上,點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象上,正方形ADEF的面積為16,且BF=2AF,則k值為()A.﹣8 B.﹣12 C.﹣24 D.﹣36解:設(shè)A(x,0).∵正方形ADEF的面積為16,∴ADEF的邊長(zhǎng)為4,∴E(x﹣4,4),∵BF=2AF,∴BF=2×4=8,∴B(x,12).∵點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象上,∴4(x﹣4)=12x,解得x=﹣2,∴B(﹣2,12),∴k=﹣2×12=﹣24,故選:C.變式訓(xùn)練【變3-1】.若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在函數(shù)的圖象上.若正方形OABC的面積為1,則k的值為1;點(diǎn)E的坐標(biāo)為(+,﹣).解:∵正方形OABC和正方形AEDF各有一個(gè)頂點(diǎn)在一反比例函數(shù)圖象上,且正方形OABC的邊長(zhǎng)為1.∴B點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,1),設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=;∴xy=k=1,設(shè)正方形ADEF的邊長(zhǎng)為a,則E(1+a,a),代入反比例函數(shù)y=(x>0)得:1=(1+a)a,又a>0,解得:a=﹣.∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(+,﹣).【變3-2】.如圖,A、B兩點(diǎn)在雙曲線y=上,分別經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線段,已知S陰影=1.7,則S1+S2等于4.6.解:如圖,∵A、B兩點(diǎn)在雙曲線y=上,∴S四邊形AEOF=4,S四邊形BDOC=4,∴S1+S2=S四邊形AEOF+S四邊形BDOC﹣2×S陰影,∴S1+S2=8﹣3.4=4.6故答案為:4.6.【變3-3】.如圖,在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上,有點(diǎn)P1,P2,P3,P4,…,它們的橫坐標(biāo)依次為1,2,3,4,….分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線,圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1,S2,S3,…,則S1+S2+S3+…+Sn=.(用n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù))解:當(dāng)x=1時(shí),P1的縱坐標(biāo)為2,當(dāng)x=2時(shí),P2的縱坐標(biāo)1,當(dāng)x=3時(shí),P3的縱坐標(biāo),當(dāng)x=4時(shí),P4的縱坐標(biāo),當(dāng)x=5時(shí),P5的縱坐標(biāo),…則S1=1×(2﹣1)=2﹣1;S2=1×(1﹣)=1﹣;S3=1×(﹣)=﹣;S4=1×(﹣)=﹣;…Sn=﹣;S1+S2+S3+…+Sn=2﹣1+1﹣+﹣+﹣+…+﹣=2﹣=.故答案為:.考點(diǎn)4兩點(diǎn)一垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作垂線圍成的三角形面積等于|k|,反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)及坐標(biāo)軸上任一點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積,等于坐標(biāo)軸所分的兩個(gè)三角形面積之和.【示例】【例4】.如圖,正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=﹣相交于A,C兩點(diǎn),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于B點(diǎn),連接BC,下列結(jié)論:①k=﹣;②不等式kx<﹣的解集為﹣4<x<0或x>4;③△ABC的面積等于16.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3解:將x=﹣4代入y=﹣得y=﹣=2,∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣4,2),將(﹣4,2)代入y=kx得2=﹣4k,解得k=﹣,∴①正確.由反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,﹣2),∴當(dāng)﹣4<x<0或x>4時(shí),kx<﹣,∴②正確.∵S△AOC=S△AOB+S△BOC=OB?yA+OB?(﹣yC)=BO(yA﹣yC)=×(2+2)=8,∴③錯(cuò)誤.故選:C.變式訓(xùn)練【變4-1】.如圖所示,一次函數(shù)y=kx(k<0)的圖象與反比例函數(shù)y=﹣的圖象交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C,連接AC,則△ABC的面積為4.解:∵BC⊥y軸于點(diǎn)C,∴S△COB=|﹣4|=2,∵正比例函數(shù)y=kx(k>0)與反比例函數(shù)y=﹣的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴OA=OB,∴S△AOC=S△COB=2,∴S△ABC=S△AOB+S△BOC=2+2=4,故答案為:4.