協(xié)方差相關(guān)系數(shù)

一、協(xié)方差二、相關(guān)系數(shù)§4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)一、協(xié)方差定義1：稱數(shù)值E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}為X,Y的協(xié)方差，記為Cov(X,Y)(Covariance)或σxy，即：σxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

(1)

說(shuō)明：

1)由定義1，若(X,Y)是離散型的，則

若(X,Y)是連續(xù)型的，則2)由方差的定義知D(X)=σxx，D(Y)=σyy

3)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

=σxx+σyy+2σxy

(4)

4)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(5)且由方差的性質(zhì)3知：當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，σxy＝0，但反之不一定。反例：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度是f(x,y)=，x2+y2≤10

，其它求：σXX，σXY，σYYσxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

(1)

反例：

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度是解：

E(X)=E(Y)=0σXX=σYY=1/4

，σXY＝0

故X與Y不相互獨(dú)立可見(jiàn)σXY＝0是隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立的必要條件而非充分條件.f(x,y)=，x2+y2≤10

，其它σxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

(1)

注:對(duì)二維正態(tài)向量而言，σXY＝0是X,Y相互獨(dú)立的充要條件?！?.4例2曾證明X,Y獨(dú)立的充要條件是ρ＝0，以下例題將證明ρ＝0與σXY＝0等價(jià)。

例1設(shè)(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，求σXY。解：

E(X)=μ1，E(Y)=μ2，σXX=σ12，σYY=σ22

例1設(shè)(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，求σXY。二、協(xié)方差的性質(zhì)1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，a,b是常數(shù)

3.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)4.,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a和b，使成立．三、相關(guān)系數(shù)定義2

為隨機(jī)變量X,Y的相關(guān)系數(shù)(分母不為零)，有時(shí)簡(jiǎn)記ρ

顯然，對(duì)二維正態(tài)分布N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)而言，其相關(guān)系數(shù)為ρ.ρxy的含義：以X的線性函數(shù)a+bX來(lái)近似表示Y，以均方誤差來(lái)衡量以a+bX近似表達(dá)Y的好壞程度，e越小表示a+bX與Y的近似程度越好，因此，我們?nèi),b使e取到最小定義2

解得由(8)易得定理

1)|ρxy|≤12)|ρxy|=1的充要條件是：存在常數(shù)a,b使P{Y=a+bX}=1

相關(guān)系數(shù)ρxy的含義：

ρxy是一個(gè)可以用來(lái)衡量X,Y之間線性關(guān)系緊密程度的量，當(dāng)|ρxy

|較大時(shí)，X,Y就線性關(guān)系而言聯(lián)系較緊密，我們稱X,Y線性相關(guān)的程度較好，當(dāng)|ρxy|=1時(shí)，X,Y

之間以概率1存在著線性關(guān)系，當(dāng)ρxy

＝0時(shí)，稱X和Y不相關(guān)。說(shuō)明：

1)當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，ρ＝0，但反之卻不一定，只有在二維正態(tài)向量中X,Y相互獨(dú)立<=>X,Y不相關(guān)(ρ＝0)2)ρ是表征X,Y的線性關(guān)系的，ρ很小并不說(shuō)明X,Y之間沒(méi)有關(guān)系，如若X～N(0,1)，Y=X2，則ρxy＝0，但Y是X的二次曲線

例1中設(shè)(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，則有

這說(shuō)明二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度的參數(shù)就是X和Y的相關(guān)系數(shù)，因而二維正態(tài)隨機(jī)變量的分布完全由X和Y的數(shù)學(xué)期望、方差以及它們的相關(guān)系數(shù)所確定．

對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y)，X和Y不相關(guān)與X和Y相互獨(dú)立是等價(jià)的．例2

將一枚均勻的硬幣擲n次，以X和Y分別表示正面朝上和反面朝上的次數(shù)，試求X和Y的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)．解

由題意可知，

X和Y的相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)等于－1，這是因?yàn)榭偸浅闪ⅲ?/p>

例3對(duì)于(X,Y)，已知D(X)=D(Y)=1，ρxy＝1/2

，求D(X－2Y)解：

四、矩

定義3設(shè)X是隨機(jī)變量，若E(Xk)，k=1,2,…存在，稱它為X的k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱k階矩

若E[X-E(X)]k,k=1,2,…存在，稱它為X的k階中心矩

若E(XkYl),k,l=1,2,…存在，稱它為X和Y的k+l階混合矩。

若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}存在，稱它為X和Y的k+l階混合中心矩

由以上定義知E(X)是X的一階原點(diǎn)矩，D(X)是X的二階中心矩，Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩。

定義3設(shè)X是隨機(jī)變量，若E(Xk)，k=1,2,…存在，稱它為X的k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱k階矩*性質(zhì)：

1）n維隨機(jī)變量（X1，X2，…，Xn）服從n維正態(tài)分布的充要條件是X1，X2，…，Xn的任意的線性組合l1X1+l2X2+…+lnXn都服從一維正態(tài)分布。2）若（X1，X2，…，Xn）服從n維正態(tài)分布，設(shè)Y1,Y2,…,Yk,(k=1,2,…,n)是X