2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題64 反比例函數(shù)k的八種幾何模型及解法（含答案及解析）

模型介紹模型介紹考點(diǎn)1一點(diǎn)一垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的垂線、另一坐標(biāo)軸上一點(diǎn)（含原點(diǎn)）圍成的三角形面積等于|k|．【示例】拓展：【例1】．如圖，已知動點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸正半軸上，動點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，PA⊥x軸，△PAB是以PA為底邊的等腰三角形．當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大時，△PAB的面積將會（）A．越來越小 B．越來越大 C．不變 D．先變大后變小變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別是M、N，射線AB交x軸于點(diǎn)C，若OM＝MN＝NC，四邊形AMNB的面積是4，則k的值為．【變1-2】．如圖，在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P（2，3），M（a，2）是雙曲線y＝（k≠0）上的兩點(diǎn)，PA⊥x軸于點(diǎn)A，MB⊥x軸于點(diǎn)B，PA與OM交于點(diǎn)C，則△OAC的面積為（）A． B． C．2 D．考點(diǎn)2一點(diǎn)兩垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)軸的兩條垂線所圍成的矩形面積等于|k|．【示例】【例2】．雙曲線與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，則△AOB的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，函數(shù)y＝（x＞0）和（x＞0）的圖象分別是l1和l2．設(shè)點(diǎn)P在l2上，PA∥y軸交l1于點(diǎn)A，PB∥x軸交l1于點(diǎn)B，△PAB的面積為．【變2-2】．如圖，直線AB∥x軸，分別交反比例函數(shù)y＝圖象于A、B兩點(diǎn)，若S△AOB＝2，則k2﹣k1的值為．【變2-3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M為y軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l∥x軸，l分別與反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，若S△AOB＝3，則k的值為．考點(diǎn)3兩曲一平行模型模型講解】兩條雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條（或兩條）坐標(biāo)軸平行，求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)圍成的圖形面積，過這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，結(jié)合k的幾何意義求解．類型1兩條雙曲線的k值符號相同【示例】【例3】．如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)A、D在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，正方形ADEF的面積為16，且BF＝2AF，則k值為（）A．﹣8 B．﹣12 C．﹣24 D．﹣36變式訓(xùn)練【變3-1】．若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在函數(shù)的圖象上．若正方形OABC的面積為1，則k的值為；點(diǎn)E的坐標(biāo)為．【變3-2】．如圖，A、B兩點(diǎn)在雙曲線y＝上，分別經(jīng)過A、B兩點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線段，已知S陰影＝1.7，則S1+S2等于．【變3-3】．如圖，在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，有點(diǎn)P1，P2，P3，P4，…，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4，…．分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，…，則S1+S2+S3+…+Sn＝．（用n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）考點(diǎn)4兩點(diǎn)一垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作垂線圍成的三角形面積等于|k|，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)及坐標(biāo)軸上任一點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，等于坐標(biāo)軸所分的兩個三角形面積之和．【示例】【例4】．如圖，正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y＝﹣相交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4，過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于B點(diǎn)，連接BC，下列結(jié)論：①k＝﹣；②不等式kx＜﹣的解集為﹣4＜x＜0或x＞4；③△ABC的面積等于16．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3變式訓(xùn)練【變4-1】．如圖所示，一次函數(shù)y＝kx（k＜0）的圖象與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，連接AC，則△ABC的面積為．【變4-2】．如圖，過點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，連接BC，則△ABC的面積為．【變4-3】．如圖，函數(shù)y＝x與y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC垂直于y軸，垂足為C，連接BC，若S△ABC＝3，則k＝．考點(diǎn)5兩點(diǎn)兩垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|．示例】【例5】．如圖，正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則△ABD的面積為．變式訓(xùn)練【變5-1】．如圖，一次函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)上的圖象交于A，C兩點(diǎn)，AB∥y軸，BC∥x軸，若△ABC的面積為4，則k＝．【變5-2】．如圖，正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D，連接AD，BC，則四邊形ABCD的面積為．【變5-3】．如圖，直線分別與反比例函數(shù)y＝﹣和y＝的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)P，且P為線段AB的中點(diǎn)，作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸交于點(diǎn)D，則四邊形ABCD的面積是．考點(diǎn)6反比例函數(shù)上兩點(diǎn)和外一點(diǎn)模型【模型講解】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和原點(diǎn)所圍成的三角形面積，若兩交點(diǎn)在同一分支上，用減法．【示例】方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．