【變4-2】.如圖,過(guò)點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,連接BC,則△ABC的面積為.解:∵點(diǎn)A反比例函數(shù)y=的圖象上,過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,∴S△AOC=|k|=,∵過(guò)點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點(diǎn),∴OA=OB,∴S△BOC=S△AOC=∴S△ABC=2S△ACO=,故答案為:.【變4-3】.如圖,函數(shù)y=x與y=的圖象交于A、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AC垂直于y軸,垂足為C,連接BC,若S△ABC=3,則k=3.解:設(shè)A(a,a)(a>0),∵函數(shù)y=x與y=的圖象的中心對(duì)稱性,∴B(﹣a,﹣a),∴S△ABC=?a?2a=a2=3,∴a=,∴A(,),把A(,)代入y=得k==3.故答案為:3.考點(diǎn)5兩點(diǎn)兩垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|.示例】【例5】.如圖,正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=﹣的圖象交于A,C兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D,則△ABD的面積為4.解:∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=﹣上,且AB⊥x軸,∴=2,∵A,C是反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn),且CD⊥x軸,∴O是BD的中點(diǎn),∴S△ABD=2S△ABO=4.故答案為:4.變式訓(xùn)練【變5-1】.如圖,一次函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)上的圖象交于A,C兩點(diǎn),AB∥y軸,BC∥x軸,若△ABC的面積為4,則k=﹣2.解:設(shè)AB交x軸于點(diǎn)D,由反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得S△ADO的面積為,由函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)O為AC中點(diǎn),即DO為△ABC中位線,∴=,∴S△ABC=4S△ADO=2|k|=4,∵k<0,∴k=﹣2.故答案為:﹣2.【變5-2】.如圖,正比例函數(shù)y=kx(k>0)與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,C兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,交x軸于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線,交x軸于點(diǎn)D,連接AD,BC,則四邊形ABCD的面積為2.解:∵A、C是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn),∴A、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∵CD⊥x軸,AB⊥x軸,∴OA=OC,OB=OD,∴S△AOB=S△BOC=S△DOC=S△AOD,又∵A點(diǎn)在反比例函數(shù)y=的圖象上,∴S△AOB=S△BOC=S△DOC=S△AOD×1=,∴S四邊形ABCD=4S△AOB=4×=2,故答案為:2.【變5-3】.如圖,直線分別與反比例函數(shù)y=﹣和y=的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)P,且P為線段AB的中點(diǎn),作AC⊥x軸于點(diǎn)C,BD⊥x軸交于點(diǎn)D,則四邊形ABCD的面積是5.解:過(guò)點(diǎn)A作AF⊥y軸,垂足于點(diǎn)F;過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸,垂足為點(diǎn)E.∵點(diǎn)P是AB中點(diǎn).∴PA=PB.又∵∠APF=∠BPE,∠AFP=∠BEP=90°,∴△APF≌△BPE.∴S△APF=S△BPE.∴S四邊形ABCD=S四邊形ACOF+S四邊形EODB=|﹣2|+|3|=5.故答案為:5.考點(diǎn)6反比例函數(shù)上兩點(diǎn)和外一點(diǎn)模型【模型講解】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和原點(diǎn)所圍成的三角形面積,若兩交點(diǎn)在同一分支上,用減法.【示例】方法一:S△AOB=S△COD-S△AOC-S△BOD.方法二:作AE⊥x軸于點(diǎn)E,交OB于點(diǎn)M,BF⊥x軸于點(diǎn)F,則S△OAM=S四邊形MEFB(劃歸到模型一),則S△AOB=S直角梯形AEFB.【拓展】方法一:當(dāng)或=m時(shí),則S四邊形OFBE=m|k|.方法二:作EM⊥x軸于M,則S△OEF=S直角梯形EMAF(劃歸到上一個(gè)模型示例).【例6】.