2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題67 反比例函數(shù)背景下的全等、相似問題（含答案及解析）

例題精講例題精講考點(diǎn)1反比例函數(shù)與全等三角形綜合問題【例1】．如圖，把一個(gè)等腰直角三角形放在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，點(diǎn)C（﹣1，0），點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且y軸平分∠BAC，則k的值是________變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，∠BAC＝30°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），將△ABC沿直線AC翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為（）A． B．﹣2 C．4 D．﹣4【變1-2】．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長交圖象的另一支于點(diǎn)B．在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，若存在點(diǎn)C（m，n），使得AC⊥BC，AC＝BC，則m，n滿足_______(填等量關(guān)系）考點(diǎn)2反比例函數(shù)與相似三角形綜合問題【例2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBD的邊OB與x軸的正半軸重合，AD∥OB，DB⊥x軸，對(duì)角線AB，OD交于點(diǎn)M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面積為4．若反比例函數(shù)y＝的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)M，則k的值為（）A． B． C． D．12變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝上，第二象限的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝上，且OA⊥OB，＝，則k的值為（）A． B．﹣ C．﹣ D．﹣3【變2-2】．如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸正半軸上，斜邊AC邊上的中線BD反向延長線交y軸負(fù)半軸于E，雙曲線的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，若S△BEC＝8，則k等于（）A．8 B．16 C．24 D．28【變2-3】．如圖，在等腰△AOB中，AO＝AB，頂點(diǎn)A為反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，過點(diǎn)B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)y＝的圖象上于點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，若△BCD的面積為2，則k的值為（）A．18 B．20 C．22 D．211．如圖，AB⊥x軸，B為垂足，雙曲線y＝（x＞0）與△AOB的兩條邊OA，AB分別相交于C，D兩點(diǎn)，OC＝CA，且△ABC的面積為3，則k等于（）A．4 B．2 C．3 D．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)B，C在x軸上，OC＝OB，延長AC交y軸于點(diǎn)D，連接BD，若△BCD的面積等于1，則k的值為（）A．3 B．2 C． D．43．如圖所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）與y＝﹣（x＜0）的圖象上，則tan∠BAO的值為（）A． B． C． D．4．如圖，函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象經(jīng)過Rt△ABO斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于C，連接AD．若AD＝3，則△ABO的周長為（）A．12 B．6+ C．6+2 D．6+25．如圖，長方形ABCD的頂點(diǎn)A、B均在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，對(duì)角線DB的延長線交x軸于點(diǎn)E，連接AE，已知S△ABE＝1，則k的值是（）A．1 B． C．2 D．46．如圖，直線y＝x+2與反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限交于點(diǎn)P，若OP＝，則k的值為．7．已知一次函數(shù)y＝2x+4的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若這個(gè)一次函數(shù)的圖象與一個(gè)反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)C，且AB＝2BC，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，且點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，C為AB的中點(diǎn)，若AB＝4，則線段OC的長為．9．如圖，△OMN是邊長為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與邊MN、OM分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B不與點(diǎn)M重合）．若AB⊥OM于點(diǎn)B，則k的值為．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝圖象上，且y軸平分∠ACB，求k＝．11．如圖，矩形OABC的兩邊落在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限的分支過AB的中點(diǎn)D交OB于點(diǎn)E，連接EC，若△OEC的面積為12，則k＝．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，反比例函數(shù)y1＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，反比例函數(shù)y2＝﹣的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則m的值為．