山東省泰安市高三四輪檢測數(shù)學試題

高三四輪檢測數(shù)學試題2024.05注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡1.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由得出，將代入求得的值，進而解出集合即可.【詳解】因為，所以，即，，所以，解得或，即.故選：B.2.已知向量，，且，則（）A.2 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量平行的充要條件列方程即可求解.【詳解】因為向量，，且，所以，解得.故選：D.3.已知且，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】分析】由誘導公式可得，根據(jù)平方關(guān)系，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系得.【詳解】由誘導公式得，所以，又因為，所以，所以.故選：B.4.某圓錐高為，母線與底面所成的角為，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出該圓錐底面圓的半徑為r，再利用勾股定理求出母線長，代入表面積公式求解即可.【詳解】由圓錐高為，母線與底面所成角為，得圓錐底面圓半徑，母線，所以圓錐的表面積.故選：A5.已知等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線的準線交于A，B兩點，，則C的實軸長為（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】設出雙曲線方程（引入?yún)?shù)），將拋物線準線方程代入可表示出，由此即可列方程求解參數(shù)，進而得解.【詳解】由題意，設等軸雙曲線C的方程為：，而拋物線的準線的準線為，將代入得，，由題意，所以，解得，所以C的實軸長為.故選：C.6.設是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，則的值為（）A.2 B.1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由題意求出函數(shù)的周期，再利用奇偶性代入求值即可.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，且，則，所以，所以函數(shù)的周期為，所以故選：D.7.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】由模長公式結(jié)合題設條件得條件等式，結(jié)合模長公式將所求轉(zhuǎn)換為求二次函數(shù)最值即可.【詳解】設，而，所以，即，所以，等號成立當且僅當，綜上所述，的最小值為.故選：A.8.已知定義域為R的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對所要比較的式子適當變形，構(gòu)造函數(shù)證得，結(jié)合已知即可進一步求解.【詳解】因為定義域為R的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以定義域為R的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，令，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，即，而定義域為R的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上所述，.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出適當?shù)暮瘮?shù)，從而得出，由此即可順利得解.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，的圖象關(guān)于中心對稱B.當時，將圖象向右平移個單位長度后的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱C.當時，在上單調(diào)遞減D.設的周期為T，若時，，為方程的兩個不相等實根，則【答案】ABD【解析】【分析】由已知可得結(jié)合每個選項條件計算可判斷其正確性.【詳解】對于A：當時，又，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故A正確；對于B：當時，將圖象向右平移個單位長度后的函數(shù)為所以為偶函數(shù)，所以將圖象向右平移個單位長度后的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故B正確；對于C：當時，因為，所以，所以在上不是單調(diào)遞減函數(shù)，故C錯誤；設的周期為T，若時，則，解得，當時，由則可得或，所以，當時，由則可得或，所以，故D正確.故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.設A，B為兩個事件，且，，則B.若變量x與變量y滿足關(guān)系，變量y與變量z是正相關(guān)，則x與z負相關(guān)C.若在一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，6中增加一個數(shù)據(jù)4，則方差變小D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗（），可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯的概率不大于0.05【答案】ACD【解析】【分析】由條件概率公式可得，可判斷A；由題意可得x與z正相關(guān)，判斷B；計算兩組數(shù)據(jù)的方差可判斷C；由獨立性檢驗可判斷D.【詳解】對于A：設A，B為兩個事件，且，則，又，故A正確；對于B：若變量x與變量y滿足關(guān)系，則變量x與變量y是正確定關(guān)系，又變量y與變量z是正相關(guān)，所以x與z正相關(guān)，故B錯誤；對于C：一組數(shù)據(jù)為2，3，3，4，6，則，所以，若在2，3，3，4，6中增加一個數(shù)據(jù)4，則，則，又，故若在一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，6中增加一個數(shù)據(jù)4，則方差變小，故C正確；對于D：因為，有的把握判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，即判斷錯誤的概率不大于0.05，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在五邊形中，四邊形為正方形，，，F(xiàn)為AB中點，現(xiàn)將沿折起到面位置，使得，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面平面B.若為的中點，則平面C.折起過程中，點的軌跡長度為D.三棱錐的外接球的體積為【答案】ABD【解析】【分析】首先說明，結(jié)合已知，從而證明平面，即可判斷A，由，即可證明B，過點作交于點，求出，即可求出點的軌跡長度，從而判斷C，連接，即可證明平面，從而得到三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，求出外接球的半徑，即可求出球的體積，即可判斷D.