專(zhuān)題11規(guī)律探索-11

數(shù)字周期：

【經(jīng)典例題1】觀察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…,

解答下面問(wèn)題：2+22+23+24+...+22015-1的末位數(shù)字是（）

A.OB.3C.4D.8

【解析】B

練習(xí)1-1觀察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,,

根據(jù)其中的規(guī)律可得70+7'+72+...+72019的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（）

A.0B.1C.7D.8

【解析】A

練習(xí)1-2觀察下列等才=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,■■■.

解答下列問(wèn)題：3+32+33+3”+...+3202。的末尾數(shù)字是（）

A.OB.2C.3D.9

【解析】D

【經(jīng)典例題2】如圖，點(diǎn)。為正六邊形的中心，P,Q分別從點(diǎn)A（l,0）同時(shí)出發(fā)，

沿正六邊形的邊按圖示方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)。的速

度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，則第2020次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（一2，2）B.（1,0）C.（一2，-2JD.（-1,0）

【解析】由題意可得：OA^OB=AB=1

正六邊形的周長(zhǎng)為1x6=6

???點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度

二第一次相遇的時(shí)間為6+（1+2）=2S

此時(shí)點(diǎn)P的路程為1x2=2,點(diǎn)P，Q第一次相遇的地點(diǎn)為點(diǎn)C

依次類(lèi)推，得出：

點(diǎn)P,Q第二次相遇的地點(diǎn)為點(diǎn)E,

點(diǎn)P,Q第三次相遇的地點(diǎn)為點(diǎn)A,

點(diǎn)P,Q第四次相遇的地點(diǎn)為點(diǎn)C,

???點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)的相遇是3次一循環(huán),

2020=3x673+1

.?.第2020次相遇的地點(diǎn)為點(diǎn)C

...OC=OA=1,4coM=30°

/.CM==—OC=—

2222

c(-g,

故選：A.

練習(xí)2-1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4-2,0),8(1,

2),C(l,-2).已知M—1，0),作點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,點(diǎn)、Ni關(guān)于點(diǎn)B

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，點(diǎn)N2關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,點(diǎn)M

關(guān)于點(diǎn)6的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，……，依此類(lèi)推，則點(diǎn)心020的坐標(biāo)為

［解析］(T,8)

練習(xí)2-2如圖，已知菱形ABC。的頂點(diǎn)為4（一小，0）,ZDAB=60°,若動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)，沿A>B>C>D>A>B>…的路徑，在菱形的邊上

以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，則第2020秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

［解析］（0，-1）

練習(xí)2-3已知：如圖，等邊三角形0A8的邊長(zhǎng)為2小，邊OA在x軸正半軸上,

現(xiàn)將等邊三角形OAB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°,則第2020次旋轉(zhuǎn)結(jié)束

后，等邊三角形中心的坐標(biāo)為.

口I3

1-11_____

［解析］（0，—2）

練習(xí)2-4如圖，將正六邊形ABCDEF放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A（-2,0）,點(diǎn)3在

原點(diǎn)，把正六邊形ABCDE/沿x軸正半軸作無(wú)滑動(dòng)的連密翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60。,

經(jīng)過(guò)2020次翻轉(zhuǎn)之后，點(diǎn)。的坐標(biāo)是

\.（4038,0）B.（4038,243）

C.14037幣）D.（4040,2不）

【解析】B

練習(xí)2-5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形Q4BC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

ZAOC=60°,ZABC=90。，=2,將四邊形OABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到

四邊形OA^iG，依此方式，繞點(diǎn)。連續(xù)旋轉(zhuǎn)71次得到四邊形。4田7c71，那么點(diǎn)

瑪|的坐標(biāo)是（）

A.（0,V3+l）B.（3,0）C.e6-1）D.（-3,0）

【解析】連接AC交x軸于F點(diǎn)，

已知NABC=90°,ZAOC=60°,OA=2

???四邊形OABC關(guān)于％軸對(duì)稱(chēng)，

...AC垂直于OB,ZCBO=ZABO=45°,FB=AF,ZAOF=ZCOF=30°,

.?.OF=G，F(xiàn)B=1,

，。8=百+1

???將四邊形。鉆。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，旋轉(zhuǎn)71次

四邊形。鉆C最后會(huì)旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸的負(fù)半軸上，

?,?點(diǎn)勒的坐標(biāo)是僅，-6-1）.