方法二：作AE⊥x軸于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)M，BF⊥x軸于點(diǎn)F，則S△OAM＝S四邊形MEFB（劃歸到模型一），則S△AOB＝S直角梯形AEFB．【拓展】方法一：當(dāng)或＝m時，則S四邊形OFBE＝m|k|．方法二：作EM⊥x軸于M，則S△OEF＝S直角梯形EMAF（劃歸到上一個模型示例）．【例6】．如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)，則S△AOB＝（）A． B． C． D．6變式訓(xùn)練【變6-1】．如圖，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)O，且交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，A，點(diǎn)C在x軸上，且．若S△BCA＝12，則k的值為（）A．12 B．﹣12 C．﹣6 D．6【變6-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝與直線y＝交于A，B，x軸的正半軸上有一點(diǎn)C使得∠ACB＝90°，若△OCD的面積為25，則k的值為．【變6-3】．如圖，正比例函數(shù)y＝﹣x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，連接AC，BC．若∠ACB＝90°，△ABC的面積為10，則該反比例函數(shù)的解析式是．考點(diǎn)7反比例函數(shù)上兩點(diǎn)和原點(diǎn)模型【模型講解】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和原點(diǎn)所圍成的三角形面積，若兩交點(diǎn)分別在兩個分支上，用加法．【示例】方法一：S△AOB＝OD·|xB－xA|＝OC·|yA－yB|．方法二：S△AOB＝S△AOC＋S△OCD＋S△OBD．方法三：作AE⊥y軸于點(diǎn)E，BF⊥x軸于點(diǎn)F，延長AE與BF相交于點(diǎn)N，則S△AOB＝S△ABN－S△AOE－S△OBF－S矩形OENF．【例7】．如圖，直線AB交雙曲線于A、B，交x軸于點(diǎn)C，B為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于M，連接OA．若OM＝2MC，S△OAC＝12．則k的值為．變式訓(xùn)練【變7-1】．如圖，在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，若BD＝3AD，且四邊形ODBE的面積為21，則k＝．【變7-2】．如圖，點(diǎn)是直線AB與反比例函數(shù)圖象的兩個交點(diǎn)，AC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，已知D（0，1），連接AD，BD，BC．（1）求反比例函數(shù)和直線AB的解析式；（2）△ABC和△ABD的面積分別為S1，S2，求S2﹣S1．考點(diǎn)8兩雙曲線k值符號不同模型模型講解】兩條雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條（或兩條）坐標(biāo)軸平行，求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)圍成的圖形面積，過這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，結(jié)合k的幾何意義求解．類型1兩條雙曲線的k值符號相同【示例】【例8】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝kx與的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過A作y軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，連接BC，則△ABC的面積為（）A．2 B．3 C．5 D．6變式訓(xùn)練【變8-1】．如圖，過x軸正半軸上的任意一點(diǎn)P，作y軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的圖象交于B、A兩點(diǎn)．若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，則△ABC的面積為（）A．3 B．6 C．9 D．【變8-2】．如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是反比例函數(shù)y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的圖象上的點(diǎn)，AB⊥x軸，點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn)，若S△ABC＝2，則m﹣n的值為．1．如圖，Rt△ABC的頂點(diǎn)A在雙曲線y＝的圖象上，直角邊BC在x軸上，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，OC＝4，連接OA，∠AOB＝60°，則k的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣22．如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)B，C在第一象限，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，若∠COA＝α，則k的值等于（）A．8sin2α B．8cos2α C．4tanα D．2tanα3．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸，＝．∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y＝的圖象過點(diǎn)C．當(dāng)以CD為邊的正方形的面積為時，k的值是（）A．2 B．3 C．5 D．74．如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且OA⊥OB，cosA＝，則k的值為（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣ D．﹣25．如圖，反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，1），過點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，在y軸的正半軸上取一點(diǎn)P（0，t），過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，點(diǎn)B經(jīng)軸對稱變換得到的點(diǎn)B′在此反比例函數(shù)的圖象上，則t的值是（）A． B． C． D．6．如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)B在y軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，2），若反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則k的值為（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．67．如圖，直線y＝與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）交于點(diǎn)A，將直線y＝向上平移4個單位長度后，與y軸交于點(diǎn)C，與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）交于點(diǎn)B，若OA＝3BC，則k的值為（）A．3 B．6 C． D．8．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC＝2AB．A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（﹣1，0），（0，2），C，D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則k等于．9．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，直線EF分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，且BE：BF＝1：m．