【詳解】對于A：由題意得，所以，即，而已知，且注意到，，平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故A正確；對于B：因為為的中點，所以，又，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；對于C：因為四邊形為正方形，，，所以，過點作交于點，則，所以折起過程中，點的軌跡是以為圓心，為半徑，圓心角為的圓弧，所以點的軌跡長為，故C錯誤；對于D：連接，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又四邊形為邊長為的正方形，則三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，又四邊形外接圓的直徑為，，設四棱錐的外接球的半徑為，則，即，所以，所以外接球的體積，即三棱錐的外接球的體積為，故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是證明平面平面，從而確定點的旋轉(zhuǎn)角，即可判斷B，D選項關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求四棱錐的外接球的體積.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.多項式的展開式中常數(shù)項為160，則實數(shù)a的值為__________.【答案】【解析】【詳解】根據(jù)多項式的展開式的通項公式，找到常數(shù)項，建立方程，求解實數(shù)a的值.【解答】多項式展開式的通項公式為令，解得，所以可知展開式中常數(shù)項為，解得故答案為：．13.在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若，且，則的面積為________.【答案】【解析】【分析】設的外接圓半徑為，由已知條件及正弦定理可得到，進而有，再使用已知條件及余弦定理即可推知，最后用面積公式即可.【詳解】設的外接圓半徑為，則.所以，故，從而.而，故，得.故答案為：.14.已知橢圓C：的左，右焦點分別為，，點M，N在C上，且滿足且，若，則C的離心率為________.【答案】##【解析】【分析】先設出點的坐標，再利用向量共線列方程組得到，然后帶入方程即可得到的值，根據(jù)橢圓定義可求得的值，再由余弦定理建立方程求出離心率.【詳解】如圖所示，設，且，，由，得，，所以，即①，又，可化為，將①式代入得，，即，配方整理得，，所以，即，則，又由，，得，，因為，所以，所以，根據(jù)余弦定理，，，所以，解得，所以..【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列的前n項和為，，對任意，是與的等差中項.（1）求的公比q；（2）求的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）思路一：由之間的關(guān)系結(jié)合公比的定義即可得解；思路二：結(jié)合等比數(shù)列求和公式分公比是否為1進行討論即可求解；（2）首先求得，然后結(jié)合分組求和法、錯位相減法以及等比數(shù)列求和公式即可得解.【小問1詳解】法一：為等比數(shù)列，，∵，∴，∴，∴.法二：∵，，當時，，整理得，解得或，當時，由得，不成立，舍去，∴.【小問2詳解】由（1）知，，∴，設，的前項和為，則，，，∴，∴.16.增強青少年體質(zhì)，促進青少年健康成長，是關(guān)系國家和民族未來的大事.某高中為了解本校高一年級學生體育鍛煉情況，隨機抽取體育鍛煉時間在（單位：分鐘）的50名學生，統(tǒng)計他們每天體育鍛煉的時間作為樣本并繪制成如下的頻率分布直方圖，已知樣本中體育鍛煉時間在的有5名學生.（1）求a，b的值；（2）若從樣本中體育鍛煉時間在的學生中隨機抽取4人，設X表示在的人數(shù)，求X的分布列和均值.【答案】（1），（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）體育鍛煉時間在的頻率為，可求，利用面積和等于，可求；（2）樣本中體育鍛煉時間在的有5名學生，在的有3名學生，可得，利用超幾何分布可求分布列與數(shù)學期望.【小問1詳解】因為體育鍛煉時間在頻率為，所以，又因為，所以【小問2詳解】樣本中體育鍛煉時間在的有5名學生，在的有3名學生則，，，，所以X的分布列為X0123P所以.17.如圖，在三棱柱中，，.（1）證明：；（2）若平面平面，D為上一點且，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）只需證明平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)以及線線平行的性質(zhì)即可得證；（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出兩個平面的法向量，由向量夾角公式即可得解.【小問1詳解】取BC中點E，連接AE、，∵，∴，又∵，，∴為正三角形，∴，又∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴.【小問2詳解】∵平面平面，由（1）知，平面平面，平面，∴平面，而平面，所以，又，所以，，兩兩互相垂直，故以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，∴，，，，∵，∴，又∵，∴，∴，，設平面的法向量為，則，∴，取，則，.∴，設平面的法向量為，則，∴，取，則，，∴，∴，∴平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知直線l：分別與x軸，直線交于點A，B，點P是線段AB的垂直平分線上的一點（P不在x軸負半軸上）且.（1）求點P的軌跡C的方程；（2）設l與C交于E，F(xiàn)兩點，點M在C上且滿足，延長MA交C于點N，求的最小值.【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）結(jié)合題意得出幾何關(guān)系，由拋物線定義即可得解；（2）一方面：設，，聯(lián)立與拋物線的方程，由韋達定理得，設，，同理可得，，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算、基本不等式即可得解.【小問1詳解】由題意，如圖，∵，∴，又∵不在軸負半軸上，∴與直線垂直，又∵，∴點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，∴點軌跡方程為.【小問2詳解】由得，∵與交于兩點，∴，設，，則，又∵，∴，∵的斜率為，∴直線的方程為，設，，同理得，，∴，當且僅當即時取到“=”，∴的最小值為16.19.在數(shù)學中，由個數(shù)排列成的m行n列的數(shù)表稱為矩陣，其中稱為矩陣A的第i行第j列的元素.矩陣乘法是指對于兩個矩陣A和B，如果4的列數(shù)等于B的行數(shù)，則可以把A和B相乘，具體來說：若，，則，其中.已知，函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若是的兩個極值點，證明：，.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意，，求導得，從而可以分是否為0進行討論，時，可以繼續(xù)分是否大于0進行討論，結(jié)合導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，首先利用導數(shù)證明得到，進一步有，從而即可順利得解.【小問1詳解】由矩陣乘法定義知，，