練習(xí)2-6如圖，矩形04BC的頂點(diǎn)。（0,0）,8（-2,2g）,若矩形繞點(diǎn)。

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)60。,則第2017秒時(shí)，矩形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

A.(-1,G)B.(-1,-3)C.(-2,0)D.(1,-3)

【解析】???四邊形OABC是矩形，AC、OB是對(duì)角線

BD=OD

?矩形0ABe的頂點(diǎn)。(0,0),5(-2,26),

：.D(-1,6),

過(guò)。作軸于點(diǎn)E,

,：D(-1,百)，。門(mén)"由

,DE=6,OE=I,

tanZZ)OE=—=6,

OE

...NOOE=60。，

V60°x2017-?360°=336-,

6

；-X360°=60°,

6

又.旋轉(zhuǎn)336周時(shí)，。點(diǎn)剛好回到起始位置，

第2017秒時(shí)，矩形繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)3369周，此時(shí)。點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上,

6

?/DO=ylOE2+DE2=可=2

,此時(shí)。點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,

練習(xí)2-7如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°

后得到正方形依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2018次得到正方形

04201832018c2018,如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,那么點(diǎn)歷018的坐標(biāo)為（）

A.(1,1)B.(0,應(yīng))C.(_a,0)D.(-1,1)

【解析】???四邊形0ABe是正方形，04=1,

：.B(1,1),

連接OB,在RtXOAB中，由勾股定理得：OB=夜，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：OB=OBI=OB2=OB3=,

ABi(0,夜)，&(-1,1),83(-夜，0),...?

360+45=8,每8次一循環(huán)，20184-8=252...2,

，點(diǎn)&018的坐標(biāo)為(7,1).

故答案為：D.

練習(xí)2-8將直角三角形紙板0A8按如圖所示方式放置在平面直角坐標(biāo)系中，OB

在X軸上，0B=4,0A=26將三角形紙板繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)

60。，則第2019秒時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為()

(3,-百)C.(-3,73)D.(0,2

叢)

【解析】360-60=6,

即每6秒一循環(huán)，

2019-6=336...3,

即2019秒時(shí)，點(diǎn)A與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，

?.?04=4,ZAOB=30°,

可得：43,G),

.?.第2019秒時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-3,一6),

故答案為：A.

練習(xí)2-9如圖，在AQ鉆中，頂點(diǎn)。(0,0),A(-3,4),B(3,4),將AOAB與正方

形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3))D.(3,-10)

【解析】???A(-3,4),5(3,4),

AB=3+3=6,

???四邊形ABCD為正方形，

AD-AB-6,

.,.0(—3,10),

?.?70=4x17+2,

...每4次一個(gè)循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于AOAB與正方形ABCD組成的

圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°,

...點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,-10).

故選D.

練習(xí)2-10如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形0ABe繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°

后得到正方形OAiBICl,稱(chēng)為一次旋轉(zhuǎn)，依此方式，……,繞點(diǎn)。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2

019次得到正方形QA2019B2019c2019,如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),那么點(diǎn)

82019的坐標(biāo)為.

【解析】由旋轉(zhuǎn)及正方形性質(zhì)可得：

51(0,a),&(-1,1),&(一及,0),&(-1,-1),85(0,一⑸,氏(1,

T),&(夜，0),……

，360+45=8,

2019-8=252....3,

二點(diǎn)&019落在X軸負(fù)半軸上,

即民019（—V2,0）,

故答案為：（一下,0）.

