2024高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專項(xiàng)突破導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用含解析

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用單選題1、（2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B．2、若函數(shù)在處的切線方程為，則，的值為（）A．2,1 B．-2，-1 C．3,1 D．-3，-1【答案】C【解析】將代入切線，得到切點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入到函數(shù)解析式中，得到，所以，求導(dǎo)得，代入得，所以，得.故選：C.3、直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，假如直線與曲線相切，那么等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，則直線方程為：直線與曲線相切，，切點(diǎn)為代入直線方程解得：故選：A4、（2024·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B,C都不滿意這兩個(gè)條件.又當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，則選項(xiàng)D不符合這個(gè)條件，因此A正確.故選：A5、（2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)）已知曲線在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則（）A． B．a(chǎn)=e，b=1C． D．，【答案】D【解析】∵∴切線的斜率，，將代入，得.故選D．6、（2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）設(shè)函數(shù).若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x所以f'(0)=1,f(0)=0，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f'(0)x，化簡(jiǎn)可得y=x.故選D.7、（2025屆山東師范高校附中高三月考）已知在區(qū)間上有極值點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,由于函數(shù)在上有極值點(diǎn)，所以在上有零點(diǎn).所以，解得.故選：D.8、若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最小值是（）A． B．-1 C． D．【答案】A【解析】由，又在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即在上恒成立.又當(dāng)時(shí)，，故，所以的最小值為.故答案選A9、（2024年高考全國III卷理數(shù)）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D．10、（2025屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）若函數(shù)的極大值是，微小值是，則（）A．與有關(guān)，且與有關(guān) B．與有關(guān)，且與無關(guān)C．與無關(guān)，且與無關(guān) D．與無關(guān)，且與有關(guān)【答案】C【解析】∵，∴，令，得，或，當(dāng)改變時(shí)，、的改變?nèi)缦卤恚哼f增極大值遞減微小值遞增∴，，∴，故選：C．11、（2024年高考江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是.【答案】4【解析】由，得，設(shè)斜率為的直線與曲線切于，由得（舍去），∴曲線上，點(diǎn)到直線的距離最小，最小值為.故答案為．12、（2024·山東省淄博試驗(yàn)中學(xué)高三上期末）已知、、、，從這四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，使函數(shù)有極值點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】f′（x）＝x2+2mx+1，若函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)，則f′（x）有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故△＝4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，而a＝log0.55＜﹣2，0＜b＝log32＜1、c＝20.3＞1，0＜d＝（）2＜1，滿意條件的有2個(gè)，分別是a，c，故滿意條件的概率p，故選：B．13、（2025屆山東師范高校附中高三月考）已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意設(shè)，則，又當(dāng)時(shí)，，則有，所以在上單調(diào)遞減，又在上是偶函數(shù)，所以，所以是偶函數(shù)，所以，又為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)，且定義域?yàn)?，則有，解得或，即不等式的解集為，故選：B.14、（2025屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）當(dāng)直線和曲線E：交于三點(diǎn)時(shí)，曲線E在點(diǎn)A，點(diǎn)C處的切線總是平行的，則過點(diǎn)可作曲線E的切線的條數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】直線過定點(diǎn)由題意可知：定點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，，解得，所以曲線，f′（x）=，設(shè)切點(diǎn)M（x0，y0），則M縱坐標(biāo)y0=，又f′（x0）=，∴切線的方程為：又直線過定點(diǎn)，得﹣-2=0，，即解得：故可做兩條切線故選C多選題15、已知函數(shù)的定義域?yàn)榍覍?dǎo)函數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是A．函數(shù)的增區(qū)間是， B．函數(shù)的增區(qū)間是， C．是函數(shù)的微小值點(diǎn) D．是函數(shù)的微小值點(diǎn)【答案】【解析】：依據(jù)題意，由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)為增函數(shù)；據(jù)此分析選項(xiàng)：函數(shù)的增區(qū)間是，，則正確，錯(cuò)誤；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的微小值點(diǎn)，則正確，錯(cuò)誤；故選：．16、已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中真命題的為A．的單調(diào)減區(qū)間是 B．的微小值是 C．當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意的且，恒有（a）（a） D．函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】【解析】：，其導(dǎo)函數(shù)為．令，解得，，當(dāng)時(shí)，即，或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有微小值，微小值為（2），當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò)誤，正確；，且，（a）（a），恒有（a）（a），故正確；故選：．17、（2025屆山東師范高校附中高三月考）已知函數(shù)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，以下幾個(gè)結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】函數(shù),,∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即，

,

,,即A選項(xiàng)正確,B選項(xiàng)不正確;

,即C正確,D不正確.