過點(diǎn)E作EP⊥y軸于P，已知△OEP的面積為1，則k值是，△OEF的面積是（用含m的式子表示）10．如圖，在Rt△OAB中，OA＝4，AB＝5，點(diǎn)C在OA上，AC＝1，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切．若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過圓心P，則k＝．11．如圖，OABC是平行四邊形，對角線OB在軸正半軸上，位于第一象限的點(diǎn)A和第二象限的點(diǎn)C分別在雙曲線y＝和y＝的一支上，分別過點(diǎn)A、C作x軸的垂線，垂足分別為M和N，則有以下的結(jié)論：①＝；②陰影部分面積是（k1+k2）；③當(dāng)∠AOC＝90°時，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，則兩雙曲線既關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱．其中正確的結(jié)論是（把所有正確的結(jié)論的序號都填上）．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：y＝﹣x﹣1，雙曲線y＝，在l上取一點(diǎn)A1，過A1作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B1，過B1作y軸的垂線交l于點(diǎn)A2，請繼續(xù)操作并探究：過A2作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B2，過B2作y軸的垂線交l于點(diǎn)A3，…，這樣依次得到l上的點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，…記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an，若a1＝2，則a2＝，a2013＝；若要將上述操作無限次地進(jìn)行下去，則a1不可能取的值是．13．如圖，一次函數(shù)y＝x+1的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（a，3），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求a，k的值；（2）直線CD過點(diǎn)A，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，AC＝AD，連接CB．①求△ABC的面積；②點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在x軸上，若以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)．14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y1＝k1x+b與坐標(biāo)軸分別交于A（5，0），B（0，）兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y2＝的圖象在第一象限內(nèi)交于P，K兩點(diǎn)，連接OP，△OAP的面積為．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．（2）當(dāng)y2＞y1時，求x的取值范圍．（3）若C為線段OA上的一個動點(diǎn)，當(dāng)PC+KC最小時，求△PKC的面積．15．如圖，一次函數(shù)y＝x+1與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（m，2），B兩點(diǎn)，分別連接OA，OB．（1）求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△AOB的面積；（3）在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)O，B，A，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．16．已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，連接AB．（1）如圖①，點(diǎn)P在線段AB上，以點(diǎn)P為圓心的圓與兩條坐標(biāo)軸都相切，求過點(diǎn)P的反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖②，點(diǎn)N是線段OB上一點(diǎn)，連接AN，將△AON沿AN翻折，使得點(diǎn)O與線段AB上的點(diǎn)M重合，求經(jīng)過A、N兩點(diǎn)的一次函數(shù)表達(dá)式．17．小華同學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)知識后，對函數(shù)通過列表、描點(diǎn)、連線，畫出了如圖1所示的圖象．x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣﹣﹣01234…y…12410﹣4﹣2﹣﹣1…請根據(jù)圖象解答：（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①寫出函數(shù)的兩條性質(zhì)：；；②若函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）滿足x1+x2＝0，則y1+y2＝0一定成立嗎？．（填“一定”或“不一定”）（2）【延伸探究】如圖2，將過A（﹣1，4），B（4，﹣1）兩點(diǎn)的直線向下平移n個單位長度后，得到直線l與函數(shù)y＝﹣（x≤﹣1）的圖象交于點(diǎn)P，連接PA，PB．①求當(dāng)n＝3時，直線l的解析式和△PAB的面積；②直接用含n的代數(shù)式表示△PAB的面積．

模型介紹模型介紹考點(diǎn)1一點(diǎn)一垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的垂線、另一坐標(biāo)軸上一點(diǎn)（含原點(diǎn)）圍成的三角形面積等于|k|．【示例】拓展：【例1】．如圖，已知動點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸正半軸上，動點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，PA⊥x軸，△PAB是以PA為底邊的等腰三角形．當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大時，△PAB的面積將會（）A．越來越小 B．越來越大 C．不變 D．先變大后變小解：如圖，過點(diǎn)B作BC⊥PA于點(diǎn)C，則BC＝OA，設(shè)點(diǎn)P（x，），則S△PAB＝PA?BC＝??x＝3，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大時，△PAB的面積將會不變，始終等于3，故選：C．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別是M、N，射線AB交x軸于點(diǎn)C，若OM＝MN＝NC，四邊形AMNB的面積是4，則k的值為﹣．解：設(shè)OM＝a，則OM＝MN＝NC＝a，∵點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，AM⊥OC、BN⊥OC，∴AM＝，BN＝，∵S△AOC＝S△AOM+S四邊形AMNB+S△BNC，∴﹣×3a×＝﹣k+4﹣×a×，解得k＝﹣，故答案為：﹣．【變1-2】．如圖，在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P（2，3），M（a，2）是雙曲線y＝（k≠0）上的兩點(diǎn)，PA⊥x軸于點(diǎn)A，MB⊥x軸于點(diǎn)B，PA與OM交于點(diǎn)C，則△OAC的面積為（）A． B． C．2 D．解：把P（2，3），M（a，2）代入y＝得k＝2×3＝2a，解得k＝6，a＝3，設(shè)直線OM的解析式為y＝mx，把M（3，2）代入得3m＝2，解得m＝，所以直線OM的解析式為y＝x，當(dāng)x＝2時，y＝×2＝，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），所以△OAC的面積＝×2×＝．