練習(xí)2-11平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABC。如圖所示，Q4=3,點(diǎn)。在線段

的垂直平分線上，若菱形A8CD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒45。，則第

70秒時(shí)點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為（）

A.(20,3)B.(-273,-3)C.(3,-2@D.卜3,2⑹

?四邊形A8CO是菱形,

?AB=AD9

?點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上,

?AD=BD，

?43=4）=,即△A3。為等邊三角形,

.ZDAB=ZABO=^)°,

在RtAAOB中,

nA

Vsin60°=—,

AB

AB=AD=―—=—T=-=2-\/3

，sin60°yj3,

2

?.?360+45=8（秒），70+8=8……6,

45°X6=270°,

...第70秒時(shí)點(diǎn)。的位置與第6秒時(shí)點(diǎn)。的位置相同，設(shè)點(diǎn)。此時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

連接OD,ED',

ZDOD'=360°-270°=90°,

二易證:△AODQAED,O,

：.D'E=OA=3,OE=DA=2yfi,

：.。'（3,-2月，即第70秒時(shí)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為（3,-2月）.

二故選：C.

練習(xí)2-12如圖，點(diǎn)3為*軸上一點(diǎn)，以。8為邊作等腰三角形。區(qū)4,且

45=08=2,ZAB（9=150°.現(xiàn)將△084繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，第1次旋轉(zhuǎn)30。,

第2次旋轉(zhuǎn)60。，第3次旋轉(zhuǎn)30。，第4次旋轉(zhuǎn)60?！来诉M(jìn)行下去，則第60

次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A.(2+>/^,-1)B.卜2-61)C.^0,—\/6—>/2jD.(>/6+V2,oj

【解析】如圖，由題意可得：△084旋轉(zhuǎn)8次回到原位置，

過(guò)4作49,08于2

\AB=OB^2,430=150°,

：.ZAOB=ZBAO=\50,

...ZAB。=30°,

AD=1,BD=V22-l2=g,

OD=2+\[?>,

A（2+6,l）,

由60+8=7…4,

所以，與A4重合，

而4與A關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),

，》（-2-6

練習(xí)2-13已知：如圖，等邊三角形。出的邊長(zhǎng)為2百，邊Q4在x軸正半軸上，

現(xiàn)將等邊三角形。鉆繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),每次旋轉(zhuǎn)60。,則第2020次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后,

等邊三角形中心的坐標(biāo)為（）

A.B.(0,-1)C.\/3,—ljD.(0,-2)

【解析】過(guò)點(diǎn)B作BD±OA于D,過(guò)點(diǎn)0作OFLAB于F,BD與OF相交于點(diǎn)

E,則點(diǎn)E是等邊三角形的中心.

???等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為26

/.0D=6，NAOF=30°

.?.DE=tan30°OD

OE=2

依題意可知：OE每次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，那么每6次又回到原位置.

2020+6=336…4

￡4（0,-2）

故選：D

練習(xí)2-14如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形Q4PB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)8次，點(diǎn)P依

次落在點(diǎn)片，鳥(niǎo)，鳥(niǎo)，外…，則點(diǎn)尸9的橫坐標(biāo)是（）

A.5B.6C.7D.9

y

I4

/P---BC----P■=-r-*-P-----**

''、；''、；'、、；'、、;

XI\I\IX?

\?\|X?\????

_____________:「Ss-丫

練習(xí)2-15如圖，矩形A3CD的兩邊BC、8分別在x軸、V軸上，點(diǎn)C與原點(diǎn)重

合,點(diǎn)A（-l,2）,將矩形ABCD沿x軸向右翻滾,經(jīng)過(guò)一次翻滾點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A,,

經(jīng)過(guò)第二次翻滾點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為為…以次類(lèi)推，經(jīng)過(guò)2020次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)

A2020的坐標(biāo)為（）

A;------Dr---------

-8（Q-0''x

A.（2524,2）B,（2524,1）

C.（3029,2）D.（3029,1）

【解析】觀察圖形可得經(jīng)過(guò)4次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)一循環(huán)，

2020+4=505,

?.?點(diǎn)A（-1,2）,矩形的周長(zhǎng)為：2（1+2）=6,

,經(jīng)過(guò)2020次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2020的坐標(biāo)為（6x505-1,2）,即（3029,2）.

故選C.