13．如圖，線段OA與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，且AB＝2OB，點(diǎn)C也在函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，連結(jié)AC并延長AC交x軸正半軸于點(diǎn)D，且AC＝3CD，連結(jié)BC，若△BCD的面積為3，則k的值為．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，過點(diǎn)A作x軸的垂線，與函數(shù)y＝﹣（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，連接BC交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，BC＝3BD，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．15．如圖，在△ABC中，邊AB在x軸上，邊AC交y軸于點(diǎn)E．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)C，與邊BC交于點(diǎn)D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，則k＝．16．如圖，A為反比例函數(shù)（其中x＞0）圖象上的一點(diǎn)，在x軸正半軸上有一點(diǎn)B，OB＝4．連接OA，AB，且OA＝AB＝2．過點(diǎn)B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)（其中x＞0）的圖象于點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，則的值為．17．如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于坐標(biāo)原點(diǎn)O，四個(gè)頂點(diǎn)分別在雙曲線y＝和y＝（k＜0）上，＝，平行于x軸的直線與兩雙曲線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF，則△OEF的面積為．18．如圖，已知直線l：y＝﹣x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，雙曲線（k＞0，x＞0）與直線l不相交，E為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，EF⊥y軸于點(diǎn)F，分別與直線l交于點(diǎn)C，D，且∠COD＝45°，則k＝．19．如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，CD平行于x軸，直線AC交x軸于點(diǎn)E，BC⊥AC，連接BE，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，已知S△BCE＝2，則k的值是．20．如圖，A為反比例函數(shù)y＝（其中x＞0）圖象上的一點(diǎn)，在x軸正半軸上有一點(diǎn)B，OB＝4．連接OA，AB，且OA＝AB．過點(diǎn)B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)y＝（其中x＞0）的圖象于點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，則的值為．21．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)第三象限內(nèi)圖象上，AC⊥y軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若BO＝CE，則k的值為．22．如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC、BD交于原點(diǎn)O，AE⊥BC于E點(diǎn)，交BD于M點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點(diǎn)N，若BD＝4，則ME的長為．23．如圖，平面坐標(biāo)系中，AB交矩形ONCM于E、F，若＝（m＞1），且雙曲線y＝也過E、F兩點(diǎn)，記S△CEF＝S1，S△OEF＝S2，用含m的代數(shù)式表示．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P、Q在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，PA、QB分別垂直x軸于點(diǎn)A、B，PC、QD分別垂直y軸于點(diǎn)C、D．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為n，△PCD的面積為S1，△QAB的面積為S2．（1）當(dāng)m＝2，n＝3時(shí)，求S1、S2的值；（2）當(dāng)△PCD與△QAB全等時(shí)，若m＝3，直接寫出n的值．25．如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足k1x+b＞的x的取值范圍；（3）若點(diǎn)P在線段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．26．如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分別以O(shè)A、OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，D是邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與C、B重合），反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D且與邊BA交于點(diǎn)E，連接DE．（1）連接OE，若△EOA的面積為2，則k＝；（2）連接CA、DE與CA是否平行？請(qǐng)說明理由；（3）是否存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)在OC上？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．27．如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)E（2，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，分別過點(diǎn)A、B作y較的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、D，AC＝BD，連接AB交y軸于點(diǎn)F．