故選：B．考點(diǎn)2一點(diǎn)兩垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)軸的兩條垂線所圍成的矩形面積等于|k|．【示例】【例2】．雙曲線與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，則△AOB的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4解：設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C．∵AB∥y軸，∴AC⊥x軸，BC⊥x軸．∵點(diǎn)A在雙曲線y＝的圖象上，∴△AOC的面積＝×10＝5．∵點(diǎn)B在雙曲線y＝的圖象上，∴△COB的面積＝×6＝3．∴△AOB的面積＝△AOC的面積﹣△COB的面積＝5﹣3＝2．故選：B．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，函數(shù)y＝（x＞0）和（x＞0）的圖象分別是l1和l2．設(shè)點(diǎn)P在l2上，PA∥y軸交l1于點(diǎn)A，PB∥x軸交l1于點(diǎn)B，△PAB的面積為．解：設(shè)點(diǎn)P（x，），則點(diǎn)B（，），A（x，），∴BP＝x﹣＝，AP＝﹣＝，∴S△ABP＝＝，故答案為：．【變2-2】．如圖，直線AB∥x軸，分別交反比例函數(shù)y＝圖象于A、B兩點(diǎn)，若S△AOB＝2，則k2﹣k1的值為4．解：設(shè)A（a，b），B（c，d），代入得：k1＝ab，k2＝cd，∵S△AOB＝2，∴cd﹣ab＝2，∴cd﹣ab＝4，∴k2﹣k1＝4，故答案為：4．【變2-3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M為y軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l∥x軸，l分別與反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，若S△AOB＝3，則k的值為﹣2．解：∵直線l∥x軸，∴AM⊥y軸，BM⊥y軸，∴S△AOM＝|k|，S△BOM＝×4＝2，∵S△AOB＝3，∴S△AOM＝1，∴|k|＝2，∵k＜0，∴k＝﹣2，故答案為：﹣2．考點(diǎn)3兩曲一平行模型模型講解】兩條雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條（或兩條）坐標(biāo)軸平行，求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)圍成的圖形面積，過這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，結(jié)合k的幾何意義求解．類型1兩條雙曲線的k值符號相同【示例】【例3】．如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)A、D在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，正方形ADEF的面積為16，且BF＝2AF，則k值為（）A．﹣8 B．﹣12 C．﹣24 D．﹣36解：設(shè)A（x，0）．∵正方形ADEF的面積為16，∴ADEF的邊長為4，∴E（x﹣4，4），∵BF＝2AF，∴BF＝2×4＝8，∴B（x，12）．∵點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，∴4（x﹣4）＝12x，解得x＝﹣2，∴B（﹣2，12），∴k＝﹣2×12＝﹣24，故選：C．變式訓(xùn)練【變3-1】．若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在函數(shù)的圖象上．若正方形OABC的面積為1，則k的值為1；點(diǎn)E的坐標(biāo)為（+，﹣）．解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一個頂點(diǎn)在一反比例函數(shù)圖象上，且正方形OABC的邊長為1．∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，1），設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝；∴xy＝k＝1，設(shè)正方形ADEF的邊長為a，則E（1+a，a），代入反比例函數(shù)y＝（x＞0）得：1＝（1+a）a，又a＞0，解得：a＝﹣．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（+，﹣）．【變3-2】．如圖，A、B兩點(diǎn)在雙曲線y＝上，分別經(jīng)過A、B兩點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線段，已知S陰影＝1.7，則S1+S2等于4.6．解：如圖，∵A、B兩點(diǎn)在雙曲線y＝上，∴S四邊形AEOF＝4，S四邊形BDOC＝4，∴S1+S2＝S四邊形AEOF+S四邊形BDOC﹣2×S陰影，∴S1+S2＝8﹣3.4＝4.6故答案為：4.6．【變3-3】．如圖，在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，有點(diǎn)P1，P2，P3，P4，…，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4，…．分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，…，則S1+S2+S3+…+Sn＝．（用n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）解：當(dāng)x＝1時，P1的縱坐標(biāo)為2，當(dāng)x＝2時，P2的縱坐標(biāo)1，當(dāng)x＝3時，P3的縱坐標(biāo)，當(dāng)x＝4時，P4的縱坐標(biāo)，當(dāng)x＝5時，P5的縱坐標(biāo)，…則S1＝1×（2﹣1）＝2﹣1；S2＝1×（1﹣）＝1﹣；S3＝1×（﹣）＝﹣；S4＝1×（﹣）＝﹣；…Sn＝﹣；S1+S2+S3+…+Sn＝2﹣1+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2﹣＝．故答案為：．考點(diǎn)4兩點(diǎn)一垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作垂線圍成的三角形面積等于|k|，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)及坐標(biāo)軸上任一點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，等于坐標(biāo)軸所分的兩個三角形面積之和．【示例】【例4】．如圖，正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y＝﹣相交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4，過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于B點(diǎn)，連接BC，下列結(jié)論：①k＝﹣；②不等式kx＜﹣的解集為﹣4＜x＜0或x＞4；③△ABC的面積等于16．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3解：將x＝﹣4代入y＝﹣得y＝﹣＝2，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4，2），將（﹣4，2）代入y＝kx得2＝﹣4k，解得k＝﹣，∴①正確．由反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的對稱性可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，﹣2），∴當(dāng)﹣4＜x＜0或x＞4時，kx＜﹣，∴②正確．∵S△AOC＝S△AOB+S△BOC＝OB?yA+OB?（﹣yC）＝BO（yA﹣yC）＝×（2+2）＝8，∴③錯誤．故選：C．變式訓(xùn)練【變4-1】．