故答案為:AC.18、（2024秋?煙臺(tái)期中）已知函數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．當(dāng)時(shí)，【答案】【解析】：．正確；因?yàn)榱睿谏鲜窃龊瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，即．．錯(cuò)誤；因?yàn)榱?，，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減．與無法比較大?。e(cuò)誤；因?yàn)榱?，，時(shí)，，在單調(diào)遞減，時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，．當(dāng)時(shí)，，，．．正確；因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞增，又正確，故選：．填空題19、（江蘇省如皋市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研）已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)（1，）處的切線為l，則l在y軸上的截距為________.【答案】1【解析】函數(shù)f(x)=ax?lnx,可得,切線的斜率為：，切點(diǎn)坐標(biāo)(1,a),切線方程l為：y?a=(a?1)(x?1)，l在y軸上的截距為：a+(a?1)(?1)=1.故答案為1.20、（江蘇省南通市西亭高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)情調(diào)研）若曲線在處的切線斜率為-1，則___________.【答案】【解析】，.故答案為:-2.21、（2025屆江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高三其次次模擬）設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上，則線段PQ長度的最小值為_________【答案】【解析】由題,因?yàn)榕c互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對(duì)稱,設(shè)點(diǎn)為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:22、（江蘇省南通市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高三第一次調(diào)研抽測(cè)）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是_______.【答案】【解析】令，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以的圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖像如下：因?yàn)椋蓤D像可得：或.故答案為23、（2025屆浙江省十校聯(lián)盟高三下學(xué)期開學(xué)）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，，，其中，若對(duì)隨意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的最小值為______.【答案】【解析】因?yàn)?，由題意可知：，是的根，則，，△，，，當(dāng)時(shí)，，則存在的極大值點(diǎn)，，且，由題意，，將代入得，解可得．又因?yàn)?，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，得即的最小值．故答案為：.解答題24、（2025屆山東省濰坊市高三上期中）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)處有微小值，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為，即.（2）因?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)處有微小值，所以，所以由，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因?yàn)椋?，所以的最大值?25、（2024·夏津第一中學(xué)高三月考）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，探討的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，①?dāng)，即時(shí)，由得或，由得，所以在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；②當(dāng)，即時(shí)，所以在上是增函數(shù)；③當(dāng)，即時(shí)，由得或，由得，所以在，.上是增函數(shù)，在.上是減函綜上可知：當(dāng)時(shí)在，上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在.上是單調(diào)遞增；26、（2024年高考天津）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)隨意的，且，有．【解析】（Ⅰ）（i）當(dāng)時(shí)，，故．可得，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（ii）依題意，．從而可得，整理可得．令，解得．當(dāng)改變時(shí)，的改變狀況如下表：1-0+↘微小值↗所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；的微小值為，無極大值．（Ⅱ）證明：由，得．對(duì)隨意的，且，令，則．①令．當(dāng)時(shí)，，由此可得在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即．因?yàn)?，，所以，．②由（Ⅰ）（ii）可知，當(dāng)時(shí)，，即，故．③由①②③可得．所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意的，且，有．27、（2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)肯定值不大于1的零點(diǎn)，證明：全部零點(diǎn)的肯定值都不大于1．【解析】（1）．依題意得，即.故．（2）由（1）知，.令，解得或.與的狀況為：x+0–0+因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，只有大于1的零點(diǎn).因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，f（x）只有小于–1的零點(diǎn)．由題設(shè)可知，當(dāng)時(shí)，只有兩個(gè)零點(diǎn)和1.當(dāng)時(shí)，只有兩個(gè)零點(diǎn)–1和.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)等點(diǎn)x1，x2，x3，且，，．綜上，若有一個(gè)肯定值不大于1的零點(diǎn)，則全部零點(diǎn)的肯定值都不大于1.28、（2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，探討f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ex+x2–x，則=ex+2x–1．故當(dāng)x∈（–∞，0）時(shí)，<0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，>0．所以f（x）在（–∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．（2）等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，則.（i）若2a+1≤0，即，則當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，>0.所以g（x）在（0，2）單調(diào)遞增，而g（0）=1，故當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g（x）>1，不合題意.（ii）若0<2a+1<2，即，則當(dāng)x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)x∈(2a+1，2)時(shí)，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)單調(diào)遞減，在(2a+1，2)單調(diào)遞增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1當(dāng)且僅當(dāng)g(2)=(7?4a)e?2≤1，即a≥.所以當(dāng)時(shí)，g(x)≤1.（iii）若2a+1≥2，即，則g(x)≤.由于，故由（ii）可得≤1.故當(dāng)時(shí)，g(x)≤1.綜上，a的取值范圍是.29、（2024·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）已知.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于，恒成立；（3）若存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，試求的取值范圍.【解析】（1），當(dāng)時(shí)，.解得．當(dāng)時(shí)，解得．所以單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立．，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減．又，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，即．∴對(duì)于，恒成立．（3）因?yàn)椋桑?）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即對(duì)于，，不存在滿意條件的；當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，此時(shí)．∴，即恒成立，不存在滿意條件的；當(dāng)時(shí)，令，可