（1）求k；（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為m，求證：am＝﹣2．（3）連接CE、DE，當(dāng)∠CED＝90°時(shí)，求A的坐標(biāo)．28．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO，AO的延長線交反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＜0）的圖象于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E．（1）如圖1，過點(diǎn)B作BF⊥x軸，于點(diǎn)F，連接EF．①若k＝1，求證：四邊形AEFO是平行四邊形；②連結(jié)BE，若k＝4，求△BOE的面積．（2）如圖2，過點(diǎn)E作EP∥AB，交反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＜0）的圖象于點(diǎn)P，連結(jié)OP．試探究：對(duì)于確定的實(shí)數(shù)k，動(dòng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中，△POE的面積是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．

例題精講例題精講考點(diǎn)1反比例函數(shù)與全等三角形綜合問題【例1】．如圖，把一個(gè)等腰直角三角形放在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，點(diǎn)C（﹣1，0），點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且y軸平分∠BAC，則k的值是________解：如圖，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，在OA上截取OE＝OC，連接CE，∵點(diǎn)C（﹣1，0），∴CO＝1，∴CO＝EO＝1，∴∠CEO＝45°，CE＝，∵△BAC為等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴BC＝AC，∠OCA+∠DCB＝90°，∠CAB＝45°，∵∠OCA+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△OAC和△DCB中，∴△OAC≌△DCB（AAS），∴AO＝CD，OC＝BD＝1，∵y軸平分∠BAC，∴∠CAO＝22.5°，∵∠CEO＝∠CEA+∠OAC＝45°，∴∠ECA＝∠OAC＝22.5°，∴CE＝AE＝，∴AO＝1+＝CD，∴DO＝，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（，﹣1），∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝﹣1×＝﹣，變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，∠BAC＝30°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），將△ABC沿直線AC翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為（）A． B．﹣2 C．4 D．﹣4解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E．由對(duì)稱可知CD＝BC，易證△DCE≌△BCO（AAS），∴CE＝CO，DE＝OB，∵∠BAC＝30°，OA＝3∴OC＝OA＝，∠OCB＝30°，∴OB＝OC＝1，∴DE＝OB＝1，CE＝OC＝，OE＝2，|k|＝DE?OE＝1×2＝2，∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，∴k＝﹣2，故選：B．【變1-2】．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長交圖象的另一支于點(diǎn)B．在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，若存在點(diǎn)C（m，n），使得AC⊥BC，AC＝BC，則m，n滿足_______(填等量關(guān)系）解：如圖，連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，∵由直線AB與反比例函數(shù)y＝的對(duì)稱性可知A、B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，∴AO＝BO．又∵AC⊥BC，AC＝BC，∴CO⊥AB，CO＝AB＝OA，∵∠AOE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，AE＝CF，∵點(diǎn)C（m，n），∴CF＝﹣m，cF＝n，∴OE＝﹣m，AE＝n，∴A（﹣m，n），∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝圖象上，∴﹣mn＝4，即mn＝﹣4，考點(diǎn)2反比例函數(shù)與相似三角形綜合問題【例2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBD的邊OB與x軸的正半軸重合，AD∥OB，DB⊥x軸，對(duì)角線AB，OD交于點(diǎn)M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面積為4．若反比例函數(shù)y＝的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)M，則k的值為（）A． B． C． D．12解：過點(diǎn)M作MH⊥OB于H．∵AD∥OB，∴△ADM∽△BOM，∴＝（）2＝，∵S△ADM＝4，∴S△BOM＝9，∵DB⊥OB，MH⊥OB，∴MH∥DB，∴＝＝＝，∴OH＝OB，∴S△MOH＝×S△OBM＝，∵＝，∴k＝，故選：B．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝上，第二象限的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝上，且OA⊥OB，＝，則k的值為（）A． B．﹣ C．﹣ D．﹣3解：作AC⊥x軸于點(diǎn)C，作BD⊥x軸于點(diǎn)D．則∠BDO＝∠ACO＝90°，則∠BOD+∠OBD＝90°，∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴＝（）2＝（）2＝，又∵S△AOC＝×4＝2，∴S△OBD＝，∴k＝﹣．