練習(xí)2-16如圖所示，矩形43CO的兩邊BC、CD分別在x軸、V軸上，點(diǎn)。與

原點(diǎn)重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為G1,2）,將矩形ABCD沿x軸向右翻滾，經(jīng)過(guò)第1次翻

滾點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為4,經(jīng)過(guò)第2次翻滾點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為人……依此類(lèi)推，經(jīng)過(guò)

第5次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為人的坐標(biāo)為（）

K

A,—D……

B0(C)X

A.(5,2)B.(6,0)C.(8,1)D.(8,0)

【解析】如下圖所示:

小

AL

/I：1；1A5

一——:,***?r---

f1__。1bWAi■I_____0、X

由題意可得上圖，經(jīng)過(guò)5次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)A5的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)上圖中的坐標(biāo)，故

A5的坐標(biāo)為：（8,1）.

故選：C.

練習(xí)2-17如圖，線段。4,08分別從與％軸和丁軸重合的位置出發(fā)，繞著原點(diǎn)。

順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，已知04每秒轉(zhuǎn)動(dòng)45。，08的轉(zhuǎn)動(dòng)速度是每秒轉(zhuǎn)動(dòng)30。，則第2020

秒時(shí)，與0B之間的夾角的度數(shù)為（）

B'

-o'AX

A.90°B.145°C.150°D.165°

［解析】第2020秒時(shí)，線段OA旋轉(zhuǎn)度數(shù)=2020x45°=909000,

線段OB旋轉(zhuǎn)度數(shù)=2020x30。=60600。，

9090()°^360°=252……180°,60600°^360°=168……120°,

此時(shí)OA、OB位置如圖所示，

OA與OB之間的夾角度數(shù)=270°-120。=150°.

故選：C.

練習(xí)2-18在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正方形。45c繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

45。后得到正方形04AG，依此方式，繞點(diǎn)。連續(xù)旋轉(zhuǎn)202()次得到正方形

%02o3202oGo20,那么點(diǎn)A2020的坐標(biāo)是()

''I22)L22J

【解析】???四邊形OABC是正方形，且OA=1,

AA(0,1),

???將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形OAIBIC”

發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2020+8=252…余4,

故點(diǎn)AO2O~A,即4()20坐標(biāo)是(°，-1),

故選:A.

【經(jīng)典例題31在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)智能機(jī)器人接到的指令是：從原點(diǎn)。

出發(fā)，按“向上一向右一向下一向右”的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)

度，其移動(dòng)路線如圖所示，第一次移動(dòng)到點(diǎn)4,第二次移動(dòng)到點(diǎn)4……第〃次

移動(dòng)到點(diǎn)4,則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是()

A.(1010,0)B.(1010,1)C.(1009,0)D.(1009,1)

y

(4iA2AiAtAg

OJ4JA4AyAgA12X

【解析】4(0,1),A2(1,1),A3(1,0),4(2,0),4(2,1),4

(3,1)，…，

由智能機(jī)器人移動(dòng)的規(guī)律看出：每移動(dòng)4次將在x軸上向右前進(jìn)2個(gè)單位長(zhǎng)度,

V2019-4=504...3,

；?完成504次移動(dòng)后，機(jī)器人回到x軸，離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：504X2=1008個(gè)

單位長(zhǎng)度，

接下來(lái)機(jī)器人還需繼續(xù)按規(guī)律移動(dòng)3次，再次到達(dá)x軸，水平前進(jìn)了1個(gè)單位長(zhǎng)

度，此時(shí)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：1008+1=1009個(gè)單位長(zhǎng)度，

???A2019的坐標(biāo)是(1009,0).

故選C

練習(xí)3-1如圖，連接在一起的兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為1cm,一個(gè)微型機(jī)器人由點(diǎn)

A開(kāi)始按ABCDE/CG4…的順序沿正方形的邊循環(huán)移動(dòng)，當(dāng)微型機(jī)器人移動(dòng)了

2021c加時(shí)，它停在點(diǎn).