如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(diǎn),則S△AOB=()A. B. C. D.6解:把A(﹣4,1)代入y=的得:k=﹣4,∴反比例函數(shù)的解析式是y=﹣,∵B(1,m)代入反比例函數(shù)y=﹣得:m=﹣4,∴B的坐標(biāo)是(1,﹣4),把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=ax+b得:,解得:a=﹣1,b=﹣3,∴一次函數(shù)的解析式是y=﹣x﹣3;把x=0代入一次函數(shù)的解析式是y=﹣x﹣3得:y=﹣3,∴D(0,﹣3),∴S△AOB=SAOD+S△BOD=×3×(1+4)=.故選:A.變式訓(xùn)練【變6-1】.如圖,直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,且交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B,A,點(diǎn)C在x軸上,且.若S△BCA=12,則k的值為()A.12 B.﹣12 C.﹣6 D.6解:作AD⊥x軸于D,BE⊥x軸于E,∵點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖象上,直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn),∴OA=OB=AB,∵,S△BCA=12,∴OB=BC,S△BCO=S△BCA=6,∵BE⊥OC,∴OE=CE,∴S△OBE=S△BCO=3,∵BE⊥x軸于E,∴S△OBE=|k|,∴|k|=6,∵k<0,∴k=﹣6.故選:C.【變6-2】.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y=與直線y=交于A,B,x軸的正半軸上有一點(diǎn)C使得∠ACB=90°,若△OCD的面積為25,則k的值為48.解:設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(3a,4a),由反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣3a,﹣4a),∴OA=OB==5a,∵∠ACB=90°,O為AB中點(diǎn),∴OC=OA=OB=5a,設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,將(﹣3a,﹣4a),(5a,0)代入y=kx+b得,解得,∴y=x﹣a,∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,﹣a),∴S△OCD=OC?OD=5a×a=25,解得a=2或a=﹣2(舍),∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(6,8),∴k=6×8=48.故答案為:48.【變6-3】.如圖,正比例函數(shù)y=﹣x與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在x軸上,連接AC,BC.若∠ACB=90°,△ABC的面積為10,則該反比例函數(shù)的解析式是y=﹣.解:設(shè)點(diǎn)A為(a,﹣a),則OA==﹣a,∵點(diǎn)C為x軸上一點(diǎn),∠ACB=90°,且△ACB的面積為20,∴OA=OB=OC=﹣a,∴S△ACB=×OC×(yA+|yB|)=×(﹣a)×(﹣a)=10,解得,a=±(舍棄正值),∴點(diǎn)A為(﹣,2),∴k=﹣×2=﹣6,∴反比例函數(shù)的解析式是y=﹣,故答案為:y=﹣.考點(diǎn)7反比例函數(shù)上兩點(diǎn)和原點(diǎn)模型【模型講解】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和原點(diǎn)所圍成的三角形面積,若兩交點(diǎn)分別在兩個(gè)分支上,用加法.【示例】方法一:S△AOB=OD·|xB-xA|=OC·|yA-yB|.方法二:S△AOB=S△AOC+S△OCD+S△OBD.方法三:作AE⊥y軸于點(diǎn)E,BF⊥x軸于點(diǎn)F,延長(zhǎng)AE與BF相交于點(diǎn)N,則S△AOB=S△ABN-S△AOE-S△OBF-S矩形OENF.【例7】.如圖,直線AB交雙曲線于A、B,交x軸于點(diǎn)C,B為線段AC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于M,連接OA.若OM=2MC,S△OAC=12.則k的值為8.解:過(guò)A作AN⊥OC于N,∵BM⊥OC∴AN∥BM,∵,B為AC中點(diǎn),∴MN=MC,∵OM=2MC,∴ON=MN=CM,設(shè)A的坐標(biāo)是(a,b),則B(2a,b),∵S△OAC=12.∴?3a?b=12,∴ab=8,∴k=ab=8,故答案為:8.變式訓(xùn)練【變7-1】.如圖,在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上,反比例函數(shù)y=(x>0)與AB相交于點(diǎn)D,與BC相交于點(diǎn)E,若BD=3AD,且四邊形ODBE的面積為21,則k=7.解:設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,則其縱坐標(biāo)為,∵BD=3AD,∴點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4x,),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4x,0)∵S四邊形ODBE=21,∴S矩形ABCD﹣S△OCE﹣S△OAD=21,即:4x?﹣﹣=21解得:k=7.故答案為:7.【變7-2】.