故選：B．【變2-2】．如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸正半軸上，斜邊AC邊上的中線BD反向延長線交y軸負(fù)半軸于E，雙曲線的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，若S△BEC＝8，則k等于（）A．8 B．16 C．24 D．28解：∵BD為Rt△ABC的斜邊AC上的中線，∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB，又∠DBC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠ACB，又∠BOE＝∠CBA＝90°，∴△BOE∽△CBA，∴＝，即BC×OE＝BO×AB．又∵S△BEC＝8，即BC×OE＝2×8＝16＝BO×AB＝|k|．又由于反比例函數(shù)圖象在第一象限，k＞0．所以k等于16．故選：B．【變2-3】．如圖，在等腰△AOB中，AO＝AB，頂點(diǎn)A為反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，過點(diǎn)B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)y＝的圖象上于點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，若△BCD的面積為2，則k的值為（）A．18 B．20 C．22 D．21解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥OB交x軸于F，交OC于點(diǎn)E，∵OA＝AB，AF⊥OB，∴OF＝FB＝OB，∵BC⊥OB，∴AF∥BC，∴△ADE∽△BDC，，∴BC＝2EF，設(shè)OF＝a，則OB＝2a，∴A（a，），C（2a，），∴AF＝，BC＝，∴AF＝2BC＝4EF，AE＝AF﹣EF＝3EF，∵△ADE∽△BDC，∴，∴＝（）2＝，∵△BCD的面積為2，∴S△ADE＝，∴＝，∵＝，∴EC＝OE，∴＝，∴＝，∴S△AOE＝，∵＝＝，∴＝＝，∴S△AOF＝S△AOE＝×＝10，∴|k|＝10，∵k＞0，∴k＝20．故選：B．1．如圖，AB⊥x軸，B為垂足，雙曲線y＝（x＞0）與△AOB的兩條邊OA，AB分別相交于C，D兩點(diǎn)，OC＝CA，且△ABC的面積為3，則k等于（）A．4 B．2 C．3 D．1解：連接BC，過點(diǎn)C作CM⊥OB于M，∵OC＝CA，即＝，∴＝＝，又∵△ABC的面積為3，∴S△OBC＝，又∵CM∥AB，∴＝＝，∴＝＝，∴S△OMC＝S△OBC＝＝|k|，∵k＞0，∴k＝1，故選：D．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)B，C在x軸上，OC＝OB，延長AC交y軸于點(diǎn)D，連接BD，若△BCD的面積等于1，則k的值為（）A．3 B．2 C． D．4解：作AE⊥BC于E，連接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝×2CE＝CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴＝（）2＝4，∵△BCD的面積等于1，OC＝OB，∴S△COD＝S△BCD＝，∴S△CEA＝4×＝1，∵OC＝CE，∴S△AOC＝S△CEA＝，∴S△AOE＝+1＝，∵S△AOE＝k（k＞0），∴k＝3，故選：A．3．如圖所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）與y＝﹣（x＜0）的圖象上，則tan∠BAO的值為（）A． B． C． D．解：作AC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，如圖，∵頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）與y＝﹣（x＜0）的圖象上，∴S△AOC＝×|1|＝，S△BOD＝×|﹣5|＝，∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，而∠ACO＝∠BDO，∴△AOC∽△OBD，∴＝（）2＝＝，∴＝，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝，故選：B．4．如圖，函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象經(jīng)過Rt△ABO斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于C，連接AD．若AD＝3，則△ABO的周長為（）A．12 B．6+ C．6+2 D．6+2解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AO于E，∵點(diǎn)D是BO的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝DO＝3，∴BO＝6，∵DE⊥AO，AB⊥AO，∴AB∥DE，∴，∴AB＝2DE，AO＝2EO，∵S△DEO＝DE×EO＝，∴S△ABO＝AB×AO＝2，∵AB2+AO2＝OB2＝36，∴（AB+AO）2＝36+8，∴AB+AO＝2，∴△ABO的周長＝AO+BO+AB＝6+2，故選：D．5．如圖，長方形ABCD的頂點(diǎn)A、B均在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，對(duì)角線DB的延長線交x軸于點(diǎn)E，連接AE，已知S△ABE＝1，則k的值是（）A．1 B． C．2 D．4解：延長DC與x軸交于點(diǎn)F，∵ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC∥OE，∴△ABD∽△OBE，∴＝，即：AD?OB＝AB?OE，又∵S△ABE＝1＝AB?OE，∴AD?OB＝AB?OE＝2＝BC?OB，即：S矩形OBCF＝BC?OB＝2＝|k|，∴k＝2或k＝﹣2（舍去），故選：C．6．如圖，直線y＝x+2與反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限交于點(diǎn)P，若OP＝，則k的值為3．解：設(shè)點(diǎn)P（m，m+2），∵OP＝，∴＝，解得m1＝1，m2＝﹣3（不合題意舍去），∴點(diǎn)P（1，3），∴3＝，解得k＝3．故答案為：3．7．