GD

【解析】???兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為1cm,

，從A開(kāi)始移動(dòng)%cm后回到點(diǎn)A,

,.?2021+8=252…5,

移動(dòng)2021cm時(shí)停在點(diǎn)尸處.

故答案為：F.

練習(xí)3-2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,1),8(-1,1),C(-

1,-3),。(2,-3),點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿4-

8-C-。-A…的規(guī)律在圖邊形A8CD的邊上循環(huán)運(yùn)動(dòng)，則第2019秒時(shí)點(diǎn)尸的

A.(1,1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(2,

-1)

【解析】由點(diǎn)A(2,1),B(-1,1),C(-1,-3),D(2,-3),

可知ABCD是長(zhǎng)方形，

，AB=CD=3,CB=AD=4,

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿著A-B-C-D回到點(diǎn)A所走路程是：3+3+4+4=14,

?.?2019+14=144余3,

.?.第2019秒時(shí)P點(diǎn)在B處，

.,.P(-1,1)

故選C.

練習(xí)3-3根據(jù)下圖中箭頭指向的規(guī)律，從2018到2019再到2020,箭頭的方向是

()

練習(xí)3-4如圖所示，一動(dòng)點(diǎn)從半徑為2的。。上的A0點(diǎn)出發(fā)，沿著射線A0。

方向運(yùn)動(dòng)到上的點(diǎn)A］處，再向左沿著與射線A1。夾角為60。的方向運(yùn)動(dòng)

到。。上的點(diǎn)A2處；接著又從A2點(diǎn)出發(fā)，沿著射線A2O方向運(yùn)動(dòng)到。。上

的點(diǎn)A3處，再向左沿著與射線A3。夾角為60。的方向運(yùn)動(dòng)到。。上的點(diǎn)A4

處；……按此規(guī)律運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A2017處，則點(diǎn)A2017與點(diǎn)A0間的距離是一

【解析】由圖分析可知，4點(diǎn)與A)點(diǎn)重合，

2017-6=336.......1,

即點(diǎn)A2017與4重合，

的半徑為2,

...點(diǎn)A2017與點(diǎn)A0間的距離是4.

練習(xí)3-5如圖，動(dòng)點(diǎn)P從(0,3)出發(fā)，沿如圖所示的方向(看圖中的編號(hào))運(yùn)動(dòng)，

每當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第2020次碰到矩

形的邊時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(1,4)B.(5,0)C.(6,4)D.(8,3)

y

練習(xí)3-6如圖I,彈性小球從點(diǎn)P(0,1)出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到正

方形。ABC的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到正方形

的邊時(shí)的點(diǎn)為PG2,0),第2次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P2,……，第〃次

碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn,則點(diǎn)「2019的坐標(biāo)是()

A.(0,1)B.(-4,1)C.(-2,0)D.(0,3)

【解析】根據(jù)圖象可得：Pi(-2,0),P2(-4,1),P3(0,3),P4(-2,4),P5(-4,0),P6(0,l),

PI(-2,0)

2019-6=336....3,

即P2019(0,3),

故答案為：D.

練習(xí)3-7如下面的圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將4"O繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到4

AB/C/的位置，點(diǎn)8、O分別落在坊、G處，點(diǎn)為在x軸上；再將』AB/G繞著點(diǎn)為

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到4A/BQ2的位置，點(diǎn)。2在x軸上；再將/A/B/G繞著點(diǎn)C2順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)到4位2c2的位置，點(diǎn)為在x軸上；…；依次進(jìn)行下去.若點(diǎn)哈以0,4),則

^2020的坐標(biāo)為.