如圖,點(diǎn)是直線AB與反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn),AC⊥x軸,垂足為點(diǎn)C,已知D(0,1),連接AD,BD,BC.(1)求反比例函數(shù)和直線AB的解析式;(2)△ABC和△ABD的面積分別為S1,S2,求S2﹣S1.解:(1)由點(diǎn)A(,4)在反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上,∴n=×4=6,∴反比例函數(shù)的解析式為y=(x>0),將點(diǎn)B(3,m)代入y=(x>0)并解得m=2,∴B(3,2),設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b,∴,解得,∴直線AB的表達(dá)式為y=﹣x+6;(2)由點(diǎn)A坐標(biāo)得AC=4,則點(diǎn)B到AC的距離為3﹣=,∴S1==3,設(shè)AB與y軸的交點(diǎn)為E,則點(diǎn)E(0,6),如圖:∴DE=6﹣1=5,由點(diǎn)A(,4),B(3,2)知,點(diǎn)A,B到DE的距離分別為,3,∴S2=S△BDE﹣S△AED=﹣=,∴S2﹣S1=﹣3=.考點(diǎn)8兩雙曲線k值符號(hào)不同模型模型講解】?jī)蓷l雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條(或兩條)坐標(biāo)軸平行,求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)圍成的圖形面積,過(guò)這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線,結(jié)合k的幾何意義求解.類型1兩條雙曲線的k值符號(hào)相同【示例】【例8】.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=kx與的圖象交于A、B兩點(diǎn),過(guò)A作y軸的垂線,交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C,連接BC,則△ABC的面積為()A.2 B.3 C.5 D.6解:∵正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=﹣的圖象交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,﹣),則B點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣x,),C(﹣2x,﹣),∴S△ABC=×(﹣2x﹣x)?(﹣﹣)=×(﹣3x)?(﹣)=6.故選:D.變式訓(xùn)練【變8-1】.如圖,過(guò)x軸正半軸上的任意一點(diǎn)P,作y軸的平行線,分別與反比例函數(shù)y=(x>0)和y=﹣(x>0)的圖象交于B、A兩點(diǎn).若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn),則△ABC的面積為()A.3 B.6 C.9 D.解:設(shè)P(a,0),a>0,則A和B的橫坐標(biāo)都為a,將x=a代入反比例函數(shù)y=﹣中得:y=﹣,故A(a,﹣);將x=a代入反比例函數(shù)y=中得:y=,故B(a,),∴AB=AP+BP=+=,則S△ABC=AB?xP的橫坐標(biāo)=××a=,故選:D.【變8-2】.如圖,點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是反比例函數(shù)y=(x>0)和y=(x>0)的圖象上的點(diǎn),AB⊥x軸,點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn),若S△ABC=2,則m﹣n的值為4.解:連接AO.CO,∵AB⊥x軸,點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn),∴AB∥y軸,∴S△ABC=S△ABO=2,∴=2.∴=2,即m﹣n=4.故答案為:4.1.如圖,Rt△ABC的頂點(diǎn)A在雙曲線y=的圖象上,直角邊BC在x軸上,∠ABC=90°,∠ACB=30°,OC=4,連接OA,∠AOB=60°,則k的值是()A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2解:∵∠ACB=30°,∠AOB=60°,∴∠OAC=∠AOB﹣∠ACB=30°,∴∠OAC=∠ACO,∴OA=OC=4,在△AOB中,∠ABC=90°,∠AOB=60°,OA=4,∴∠OAB=30°,∴OB=OA=2,∴AB=OB=2,∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,2),把A(﹣2,2)代入y=得k=﹣2×2=﹣4.故選:B.2.