已知一次函數(shù)y＝2x+4的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若這個(gè)一次函數(shù)的圖象與一個(gè)反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)C，且AB＝2BC，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝．解：∵一次函數(shù)y＝2x+4的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，∴A（﹣2，0），B（0，4），過C作CD⊥x軸于D，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，∴＝＝，∴CD＝6，AD＝3，∴OD＝1，∴C（1，6），設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝，∴k＝6，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．故答案為：y＝．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，且點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，C為AB的中點(diǎn)，若AB＝4，則線段OC的長為2．解：設(shè)A（t，），∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，∴B（，t），∵AB＝4，∴（t﹣）2+（﹣t）2＝42，即t﹣＝2或t﹣＝﹣2，解方程t﹣＝﹣2，得t＝﹣﹣2（由于點(diǎn)A在第一象限，所以舍去）或t＝﹣+2，經(jīng)檢驗(yàn)，t＝﹣+2，符合題意，∴A（﹣+2，+2），B（+2，﹣+2），∵C為AB的中點(diǎn)，∴C（2，2），∴OC＝＝2．故答案為2．9．如圖，△OMN是邊長為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與邊MN、OM分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B不與點(diǎn)M重合）．若AB⊥OM于點(diǎn)B，則k的值為9．解：過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖，∵△OMN是邊長為10的等邊三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°設(shè)OC＝b，則BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b?b，解得b＝3或5，當(dāng)b＝5時(shí)，OB＝2b＝10，此時(shí)B與M重合，不符題意，舍去，∴b＝3，∴k＝b?b＝9，故答案為：9．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝圖象上，且y軸平分∠ACB，求k＝．解：過A作AE⊥x軸，垂足為E，∵C（0，﹣3），∴OC＝3，∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO∴△ADE∽△CDO，∴，∴AE＝1；又∵y軸平分∠ACB，CO⊥BD，∴BO＝OD，∵∠ABC＝90°，∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，∴△ABE∽△DCO，∴設(shè)DE＝n，則BO＝OD＝3n，BE＝7n，∴，∴n＝∴OE＝4n＝∴A（，1）∴k＝．故答案為：．11．如圖，矩形OABC的兩邊落在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限的分支過AB的中點(diǎn)D交OB于點(diǎn)E，連接EC，若△OEC的面積為12，則k＝12．解：如圖，過點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為F、G，則S△OBC＝S矩形OADF＝2S△OEG＝k，又∵EG∥BC，∴△OEG∽△OBC，∴＝（）2＝2，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝，∴k＝12．故答案為12．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，反比例函數(shù)y1＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，反比例函數(shù)y2＝﹣的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則m的值為1．解：作BH⊥x軸，垂足為H，AM⊥y軸，垂足為M，∵∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，∴△BHO∽△AMO，∴，令OM＝a，則BH＝，代入反比例函數(shù)y2＝﹣得：x＝，∴OH＝，得：AM＝，∴，又∵AM?OM＝m，∴m＝1．故答案為1．13．如圖，線段OA與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，且AB＝2OB，點(diǎn)C也在函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，連結(jié)AC并延長AC交x軸正半軸于點(diǎn)D，且AC＝3CD，連結(jié)BC，若△BCD的面積為3，則k的值為．解：如圖，分別過點(diǎn)A，B，C作x軸的垂線，垂足分別為M，E，F(xiàn)．∴BE∥CF∥AM，∴OB：OA＝BE：AM＝OE：OM＝1：3，CD：AD＝DF：DM＝CF：AM＝1：4，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），∴OE＝a，BE＝b，∴AM＝3BE＝3b，OM＝3OE＝3a，∴CF＝AM＝b，∴C（a，b），∴OF＝a，∴FM＝OM﹣OF＝a，∴DF＝FM＝a，∴OD＝OM﹣DF﹣FM＝a．∵△BCD的面積為3，∴△ABC的面積＝3×△BCD的面積＝9，∴△ABD的面積＝12．∴△BOD的面積＝×△ABD的面積＝6．∴?OD?BE＝a×b＝6．解得k＝ab＝．故答案為：．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，過點(diǎn)A作x軸的垂線，與函數(shù)y＝﹣（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，連接BC交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，BC＝3BD，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2．