練習(xí)3-8如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A4O3的頂點(diǎn)A為。1),8為(1,0).第1次

變換：先將AAOB關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到冉；第2次

變換：先將AA。聲關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到兇2。2員

依此規(guī)律，得到△4020°2020/nt).則點(diǎn)4()20的坐標(biāo)是()

A.(2019,-1)B.(2020,-1)C.(4040,1)D.(2020,1)

【解析】VA(0,1),B(l,0),

，OA=1,OB=1,

/.OiAi=l,A,(1,-1),

OBi=OB+BBi=2,

:.A?(2,1),同理可得A3(3,-1)……,

An(n,(-1)n)

所以A2020(2020,1),

故選：D

練習(xí)3-9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動(dòng)并且

按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形.第一次滾動(dòng)后點(diǎn)

4(0,2)變換到點(diǎn)4(6,0),得到等腰直角三角形②；第二次滾動(dòng)后點(diǎn)4變換到

點(diǎn)4(6,0),得到等腰直角三角形③；第三次滾動(dòng)后點(diǎn)A3變換到點(diǎn)4(10,46)，

得到等腰直角三角形④；第四次滾動(dòng)后點(diǎn)4變換到點(diǎn)A5(10+12，L0),得到等

腰直角三角形⑤；依此規(guī)律…，則第20三個(gè)等腰直角三角形的面積是.22。2。.

練習(xí)3-10如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△AB。繞點(diǎn)A順指針旋轉(zhuǎn)到△AeG

的位置，點(diǎn)8、。分別落在點(diǎn)5、G處，點(diǎn)自在x軸上，再將△ABiG繞點(diǎn)囪

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C2的位置，點(diǎn)。2在4軸上，將443c2繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

到△A282c2的位置，點(diǎn)A2在光軸上，依次進(jìn)行下去...，若點(diǎn)A6，0),B(0,

'：OA=-,。3=4,ZAOB=9Q°,

3

13

在放△BO4中，由勾股定理得：AB=y,

可得：Bi(10,4),84(20,4),&(30,4),...

.,?點(diǎn)B2016橫坐標(biāo)為10080.

故答案為：D.

練習(xí)3-11如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-3,0),B(0,4),對(duì)AOAB

連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到△1,△2,△3,A4,則△2019的直角頂點(diǎn)的

【解析】???點(diǎn)A(-3,0)>B(0,4),

由勾股定理得：AB=5,

由圖可知，三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)，經(jīng)歷一次循環(huán)前進(jìn)的水平距離為：12,

2019+3=673,直角頂點(diǎn)在x軸上，

673x12=8076,

...△2019的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(8076,0).

故答案為：A.

【經(jīng)典例題4】如圖，一段拋物線>=-x(x-1)(OWxW/)記為啊，它與x軸的

交點(diǎn)為。，4,頂點(diǎn)為P/；將四繞點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)180。得到加2,交x軸于點(diǎn)為42,頂點(diǎn)

為舄；將加2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180。得到啊，交X軸于點(diǎn)為為，頂點(diǎn)為舄；……，如此

進(jìn)行下去，直至到叫2,頂點(diǎn)為匕，則頂點(diǎn)小的坐標(biāo)為.

練習(xí)4-1在平面直角坐標(biāo)系中，若干個(gè)半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，圓心角為60。的扇

形組成一條連續(xù)的曲線，點(diǎn)尸從原點(diǎn)O出發(fā)，沿這條曲線向右上下起伏運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)在直線上的速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)在弧線上的速度為？個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，

A.（2021,百）B.喈1,乎）

C.（2021,2^）D.（2021,0）

22

【解析】設(shè)第〃秒運(yùn)動(dòng)到P”（〃為自然數(shù)）點(diǎn)，

觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

P1（二，@）,22（1,0）,23（2，-立），24（2,0）,05（2,立），…，

222222

尸4"+1（一,），24"+2（—>0），P4n+3（一，-——），尸4"+4（一,0），

222222

V2021=4x505+l,

故選：B.

練習(xí)4-2如圖，函數(shù)尸「,一?￡,二?的圖象記為C1,它與龍軸交于點(diǎn)

-2x+8（2<x<4）

。和點(diǎn)Al,將Cl繞點(diǎn)Al選擇180。得。,交x軸于點(diǎn)A2……，如此進(jìn)行下去，

若點(diǎn)尸（103,加）在圖象上，則根的值是（）

A.-2B.2C.-3D.4

【解析】由圖可知：橫坐標(biāo)每間隔8個(gè)單位，函數(shù)值相同，即函數(shù)圖象重復(fù)

周期為8,103-8=12.......5,當(dāng)45時(shí)，y=~2,

BfJm=—2,

故答案為：A.