如圖,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)B,C在第一象限,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn),反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)C,D兩點(diǎn),若∠COA=α,則k的值等于()A.8sin2α B.8cos2α C.4tanα D.2tanα解:方法一:過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OA交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為:a,則:CE=a?tanα,∴C點(diǎn)坐標(biāo)為:(a,a?tanα),∵平行四邊形OABC中,點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn),∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為:a?tanα,設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為x,∵C,D都在反比例函數(shù)圖象上,∴a×a?tanα=x×a?tanα,解得:x=2a,則FO=2a,∴FE=a,∵∠COE=∠DAF,∠CEO=∠DFA,∴△COE∽△DAF,∴==2,∴AF=,∴AO=OF﹣AF=a,∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),∴AO=3,∴a=3,解得:a=2,∴k=a×a?tanα=2×2tanα=4tanα.方法二:∵C(a,atanα),A(3,0),∴B(a+3,atanα),∵D是線段AB中點(diǎn),∴D(,atanα),即D(,atanα).∵反比例函數(shù)過(guò)C,D兩點(diǎn),∴k=a?atanα=(a+6)?atanα,解得a=2,∴k=4tanα.故選:C.3.如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,B分別在x軸和y軸,=.∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點(diǎn)C,與AB交于點(diǎn)D,反比例函數(shù)y=的圖象過(guò)點(diǎn)C.當(dāng)以CD為邊的正方形的面積為時(shí),k的值是()A.2 B.3 C.5 D.7解:設(shè)OA=3a,則OB=4a,∴A(3a,0),B(0,4a).設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,則根據(jù)題意得:,解得:,則直線AB的解析式是y=﹣x+4a,直線CD是∠AOB的平分線,則OD的解析式是y=x.根據(jù)題意得:,解得:則D的坐標(biāo)是(,),OA的中垂線的解析式是x=,則C的坐標(biāo)是(,),將C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=,則k=.設(shè)OA的垂直平分線交x軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E,如圖,則OF=CF=,OE=DE=a,∵∠DOA=45°,∴△COF和△DOE為等腰直角三角形,∴OC=OF=a,OD=OE=a,∴CD=OD﹣OC=()=(﹣)=a.∵以CD為邊的正方形的面積為,∴=,則a2=,∴k=×=7.故選:D.4.如圖,已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上,第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上,且OA⊥OB,cosA=,則k的值為()A.﹣3 B.﹣4 C.﹣ D.﹣2解:過(guò)A作AE⊥x軸,過(guò)B作BF⊥x軸,∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠BOF+∠EOA=90°,∵∠BOF+∠FBO=90°,∴∠EOA=∠FBO,∵∠BFO=∠OEA=90°,∴△BFO∽△OEA,在Rt△AOB中,cos∠BAO==,設(shè)AB=,則OA=1,根據(jù)勾股定理得:BO=,∴OB:OA=:1,∴S△BFO:S△OEA=2:1,∵A在反比例函數(shù)y=上,∴S△OEA=1,∴S△BFO=2,則k=﹣4.故選:B.5.如圖,反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,1),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸,垂足為B,在y軸的正半軸上取一點(diǎn)P(0,t),過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l,以直線l為對(duì)稱軸,點(diǎn)B經(jīng)軸對(duì)稱變換得到的點(diǎn)B′在此反比例函數(shù)的圖象上,則t的值是()A. B. C. D.解:如圖,∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣1,1),∴k=﹣1×1=﹣1,∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣,∵OB=AB=1,∴△OAB為等腰直角三角形,∴∠AOB=45°,∵PQ⊥OA,∴∠OPQ=45°,∵點(diǎn)B和點(diǎn)B′關(guān)于直線l對(duì)稱,∴PB=PB′,BB′⊥PQ,∴∠B′PQ=∠OPQ=45°,∠B′PB=90°,∴B′P⊥y軸,∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(﹣,t),∵PB=PB′,∴t﹣1=|﹣|=,整理得t2﹣t﹣1=0,解得t1=,t2=(不符合題意,舍去),∴t的值為.故選:A.6.如圖,菱形OABC的頂點(diǎn)B在y軸上,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣3,2),若反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,則k的值為()A.﹣6 B.