解：作BE⊥x軸于E，∴AC∥BE，∴△CDF∽△BDE，∴＝＝，∵BC＝3BD，∴＝＝，∴CF＝2BE，DF＝2DE，設(shè)B（，b），∴C（1，﹣2b），∵函數(shù)y＝﹣（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，∴k＝2b，∴B的橫坐標(biāo)為＝＝2，故答案為：2．15．如圖，在△ABC中，邊AB在x軸上，邊AC交y軸于點(diǎn)E．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)C，與邊BC交于點(diǎn)D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，則k＝．解：如圖，作CM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AB于點(diǎn)N，設(shè)C（m，），則OM＝m，CM＝，∵OE∥CM，AE＝CE，∴＝＝1，∴AO＝m，∵DN∥CM，CD＝2BD，∴＝＝＝，∴DN＝，∴D的縱坐標(biāo)為，∴＝，∴x＝3m，即ON＝3m，∴MN＝2m，∴BN＝m，∴AB＝5m，∵S△ABC＝6，∴5m?＝6，∴k＝．故答案為：．16．如圖，A為反比例函數(shù)（其中x＞0）圖象上的一點(diǎn)，在x軸正半軸上有一點(diǎn)B，OB＝4．連接OA，AB，且OA＝AB＝2．過點(diǎn)B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)（其中x＞0）的圖象于點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，則的值為．解：過點(diǎn)A作AH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，AH交OC于點(diǎn)M，如圖所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，6）．∵A為反比例函數(shù)（其中x＞0）圖象上的一點(diǎn)，∴k＝2×6＝12．∵BC⊥x軸，OB＝4，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝上，∴BC＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴，故答案為．17．如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于坐標(biāo)原點(diǎn)O，四個(gè)頂點(diǎn)分別在雙曲線y＝和y＝（k＜0）上，＝，平行于x軸的直線與兩雙曲線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF，則△OEF的面積為．解：作AM⊥x軸于M，DN⊥x軸于N，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOM+∠DON＝∠ODN+DON＝90°，∴∠AOM＝∠ODN，∵∠AMO＝∠OND＝90°，∴△AOM∽△ODN，∴＝（）2，∵A點(diǎn)在雙曲線y＝，＝，∴S△AOM＝×4＝2，＝，∴＝（）2，∴S△ODN＝，∵D點(diǎn)在雙曲線y＝（k＜0）上，∴|k|＝，∴k＝﹣9，∵平行于x軸的直線與兩雙曲線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∴S△OEF＝+＝，故答案為．18．如圖，已知直線l：y＝﹣x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，雙曲線（k＞0，x＞0）與直線l不相交，E為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，EF⊥y軸于點(diǎn)F，分別與直線l交于點(diǎn)C，D，且∠COD＝45°，則k＝8．解：點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，4），即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD，∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO，∴OD2＝CD?DA，設(shè)點(diǎn)E（m，n），則點(diǎn)D（4﹣n，n），點(diǎn)C（m，4﹣m），則OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16，CD＝（m+n﹣4），DA＝n，即2n2﹣8n+16＝（m+n﹣4）×n，解得：mn＝8＝k，故答案為8．19．如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，CD平行于x軸，直線AC交x軸于點(diǎn)E，BC⊥AC，連接BE，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，已知S△BCE＝2，則k的值是4．解：（解法一）過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，BC＝AD．又∵BC⊥AC，∴DA⊥AC．∵CD平行于x軸，∴∠ACD＝∠CEO．∵CO⊥OE，DA⊥AC，∴∠ECO＝∠D．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，）（m＞0），則CD＝m，OC＝DF＝．在Rt△CAD中，CD＝m，∠CAD＝90°，AD＝m?cos∠D．在Rt△COE中，OC＝，∠COE＝90°，CE＝＝．S△BCE＝CE?BC＝?m?cos∠D＝k＝2，解得：k＝4；（解法二）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n）（m＞0，n＞0），則CD＝m，OC＝n，∵CD∥x軸，∴∠ACD＝∠OEC．∵四邊形ABCD為平行四邊形，BC⊥AC，∴DA⊥AC，AD＝BC，∴∠DAC＝∠COE＝90°，∴△COE∽△DAC，∴＝，即＝，∴mn＝BC?CE．∵S△BCE＝BC?CE＝2，∴mn＝2S△BCE＝4．∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝mn＝4．故答案為：4．20．如圖，A為反比例函數(shù)y＝（其中x＞0）圖象上的一點(diǎn)，在x軸正半軸上有一點(diǎn)B，OB＝4．連接OA，AB，且OA＝AB．過點(diǎn)B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)y＝（其中x＞0）的圖象于點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，則的值為．