【經(jīng)典例題4】如圖，已知點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)A2在x軸的正半軸上，且NAN2。

=30°,過(guò)點(diǎn)4作A2A3L4p42,交y軸于點(diǎn)4；過(guò)點(diǎn)4作A3A4，AM3，交x軸

于點(diǎn)A4；過(guò)點(diǎn)A4作A4A5_LA3A4,交y軸于點(diǎn)A5；.......；按此規(guī)律進(jìn)行下去，則

點(diǎn)A2021的坐標(biāo)為()

A.(0,31011)B.(-31011,0)C.(0,31010)D.(-31010,0)

【解析】通過(guò)解直角三角形可得出點(diǎn)A2的坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)A3,A4,A5,A6,

4,…的坐標(biāo)，

根據(jù)坐標(biāo)的變化可得出變化規(guī)律"點(diǎn)4"+1的坐標(biāo)為(0,32?)(?為正整數(shù))”，

再結(jié)合2021=505x4+1即可得出點(diǎn)A2021的坐標(biāo)，此題得解.

所以本題選C.

練習(xí)4-1如圖，所有正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)，且各邊與x軸或y軸平行.從

內(nèi)到外，它們的邊長(zhǎng)依次為2,4,6,8,頂點(diǎn)依次用Ai,Az,A3,A4,...

表示，則頂點(diǎn)A55的坐標(biāo)是()

A.(13,13)B.(-13,-13)C.(14,14)D.(-14,-14)

yk

練習(xí)4-2如圖，在一單位為1的方格紙上，的44，AA3A4A，A&44…，都

是斜邊在X軸上，斜邊長(zhǎng)分別為2,4,6,…的等腰直角三角形，若AAA24的頂

點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(2,0),4(1,-1),4(0,0),則依圖中所示規(guī)律，4020的坐標(biāo)為

A(1010,0)B.(1012,0)C.(2,1012)D.(2,1010)

【解析】???各三角形都是等腰直角三角形，

，直角頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的長(zhǎng)度為斜邊的一半，

A2(1,-1)，A4(2,2),A6(1,-3),A8(2,4),A10(1,-5),A12(2,

6),...,

?.?2020+4=505,

二點(diǎn)A2020在第一象限，橫坐標(biāo)是2,縱坐標(biāo)是2020+2=1010,

???A2020的坐標(biāo)為(2,1010).

故選：D.

練習(xí)4-3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形。4兇2的直角邊04在y

軸的正半軸上，且QAI=AIA2=1,以04為直角邊作第二個(gè)等腰直角三角形QAM3,

以為直角邊作第三個(gè)等腰直角三角形QAM4,…，依此規(guī)律，得到等腰直角

三角形0^2()17^2018＞則點(diǎn)^2017的坐標(biāo)為

【解析】由題意知：4(0,1),4(1,1),。42=4必3=上，043=2,

???4(2,0),

同理，AQ—2),4(0,—4),4(一4,一4),4(一8,0),4(一8,8),4(0,16)……

每隔8個(gè)點(diǎn)恰好處于同一坐標(biāo)系或象限內(nèi)，2017+8=252……1,

即點(diǎn)Azo”在y軸正半軸上，橫坐標(biāo)為0,

各點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為：2。,2。⑵⑵2,22,23,23,……

2017-2=1008...1,

可得點(diǎn)A20I7的縱坐標(biāo)為：2回8,

故答案為(0,21。。8).

練習(xí)4-4如圖，邊長(zhǎng)為1的菱形ABCO中，ZDAB=60°.連接對(duì)角線AC,以AC

為邊作第二個(gè)菱形ACGOi,使NOiAC=60。；連接AG,再以AG為邊作第三個(gè)

菱形AGQ02,使N￡MG=60。；…，按此規(guī)律所作的第〃個(gè)菱形的邊長(zhǎng)

為

【解析】???四邊形ABC。是菱形ZDAB=60°,

：.AB=BC=1,NACB=NC4B=30。,

:.AC=坦AB=M,

同理可得：ACi=j3AC=(6)2,AC三幣AC\=30=(Q)3,……

第〃個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為：(由廣，

故答案為：(石廣.