如圖所示，一次函數(shù)y＝kx（k＜0）的圖象與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，連接AC，則△ABC的面積為4．解：∵BC⊥y軸于點(diǎn)C，∴S△COB＝|﹣4|＝2，∵正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴OA＝OB，∴S△AOC＝S△COB＝2，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC＝2+2＝4，故答案為：4．【變4-2】．如圖，過點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，連接BC，則△ABC的面積為．解：∵點(diǎn)A反比例函數(shù)y＝的圖象上，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，∴S△AOC＝|k|＝，∵過點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，∴OA＝OB，∴S△BOC＝S△AOC＝∴S△ABC＝2S△ACO＝，故答案為：．【變4-3】．如圖，函數(shù)y＝x與y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC垂直于y軸，垂足為C，連接BC，若S△ABC＝3，則k＝3．解：設(shè)A（a，a）（a＞0），∵函數(shù)y＝x與y＝的圖象的中心對稱性，∴B（﹣a，﹣a），∴S△ABC＝?a?2a＝a2＝3，∴a＝，∴A（，），把A（，）代入y＝得k＝＝3．故答案為：3．考點(diǎn)5兩點(diǎn)兩垂線模型【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|．示例】【例5】．如圖，正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則△ABD的面積為4．解：∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝﹣上，且AB⊥x軸，∴＝2，∵A，C是反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)，且CD⊥x軸，∴O是BD的中點(diǎn)，∴S△ABD＝2S△ABO＝4．故答案為：4．變式訓(xùn)練【變5-1】．如圖，一次函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)上的圖象交于A，C兩點(diǎn)，AB∥y軸，BC∥x軸，若△ABC的面積為4，則k＝﹣2．解：設(shè)AB交x軸于點(diǎn)D，由反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得S△ADO的面積為，由函數(shù)的對稱性可得點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，即DO為△ABC中位線，∴＝，∴S△ABC＝4S△ADO＝2|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣2．故答案為：﹣2．【變5-2】．如圖，正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D，連接AD，BC，則四邊形ABCD的面積為2．解：∵A、C是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，∴A、C關(guān)于原點(diǎn)對稱，∵CD⊥x軸，AB⊥x軸，∴OA＝OC，OB＝OD，∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，又∵A點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD×1＝，∴S四邊形ABCD＝4S△AOB＝4×＝2，故答案為：2．【變5-3】．如圖，直線分別與反比例函數(shù)y＝﹣和y＝的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)P，且P為線段AB的中點(diǎn)，作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸交于點(diǎn)D，則四邊形ABCD的面積是5．解：過點(diǎn)A作AF⊥y軸，垂足于點(diǎn)F；過點(diǎn)B作BE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E．∵點(diǎn)P是AB中點(diǎn)．∴PA＝PB．又∵∠APF＝∠BPE，∠AFP＝∠BEP＝90°，∴△APF≌△BPE．∴S△APF＝S△BPE．∴S四邊形ABCD＝S四邊形ACOF+S四邊形EODB＝|﹣2|+|3|＝5．故答案為：5．考點(diǎn)6反比例函數(shù)上兩點(diǎn)和外一點(diǎn)模型【模型講解】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和原點(diǎn)所圍成的三角形面積，若兩交點(diǎn)在同一分支上，用減法．【示例】方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．方法二：作AE⊥x軸于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)M，BF⊥x軸于點(diǎn)F，則S△OAM＝S四邊形MEFB（劃歸到模型一），則S△AOB＝S直角梯形AEFB．【拓展】方法一：當(dāng)或＝m時，則S四邊形OFBE＝m|k|．方法二：作EM⊥x軸于M，則S△OEF＝S直角梯形EMAF（劃歸到上一個模型示例）．【例6】．如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)，則S△AOB＝（）A． B． C． D．6解：把A（﹣4，1）代入y＝的得：k＝﹣4，∴反比例函數(shù)的解析式是y＝﹣，∵B（1，m）代入反比例函數(shù)y＝﹣得：m＝﹣4，∴B的坐標(biāo)是（1，﹣4），把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y＝ax+b得：，解得：a＝﹣1，b＝﹣3，∴一次函數(shù)的解析式是y＝﹣x﹣3；把x＝0代入一次函數(shù)的解析式是y＝﹣x﹣3得：y＝﹣3，∴D（0，﹣3），∴S△AOB＝SAOD+S△BOD＝×3×（1+4）＝．故選：A．變式訓(xùn)練【變6-1】．如圖，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)O，且交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，A，點(diǎn)C在x軸上，且．若S△BCA＝12，則k的值為（）A．12 B．﹣12 C．﹣6 D．6解：作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，∵點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖象上，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)，∴OA＝OB＝AB，∵，S△BCA＝12，∴OB＝BC，S△BCO＝S△BCA＝6，∵BE⊥OC，∴OE＝CE，∴S△OBE＝S△BCO＝3，∵BE⊥x軸于E，∴S△OBE＝|k|，∴|k|＝6，∵k＜0，∴k＝﹣6．故選：C．【變6-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝與直線y＝交于A，B，x軸的正半軸上有一點(diǎn)C使得∠ACB＝90°，若△OCD的面積為25，則k的值為48．解：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（3a，4a），由反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的對稱性可得點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣3a，﹣4a），∴OA＝OB＝＝5a，∵∠ACB＝90°，O為AB中點(diǎn)，∴OC＝OA＝OB＝5a，設(shè)直線BC解析式為y＝kx+b，將（﹣3a，﹣4a），（5a，0）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝x﹣a，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，﹣a），∴S△OCD＝OC?OD＝5a×a＝25，解得a＝2或a＝﹣2（舍），∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，8），∴k＝6×8＝48．