專題322雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)-原卷版

專題3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【基本知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：雙曲線的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)【特別注意】(1)雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小，e越大，開(kāi)口越大．(2)等軸雙曲線（實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線）的離心率為eq\r(2)，漸近線方程為y＝±x.(3)雙曲線的漸近線方程要注意焦點(diǎn)所在軸的位置．(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.知識(shí)點(diǎn)2：由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式．(2)巧設(shè)雙曲線方程的技巧①與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．②漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．知識(shí)點(diǎn)3：求雙曲線的離心率(1)直接法：若可求得a，c，則直接利用e＝eq\f(c,a)得解．(2)齊次式法：若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．知識(shí)點(diǎn)4：雙曲線定義的應(yīng)用雙曲線的第二定義：當(dāng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e＝eq\f(c,a)(e>1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線．【題型1雙曲線的焦點(diǎn)、焦距、長(zhǎng)軸、短軸的求解】【例1】（20232024?高二上?山東淄博?期中A． B． C． D．【變式11】（20232024?高二上?貴州黔東南州?期末）【變式12】（20232024?高二上?天津市河?xùn)|區(qū)?期末）A．16 B．8 C．4 D．3【變式13】（20232024?高二上?江蘇揚(yáng)州?期末）（多選）橢圓CA．有相同的焦點(diǎn) B．有相等的焦距C．有相同的對(duì)稱中心 D．可能存在相同的頂點(diǎn)【題型2利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】【例2】（20232024?高二上?廣東佛山?期末）已知雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為8，兩個(gè)頂點(diǎn)分別為橢圓E:A．x29?C．x225?【變式21】（20232024?高二上?安徽?月考）已知等軸雙曲線C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)AA．x236?y236=1 B．【變式22】（20232024?高二上?黑龍江鶴崗市?月考）（多選）已知雙曲線C：x2a2?y2A．離心率為54 B．雙曲線過(guò)點(diǎn)C．漸近線方程為3x±4y=0 D．實(shí)軸長(zhǎng)為4【變式23】（20232024?高二上?山東泰安?月考）已知雙曲線C漸近線方程為，兩頂點(diǎn)間的距離為6，則該雙曲線【變式24】（20232024?高二上?浙江嘉興?期中）由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線??下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（A.? B.?C? D.?【變式25】（20232024?高二上?湖北孝感?月考）已知雙曲線M(1)若M經(jīng)過(guò)拋物線y=?x2+8x?14(2)若雙曲線M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為M上的一點(diǎn)，且PF【題型3雙曲線的漸近線方程】【例3】（20232024?高二下?浙江?期中）雙曲線A. B. C. D.【變式31】（20232024?高二上?湖南?期中）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)為，則A.B.C.D.【變式32】（20232024?高二上?上海?期中）雙曲線x2?y2=1在左支上一點(diǎn)P(a,b)【變式33】（20232024?高二下?吉林?期中）若圓M：x?22+y2A．1 B．2 C．2 D．2【變式34】（20232024?高二上?山東菏澤?期中）（多選）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：A.C的離心率為2 B.C的漸近線方程為C.C的實(shí)軸長(zhǎng)為2 D.C的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為【題型4求雙曲線的離心率的值】【例4】（20232024?高三上?山東日照?期末）已知雙曲線C:x2a【變式41】（20232024?高二上?山東菏澤?期中）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),F,AA．3 B．62 C．2 D．【變式42】（20222023?高二上?山東菏澤?期中）設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2【變式43】（20232024?高二上?山東青島?期中）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【變式44】（20232024?高二上?山東菏澤?期中）（多選）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)為，且，雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)．若，則（）A. B. C. D.【題型5求雙曲線的離心率的取值范圍】【例5】（20232024?高二上?山東濟(jì)南?期中）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【變式51】（20232024?高二上?山東泰安?期末）（多選）已知曲線（為實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（A.若，則該曲線為雙曲線B.若該曲線是橢圓，則C.若該曲線離心率為，則D.若該曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則離心率【變式52】（20232024?高三下?山東菏澤?校級(jí)月考）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2?y【變式53】（20232024?高三下?山東菏澤?模擬）已知e1,e2分別為橢圓x2A．2 B．3 C．4 D．5【題型6根據(jù)雙曲線的離心率求值或取值范圍】【例6】（20232024?高二上?山東棗莊?期末）若離心率為的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則（）A. B. C. D.【變式61】（20232024?高二上?安徽?期中）已知雙曲線的離心率是分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，則的值為_(kāi)_________.【變式62】（20232024?高二上?重慶?期中）（多選）已知雙曲線的離心率為，該雙曲線的漸近線與圓交于、兩點(diǎn)，則的可能取值為（）A.4 B. C. D.8【變式63】（20232024?高二上?廣東東莞?月考）已知雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M?a,0，N【題型7雙曲線的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題】【例7】（20232024?高二下?浙江?月考）江南水鄉(xiāng)多石拱橋，現(xiàn)有等軸雙曲線形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬米，若水面上升5A.米 B.米 C.米 D.30米【變式71】（20232024?高二上?山東煙臺(tái)?月考

【變式72】（20232024?高二上?浙江溫州?期中）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線的右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光纖經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F1．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為x2a2?y

【變式73】（20222023?高二上?山東德州?期中）（多選）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長(zhǎng)線過(guò)左焦點(diǎn)．若雙曲線C的方程為，則（）A.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為B.若，則C.當(dāng)n過(guò)點(diǎn)時(shí)，光線由所經(jīng)