練習(xí)4-5如圖，在一個(gè)單位為1的方格紙上，2\44243,44以以5,4454/17,...,

是斜邊在%軸上、斜邊長(zhǎng)分別為2,4,6,…的等腰直角三角形.若△4A2A3

的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(2,0),A2(l,-1),4(0,0),則依圖中所示規(guī)律，A2019的

橫坐標(biāo)為()

【解析】觀察圖形可知，奇數(shù)點(diǎn)在x軸上，偶數(shù)點(diǎn)在象限內(nèi)，

所以A2019在x軸上，

Ai,4,49,43……，4"_3在x正半軸，4〃-3=2019,“=505.5,所以A2019

不在x正半軸上；

A3(0,0),\i(-2,0),Ai(-4,0),A15(-8,0)...,

3=4x0+3,7=4xl+3,11=4x2+3,15=4x3+3,....,2019=4x504+3,

/.-2x504=-1008,

即A2019的坐標(biāo)為(—1008,0),

故答案為：A.

練習(xí)4-6如圖所示,把多塊大小不同的30。角三角板,擺放在平面直角坐標(biāo)系中，

第一塊三角板AOB的一條直角邊與x軸重合且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,ZABO

=30°,第二塊三角板的斜邊BBi與第一塊三角板的斜邊AB垂直且交x軸于點(diǎn)

Bi,第三塊三角板的斜邊B\B.與第二塊三角板的斜邊BB\垂直且交y軸于點(diǎn)&,

第四塊三角板斜邊以氏與第三塊三角板的斜邊以&垂直且交x軸于點(diǎn)按此

規(guī)律繼續(xù)下去，則線段052020的長(zhǎng)為（）

A.2x(V3)2020B.2x(V3)2021C.(73)2020D.(?)2021

【解答】解：由題意可得，

*/OB=OA?tan60°=2x?=2?,

：.B(0,273)，

VOB]=6)B?tan60°=2>/3xV3=2x(^3)2>

：.Bi(-2x(V3)2,0),

V6)B2=OBi4an60o=2x(5/3)3,

：.B2(0,-2x(V3)3),

4

V<?B3=OB2*tan60°=2x(V3),

.?.&(2x(V3)4,0),

二線段O&02。的長(zhǎng)為2x（?）2021

故選：B.

練習(xí)4-7如圖，一動(dòng)點(diǎn)在第一象限及x軸、y軸上運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)

度，在第1秒，它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(0,1),然后接著按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)[即(0,

0)—(0,1)一(1,1)-(1,0)一…],那么第35秒時(shí)該點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(5,1)B.(0,5)C.(5,0)D.(5,5)

/口=

'LJI____

【解析】C

練習(xí)4-8如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，且A(-2,0),E(-3,0),

點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，在正方形ABCO的邊上沿上A-3-C-。-A的方向以每秒及

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，在總的上方作等腰直角三角形且PE=EF,則

第2019秒時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

A.(-2,4)B.(-2,2)C.(-4,2)D.(-4,4)

【解析】在正方形ABCD中，A點(diǎn)坐標(biāo)(-2,0),

正方形ABCD邊長(zhǎng)AB=2也，

又二?點(diǎn)P沿著A-B-C-D-A的方向，以每秒行個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)2019秒，

，點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)路程為20198，此時(shí)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)，

...點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)E坐標(biāo)為G3,0),且APEF為等腰直角三角形，

???點(diǎn)F坐標(biāo)為(-4,4),

故選：D.

練習(xí)4-9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形。4A2的直角邊04在y軸

的正半軸上，且。4/=442=/,以。42作第二個(gè)等腰直角三角形OA2A3,以。A3作

第二個(gè)等腰直角三角形。43A4,……，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形OA20"A2020,

則4020的坐標(biāo).

練習(xí)4-10如圖，四邊形ABC。是正方形，曲線D4囚…是由一段段90度

的弧組成的.其中：［