故答案為：48．【變6-3】．如圖，正比例函數(shù)y＝﹣x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，連接AC，BC．若∠ACB＝90°，△ABC的面積為10，則該反比例函數(shù)的解析式是y＝﹣．解：設(shè)點(diǎn)A為（a，﹣a），則OA＝＝﹣a，∵點(diǎn)C為x軸上一點(diǎn)，∠ACB＝90°，且△ACB的面積為20，∴OA＝OB＝OC＝﹣a，∴S△ACB＝×OC×（yA+|yB|）＝×（﹣a）×（﹣a）＝10，解得，a＝±（舍棄正值），∴點(diǎn)A為（﹣，2），∴k＝﹣×2＝﹣6，∴反比例函數(shù)的解析式是y＝﹣，故答案為：y＝﹣．考點(diǎn)7反比例函數(shù)上兩點(diǎn)和原點(diǎn)模型【模型講解】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和原點(diǎn)所圍成的三角形面積，若兩交點(diǎn)分別在兩個分支上，用加法．【示例】方法一：S△AOB＝OD·|xB－xA|＝OC·|yA－yB|．方法二：S△AOB＝S△AOC＋S△OCD＋S△OBD．方法三：作AE⊥y軸于點(diǎn)E，BF⊥x軸于點(diǎn)F，延長AE與BF相交于點(diǎn)N，則S△AOB＝S△ABN－S△AOE－S△OBF－S矩形OENF．【例7】．如圖，直線AB交雙曲線于A、B，交x軸于點(diǎn)C，B為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于M，連接OA．若OM＝2MC，S△OAC＝12．則k的值為8．解：過A作AN⊥OC于N，∵BM⊥OC∴AN∥BM，∵，B為AC中點(diǎn)，∴MN＝MC，∵OM＝2MC，∴ON＝MN＝CM，設(shè)A的坐標(biāo)是（a，b），則B（2a，b），∵S△OAC＝12．∴?3a?b＝12，∴ab＝8，∴k＝ab＝8，故答案為：8．變式訓(xùn)練【變7-1】．如圖，在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，若BD＝3AD，且四邊形ODBE的面積為21，則k＝7．解：設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)為，∵BD＝3AD，∴點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4x，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4x，0）∵S四邊形ODBE＝21，∴S矩形ABCD﹣S△OCE﹣S△OAD＝21，即：4x?﹣﹣＝21解得：k＝7．故答案為：7．【變7-2】．如圖，點(diǎn)是直線AB與反比例函數(shù)圖象的兩個交點(diǎn)，AC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，已知D（0，1），連接AD，BD，BC．（1）求反比例函數(shù)和直線AB的解析式；（2）△ABC和△ABD的面積分別為S1，S2，求S2﹣S1．解：（1）由點(diǎn)A（，4）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，∴n＝×4＝6，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝（x＞0），將點(diǎn)B（3，m）代入y＝（x＞0）并解得m＝2，∴B（3，2），設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線AB的表達(dá)式為y＝﹣x+6；（2）由點(diǎn)A坐標(biāo)得AC＝4，則點(diǎn)B到AC的距離為3﹣＝，∴S1＝＝3，設(shè)AB與y軸的交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E（0，6），如圖：∴DE＝6﹣1＝5，由點(diǎn)A（，4），B（3，2）知，點(diǎn)A，B到DE的距離分別為，3，∴S2＝S△BDE﹣S△AED＝﹣＝，∴S2﹣S1＝﹣3＝．考點(diǎn)8兩雙曲線k值符號不同模型模型講解】兩條雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條（或兩條）坐標(biāo)軸平行，求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)圍成的圖形面積，過這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，結(jié)合k的幾何意義求解．類型1兩條雙曲線的k值符號相同【示例】【例8】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝kx與的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過A作y軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，連接BC，則△ABC的面積為（）A．2 B．3 C．5 D．6解：∵正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣），則B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣x，），C（﹣2x，﹣），∴S△ABC＝×（﹣2x﹣x）?（﹣﹣）＝×（﹣3x）?（﹣）＝6．故選：D．變式訓(xùn)練【變8-1】．如圖，過x軸正半軸上的任意一點(diǎn)P，作y軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的圖象交于B、A兩點(diǎn)．若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，則△ABC的面積為（）A．3 B．6 C．9 D．解：設(shè)P（a，0），a＞0，則A和B的橫坐標(biāo)都為a，將x＝a代入反比例函數(shù)y＝﹣中得：y＝﹣，故A（a，﹣）；將x＝a代入反比例函數(shù)y＝中得：y＝，故B（a，），∴AB＝AP+BP＝+＝，則S△ABC＝AB?xP的橫坐標(biāo)＝××a＝，故選：D．【變8-2】．如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是反比例函數(shù)y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的圖象上的點(diǎn)，AB⊥x軸，點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn)，若S△ABC＝2，則m﹣n的值為4．解：連接AO．CO，∵AB⊥x軸，點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn)，∴AB∥y軸，∴S△ABC＝S△ABO＝2，∴＝2．∴＝2，即m﹣n＝4．故答案為：4．1．如圖，Rt△ABC的頂點(diǎn)A在雙曲線y＝的圖象上，直角邊BC在x軸上，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，OC＝4，連接OA，∠AOB＝60°，則k的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2解：∵∠ACB＝30°，∠AOB＝60°，∴∠OAC＝∠AOB﹣∠ACB＝30°，∴∠OAC＝∠ACO，∴OA＝OC＝4，在△AOB中，∠ABC＝90°，∠AOB＝60°，OA＝4，∴∠OAB＝30°，∴OB＝OA＝2，∴AB＝OB＝2，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2），把A（﹣2，2）代入y＝得k＝﹣2×2＝﹣4．故選：B．2．如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)B，C在第一象限，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，若∠COA＝α，則k的值等于（）A．8sin2α B．8cos2α C．4tanα D．