﹣3 C.3 D.6解:∵A與C關(guān)于OB對(duì)稱,∴A的坐標(biāo)是(3,2).把(3,2)代入y=得:2=,解得:k=6.故選:D.7.如圖,直線y=與雙曲線y=(k>0,x>0)交于點(diǎn)A,將直線y=向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后,與y軸交于點(diǎn)C,與雙曲線y=(k>0,x>0)交于點(diǎn)B,若OA=3BC,則k的值為()A.3 B.6 C. D.解:∵將直線y=向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后,與y軸交于點(diǎn)C,∴平移后直線的解析式為y=x+4,分別過(guò)點(diǎn)A、B作AD⊥x軸,BE⊥x軸,CF⊥BE于點(diǎn)F,設(shè)A(3x,x),∵OA=3BC,BC∥OA,CF∥x軸,∴△BCF∽△AOD,∴CF=OD,∵點(diǎn)B在直線y=x+4上,∴B(x,x+4),∵點(diǎn)A、B在雙曲線y=上,∴3x?x=x?(x+4),解得x=1,∴k=3×1××1=.故選:D.8.如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,BC=2AB.A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(﹣1,0),(0,2),C,D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=(k<0)的圖象上,則k等于﹣12.解:設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(a,),(k<0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AC與BD的中點(diǎn)坐標(biāo)相同,∴(,)=(,),則x=a﹣1,y=,代入y=,可得:k=2a﹣2a2①;在Rt△AOB中,AB==,∴BC=2AB=2,故BC2=(0﹣a)2+(﹣2)2=(2)2,整理得:a4+k2﹣4ka=16a2,將①k=2a﹣2a2,代入后化簡(jiǎn)可得:a2=4,∵a<0,∴a=﹣2,∴k=﹣4﹣8=﹣12.故答案為:﹣12.方法二:因?yàn)锳BCD是平行四邊形,所以點(diǎn)C、D是點(diǎn)B、A分別向左平移a,向上平移b得到的.故設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)是(﹣a,2+b),點(diǎn)D坐標(biāo)是(﹣1﹣a,b),(a>0,b>0),∴﹣a(2+b)=b(﹣1﹣a),整理得2a+ab=b+ab,解得b=2a.過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線,交x軸于H點(diǎn),在直角三角形ADH中,由已知易得AD=2,AH=a,DH=b=2a.AD2=AH2+DH2,即20=a2+4a2,得a=2.所以D坐標(biāo)是(﹣3,4)所以k=﹣12.9.如圖,點(diǎn)E,F(xiàn)在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,直線EF分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A,B,且BE:BF=1:m.過(guò)點(diǎn)E作EP⊥y軸于P,已知△OEP的面積為1,則k值是2,△OEF的面積是(用含m的式子表示)解:作EC⊥x軸于C,F(xiàn)D⊥x軸于D,F(xiàn)H⊥y軸于H,如圖,∵△OEP的面積為1,∴|k|=1,而k>0,∴k=2,∴反比例函數(shù)解析式為y=,∵EP⊥y軸,F(xiàn)H⊥y軸,∴EP∥FH,∴△BPE∽△BHF,∴==,即HF=mPE,設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(t,),則F點(diǎn)的坐標(biāo)為(tm,),∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF,而S△OFD=S△OEC=1,∴S△OEF=S梯形ECDF=(+)(tm﹣t)=(+1)(m﹣1)=.故答案為:2,.10.如圖,在Rt△OAB中,OA=4,AB=5,點(diǎn)C在OA上,AC=1,⊙P的圓心P在線段BC上,且⊙P與邊AB,AO都相切.若反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)圓心P,則k=.解:設(shè)⊙P與邊AB,AO分別相切于點(diǎn)E、D,連接PE、PD、PA,如圖所示.則有PD⊥OA,PE⊥AB.設(shè)⊙P的半徑為r,∵AB=5,AC=1,∴S△APB=AB?PE=r,S△APC=AC?PD=r.∵∠AOB=90°,OA=4,AB=5,∴OB=3.∴S△ABC=AC?OB=×1×3=.∵S△ABC=S△APB+S△APC,∴=r+r.∴r=.∴PD=.∵PD⊥OA,∠AOB=90°,∴∠PDC=∠BOC=90°.∴PD∥BO.∴△PDC∽△BOC.∴=.∴PD?OC=CD?BO.∴×(4﹣1)=3CD.∴CD=.∴OD=OC﹣CD=3﹣=.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).∵反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)圓心P,∴k=×=.故答案為:.11.