解：過點(diǎn)A作AH⊥x軸，垂足為H，AH交OC于點(diǎn)M，如圖，∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝×4＝2，A（2，），C（4，），∵AH∥BC，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝﹣＝，∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝＝．21．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)第三象限內(nèi)圖象上，AC⊥y軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若BO＝CE，則k的值為．解：過點(diǎn)A作AP⊥x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵AC＝BD＝，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)第三象限內(nèi)圖象上，∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣3，∵AC⊥y軸，BD⊥y軸，∴CD＝AP+BQ＝9，OD＝3，AC∥BD，∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，∴△ACE≌△BDE（AAS），∴CE＝DE＝CD＝，∵BO＝CE，∴BO＝，在Rt△BOD中，由勾股定理可得BD2+OD2＝OB2，即，解得k＝或k＝﹣（舍去），故答案為：．22．如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC、BD交于原點(diǎn)O，AE⊥BC于E點(diǎn)，交BD于M點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點(diǎn)N，若BD＝4，則ME的長為．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，BD⊥AC，OB＝OD＝＝2，∠ABC＝2∠OBC，∴點(diǎn)D（0，2），設(shè)點(diǎn)C（m，0），∵點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)，∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)N，∴，解得：，即點(diǎn)，∴，∴，，∴∠OBC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴，∵AE⊥BC，∴，∴．故答案為：．23．如圖，平面坐標(biāo)系中，AB交矩形ONCM于E、F，若＝（m＞1），且雙曲線y＝也過E、F兩點(diǎn)，記S△CEF＝S1，S△OEF＝S2，用含m的代數(shù)式表示．解：過點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，如圖所示：∵CM⊥y軸，F(xiàn)G⊥y軸，∴CM∥FG，MC＝FG，∴△BME∽△BGF，∴＝＝＝，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），則E（，b），F(xiàn)（a，），∴S1＝×（a﹣）?（b﹣）＝ab；S2＝a?b﹣?﹣?﹣ab＝ab．∴＝．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P、Q在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，PA、QB分別垂直x軸于點(diǎn)A、B，PC、QD分別垂直y軸于點(diǎn)C、D．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為n，△PCD的面積為S1，△QAB的面積為S2．（1）當(dāng)m＝2，n＝3時(shí)，求S1、S2的值；（2）當(dāng)△PCD與△QAB全等時(shí)，若m＝3，直接寫出n的值．解：（1）∵當(dāng)m＝2時(shí)，y＝＝6，∴P（2，6）．∵PA⊥x軸，PC⊥y軸，∴PC＝OA＝2，PA＝OC＝6．∵當(dāng)m＝3時(shí)，x＝＝4，∴Q（4，3）．∵QB⊥x軸，QD⊥y軸，∴DQ＝OB＝4，QB＝OA＝3，∴CD＝OC﹣OD＝3，AB＝OB﹣OA＝2，∴S1＝CD?CP＝×3×2＝3，S2＝AB?QB＝×2×3＝3．（2）∵m＝3，∴P（3，4），∴PC＝OA＝3，當(dāng)△PCD≌△QBA時(shí)，∵QB＝PC＝3，∴n＝3；當(dāng)△PCD≌△ABQ時(shí)，∵PC＝OA＝3，∴AB＝PC＝3，∴OB＝OA+AB＝3+3＝6．∵點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴y＝＝2，∴n＝2．綜上所述，n＝2或3．25．如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足k1x+b＞的x的取值范圍；（3）若點(diǎn)P在線段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）∵反比例函數(shù)y＝經(jīng)過A（1，2），∴k2＝1×2＝2，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，∵B（﹣2，n）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴n＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），∵直線y＝k1x+b經(jīng)過A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+1；（2）觀察圖象，k1x+b＞的x的取值范圍是﹣2＜x＜0或x＞1；（3）設(shè)P（x，x+1），∵S△AOP：S△BOP＝1：4，∴AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，解得x1＝，x2＝2（舍去），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．26．如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分別以O(shè)A、OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，D是邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與C、B重合），反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D且與邊BA交于點(diǎn)E，連接DE．（1）連接OE，若△EOA的面積為2，則k＝4；（2）連