2tanα解：方法一：過點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥OA交OA的延長線于點(diǎn)F，設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為：a，則：CE＝a?tanα，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（a，a?tanα），∵平行四邊形OABC中，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為：a?tanα，設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，∵C，D都在反比例函數(shù)圖象上，∴a×a?tanα＝x×a?tanα，解得：x＝2a，則FO＝2a，∴FE＝a，∵∠COE＝∠DAF，∠CEO＝∠DFA，∴△COE∽△DAF，∴＝＝2，∴AF＝，∴AO＝OF﹣AF＝a，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），∴AO＝3，∴a＝3，解得：a＝2，∴k＝a×a?tanα＝2×2tanα＝4tanα．方法二：∵C（a，atanα），A（3，0），∴B（a+3，atanα），∵D是線段AB中點(diǎn)，∴D（，atanα），即D（，atanα）．∵反比例函數(shù)過C，D兩點(diǎn)，∴k＝a?atanα＝（a+6）?atanα，解得a＝2，∴k＝4tanα．故選：C．3．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸，＝．∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y＝的圖象過點(diǎn)C．當(dāng)以CD為邊的正方形的面積為時，k的值是（）A．2 B．3 C．5 D．7解：設(shè)OA＝3a，則OB＝4a，∴A（3a，0），B（0，4a）．設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，則根據(jù)題意得：，解得：，則直線AB的解析式是y＝﹣x+4a，直線CD是∠AOB的平分線，則OD的解析式是y＝x．根據(jù)題意得：，解得：則D的坐標(biāo)是（，），OA的中垂線的解析式是x＝，則C的坐標(biāo)是（，），將C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y＝，則k＝．設(shè)OA的垂直平分線交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖，則OF＝CF＝，OE＝DE＝a，∵∠DOA＝45°，∴△COF和△DOE為等腰直角三角形，∴OC＝OF＝a，OD＝OE＝a，∴CD＝OD﹣OC＝（）＝（﹣）＝a．∵以CD為邊的正方形的面積為，∴＝，則a2＝，∴k＝×＝7．故選：D．4．如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且OA⊥OB，cosA＝，則k的值為（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2解：過A作AE⊥x軸，過B作BF⊥x軸，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOF+∠EOA＝90°，∵∠BOF+∠FBO＝90°，∴∠EOA＝∠FBO，∵∠BFO＝∠OEA＝90°，∴△BFO∽△OEA，在Rt△AOB中，cos∠BAO＝＝，設(shè)AB＝，則OA＝1，根據(jù)勾股定理得：BO＝，∴OB：OA＝：1，∴S△BFO：S△OEA＝2：1，∵A在反比例函數(shù)y＝上，∴S△OEA＝1，∴S△BFO＝2，則k＝﹣4．故選：B．5．如圖，反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，1），過點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，在y軸的正半軸上取一點(diǎn)P（0，t），過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，點(diǎn)B經(jīng)軸對稱變換得到的點(diǎn)B′在此反比例函數(shù)的圖象上，則t的值是（）A． B． C． D．解：如圖，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，1），∴k＝﹣1×1＝﹣1，∴反比例函數(shù)解析式為y＝﹣，∵OB＝AB＝1，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ＝45°，∵點(diǎn)B和點(diǎn)B′關(guān)于直線l對稱，∴PB＝PB′，BB′⊥PQ，∴∠B′PQ＝∠OPQ＝45°，∠B′PB＝90°，∴B′P⊥y軸，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣，t），∵PB＝PB′，∴t﹣1＝|﹣|＝，整理得t2﹣t﹣1＝0，解得t1＝，t2＝（不符合題意，舍去），∴t的值為．故選：A．6．如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)B在y軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，2），若反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則k的值為（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6解：∵A與C關(guān)于OB對稱，∴A的坐標(biāo)是（3，2）．把（3，2）代入y＝得：2＝，解得：k＝6．故選：D．7．如圖，直線y＝與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）交于點(diǎn)A，將直線y＝向上平移4個單位長度后，與y軸交于點(diǎn)C，與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）交于點(diǎn)B，若OA＝3BC，則k的值為（）A．3 B．6 C． D．解：∵將直線y＝向上平移4個單位長度后，與y軸交于點(diǎn)C，∴平移后直線的解析式為y＝x+4，分別過點(diǎn)A、B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥BE于點(diǎn)F，設(shè)A（3x，x），∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x軸，∴△BCF∽△AOD，∴CF＝OD，∵點(diǎn)B在直線y＝x+4上，∴B（x，x+4），∵點(diǎn)A、B在雙曲線y＝上，∴3x?x＝x?（x+4），解得x＝1，∴k＝3×1××1＝．故選：D．8．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC＝2AB．A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（﹣1，0），（0，2），C，D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則k等于﹣12．解：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，），（k＜0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC與BD的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，∴（，）＝（，），則x＝a﹣1，y＝，代入y＝，可得：k＝2a﹣2a2①；在Rt△AOB中，AB＝＝，∴BC＝2AB＝2，故BC2＝（0﹣a）2+（﹣2）2＝（2）2，整理得：a4+k2﹣4ka＝16a2，將①k＝2a﹣2a2，代入后化簡可得：a2＝4，∵a＜0，∴a＝﹣2，∴k＝﹣4﹣8＝﹣12．故答案為：﹣12．方法二：因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以點(diǎn)C、D是點(diǎn)B、A分別向左平移a，向上平移b得到的．故設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)是（﹣a，2+b），點(diǎn)D坐標(biāo)是（﹣1﹣a，b），（a＞0，b＞0），∴﹣a（2+b）＝b（﹣1﹣a），整理得2a+ab＝b+ab，解得b＝2a．