如圖,OABC是平行四邊形,對(duì)角線OB在軸正半軸上,位于第一象限的點(diǎn)A和第二象限的點(diǎn)C分別在雙曲線y=和y=的一支上,分別過(guò)點(diǎn)A、C作x軸的垂線,垂足分別為M和N,則有以下的結(jié)論:①=;②陰影部分面積是(k1+k2);③當(dāng)∠AOC=90°時(shí),|k1|=|k2|;④若OABC是菱形,則兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱,也關(guān)于y軸對(duì)稱.其中正確的結(jié)論是①④(把所有正確的結(jié)論的序號(hào)都填上).解:作AE⊥y軸于E,CF⊥y軸于F,如圖,∵四邊形OABC是平行四邊形,∴S△AOB=S△COB,∴AE=CF,∴OM=ON,∵S△AOM=|k1|=OM?AM,S△CON=|k2|=ON?CN,∴=,故①正確;∵S△AOM=|k1|,S△CON=|k2|,∴S陰影部分=S△AOM+S△CON=(|k1|+|k2|),而k1>0,k2<0,∴S陰影部分=(k1﹣k2),故②錯(cuò)誤;當(dāng)∠AOC=90°,∴四邊形OABC是矩形,∴不能確定OA與OC相等,而OM=ON,∴不能判斷△AOM≌△CNO,∴不能判斷AM=CN,∴不能確定|k1|=|k2|,故③錯(cuò)誤;若OABC是菱形,則OA=OC,而OM=ON,∴Rt△AOM≌Rt△CNO,∴AM=CN,∴|k1|=|k2|,∴k1=﹣k2,∴兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱,也關(guān)于y軸對(duì)稱,故④正確.故答案為:①④.12.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:y=﹣x﹣1,雙曲線y=,在l上取一點(diǎn)A1,過(guò)A1作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B1,過(guò)B1作y軸的垂線交l于點(diǎn)A2,請(qǐng)繼續(xù)操作并探究:過(guò)A2作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B2,過(guò)B2作y軸的垂線交l于點(diǎn)A3,…,這樣依次得到l上的點(diǎn)A1,A2,A3,…,An,…記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an,若a1=2,則a2=﹣,a2013=﹣;若要將上述操作無(wú)限次地進(jìn)行下去,則a1不可能取的值是0、﹣1.解:當(dāng)a1=2時(shí),B1的縱坐標(biāo)為,B1的縱坐標(biāo)和A2的縱坐標(biāo)相同,則A2的橫坐標(biāo)為a2=﹣,A2的橫坐標(biāo)和B2的橫坐標(biāo)相同,則B2的縱坐標(biāo)為b2=﹣,B2的縱坐標(biāo)和A3的縱坐標(biāo)相同,則A3的橫坐標(biāo)為a3=﹣,A3的橫坐標(biāo)和B3的橫坐標(biāo)相同,則B3的縱坐標(biāo)為b3=﹣3,B3的縱坐標(biāo)和A4的縱坐標(biāo)相同,則A4的橫坐標(biāo)為a4=2,A4的橫坐標(biāo)和B4的橫坐標(biāo)相同,則B4的縱坐標(biāo)為b4=,即當(dāng)a1=2時(shí),a2=﹣,a3=﹣,a4=2,a5=﹣,b1=,b2=﹣,b3=﹣3,b4=,b5=﹣,∵=671,∴a2013=a3=﹣;點(diǎn)A1不能在y軸上(此時(shí)找不到B1),即x≠0,點(diǎn)A1不能在x軸上(此時(shí)A2,在y軸上,找不到B2),即y=﹣x﹣1≠0,解得:x≠﹣1;綜上可得a1不可取0、﹣1.故答案為:﹣;﹣;0、﹣1.13.如圖,一次函數(shù)y=x+1的圖象與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(a,3),與y軸交于點(diǎn)B.(1)求a,k的值;(2)直線CD過(guò)點(diǎn)A,與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D,AC=AD,連接CB.①求△ABC的面積;②點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)Q在x軸上,若以點(diǎn)A,B,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo).解:(1)把x=a,y=3代入y=x+1得,,∴a=4,把x=4,y=3代入y=得,3=,∴k=12;(2)∵點(diǎn)A(4,3),D點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0,AD=AC,∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是3×2﹣0=6,把y=6代入y=得x=2,∴C(2,6),①如圖1,作CF⊥x軸于F,交AB于E,當(dāng)x=2時(shí),y==2,∴E(2,2),∵C(2,6),∴CE=6﹣2=4,∴xA==8;②如圖2,當(dāng)AB是對(duì)角線時(shí),即:四邊形APBQ是平行四邊形,∵A(4,3),B(0,1),點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為0,∴yP=1+3﹣0=4,當(dāng)y=4時(shí),4=,∴x=3,∴P(3,4),當(dāng)AB為邊時(shí),即:四邊形ABQP是平行四邊形(圖中的?ABQ′P′),由yQ′﹣yB=y(tǒng)P′﹣yA得,0﹣1=y(tǒng)P′﹣3,∴yP′=2,當(dāng)y=2時(shí),x
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