過點(diǎn)D作x軸垂線，交x軸于H點(diǎn)，在直角三角形ADH中，由已知易得AD＝2，AH＝a，DH＝b＝2a．AD2＝AH2+DH2，即20＝a2+4a2，得a＝2．所以D坐標(biāo)是（﹣3，4）所以k＝﹣12．9．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，直線EF分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，且BE：BF＝1：m．過點(diǎn)E作EP⊥y軸于P，已知△OEP的面積為1，則k值是2，△OEF的面積是（用含m的式子表示）解：作EC⊥x軸于C，F(xiàn)D⊥x軸于D，F(xiàn)H⊥y軸于H，如圖，∵△OEP的面積為1，∴|k|＝1，而k＞0，∴k＝2，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，∵EP⊥y軸，F(xiàn)H⊥y軸，∴EP∥FH，∴△BPE∽△BHF，∴＝＝，即HF＝mPE，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（t，），則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（tm，），∵S△OEF+S△OFD＝S△OEC+S梯形ECDF，而S△OFD＝S△OEC＝1，∴S△OEF＝S梯形ECDF＝（+）（tm﹣t）＝（+1）（m﹣1）＝．故答案為：2，．10．如圖，在Rt△OAB中，OA＝4，AB＝5，點(diǎn)C在OA上，AC＝1，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切．若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過圓心P，則k＝．解：設(shè)⊙P與邊AB，AO分別相切于點(diǎn)E、D，連接PE、PD、PA，如圖所示．則有PD⊥OA，PE⊥AB．設(shè)⊙P的半徑為r，∵AB＝5，AC＝1，∴S△APB＝AB?PE＝r，S△APC＝AC?PD＝r．∵∠AOB＝90°，OA＝4，AB＝5，∴OB＝3．∴S△ABC＝AC?OB＝×1×3＝．∵S△ABC＝S△APB+S△APC，∴＝r+r．∴r＝．∴PD＝．∵PD⊥OA，∠AOB＝90°，∴∠PDC＝∠BOC＝90°．∴PD∥BO．∴△PDC∽△BOC．∴＝．∴PD?OC＝CD?BO．∴×（4﹣1）＝3CD．∴CD＝．∴OD＝OC﹣CD＝3﹣＝．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過圓心P，∴k＝×＝．故答案為：．11．如圖，OABC是平行四邊形，對角線OB在軸正半軸上，位于第一象限的點(diǎn)A和第二象限的點(diǎn)C分別在雙曲線y＝和y＝的一支上，分別過點(diǎn)A、C作x軸的垂線，垂足分別為M和N，則有以下的結(jié)論：①＝；②陰影部分面積是（k1+k2）；③當(dāng)∠AOC＝90°時，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，則兩雙曲線既關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱．其中正確的結(jié)論是①④（把所有正確的結(jié)論的序號都填上）．解：作AE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，如圖，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴S△AOB＝S△COB，∴AE＝CF，∴OM＝ON，∵S△AOM＝|k1|＝OM?AM，S△CON＝|k2|＝ON?CN，∴＝，故①正確；∵S△AOM＝|k1|，S△CON＝|k2|，∴S陰影部分＝S△AOM+S△CON＝（|k1|+|k2|），而k1＞0，k2＜0，∴S陰影部分＝（k1﹣k2），故②錯誤；當(dāng)∠AOC＝90°，∴四邊形OABC是矩形，∴不能確定OA與OC相等，而OM＝ON，∴不能判斷△AOM≌△CNO，∴不能判斷AM＝CN，∴不能確定|k1|＝|k2|，故③錯誤；若OABC是菱形，則OA＝OC，而OM＝ON，∴Rt△AOM≌Rt△CNO，∴AM＝CN，∴|k1|＝|k2|，∴k1＝﹣k2，∴兩雙曲線既關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱，故④正確．故答案為：①④．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：y＝﹣x﹣1，雙曲線y＝，在l上取一點(diǎn)A1，過A1作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B1，過B1作y軸的垂線交l于點(diǎn)A2，請繼續(xù)操作并探究：過A2作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B2，過B2作y軸的垂線交l于點(diǎn)A3，…，這樣依次得到l上的點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，…記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an，若a1＝2，則a2＝﹣，a2013＝﹣；若要將上述操作無限次地進(jìn)行下去，則a1不可能取的值是0、﹣1．解：當(dāng)a1＝2時，B1的縱坐標(biāo)為，B1的縱坐標(biāo)和A2的縱坐標(biāo)相同，則A2的橫坐標(biāo)為a2＝﹣，A2的橫坐標(biāo)和B2的橫坐標(biāo)相同，則B2的縱坐標(biāo)為b2＝﹣，B2的縱坐標(biāo)和A3的縱坐標(biāo)相同，則A3的橫坐標(biāo)為a3＝﹣，A3的橫坐標(biāo)和B3的橫坐標(biāo)相同，則B3的縱坐標(biāo)為b3＝﹣3，B3的縱坐標(biāo)和A4的縱坐標(biāo)相同，則A4的橫坐標(biāo)為a4＝2，A4的橫坐標(biāo)和B4的橫坐標(biāo)相同，則B4的縱坐標(biāo)為b4＝，即當(dāng)a1＝2時，a2＝﹣，a3＝﹣，a4＝2，a5＝﹣，b1＝，b2＝﹣，b3＝﹣3，b4＝，b5＝﹣，∵＝671，∴a2013＝a3＝﹣；點(diǎn)A1不能在y軸上（此時找不到B1），即x≠0，點(diǎn)A1不能在x軸上（此時A2，在y軸上，找不到B2），即y＝﹣x﹣1≠0，解得：x≠﹣1；綜上可得a1不可取0、﹣1．故答案為：﹣；﹣；0、﹣1．13．如圖，一次函數(shù)y＝x+1的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（a，3），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求a，k的值；（2）直線CD過點(diǎn)A，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，AC＝AD，連接CB．①求△ABC的面積；②點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在x軸上，若以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)．解：（1）把x＝a，y＝3代入y＝x+1得，，∴a＝4，把x＝4，y＝3代入y＝得，3＝，∴k＝12；（2）∵點(diǎn)A（4，3），D點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0，AD＝AC，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是3×2﹣0＝6，把y＝6代入y＝得x＝2，∴C（2，6），①如圖1，作CF⊥x軸于F，交AB于E，當(dāng)x＝2時，y＝＝2，∴E（2，2），∵C（2，6），∴CE＝6﹣2＝4，∴xA＝＝8；②如圖2，當(dāng)AB是對角線時，即：四邊形APBQ是平行四邊形，∵A（4，3），B（0，1），點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為0，∴yP＝1+3﹣0＝4，當(dāng)y＝4時，4＝，∴x＝3，∴P（3，4），當(dāng)AB為邊時，即：四邊形ABQP是平行四邊形（圖中的?ABQ′P′），由yQ′﹣yB＝y(tǒng)P′﹣yA得，0﹣1＝y(tǒng)P′﹣3，∴yP′＝2，當(dāng)y＝2時，x