2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型學(xué)案含解析新人教A版必修1

PAGE3．2函數(shù)模型及其應(yīng)用3．2.1幾類不同增長的函數(shù)模型內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義．2．區(qū)分指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長速度的差異．3．會選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型分析和解決一些實(shí)際問題.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展邏輯推理應(yīng)用數(shù)學(xué)建模授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第62頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)幾類不同增長的函數(shù)模型eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P95－101，思索并完成以下問題)在教材第三章的章首圖中，我們看到一大群喝水、游戲的兔子，但正是這群兔子曾使澳大利亞人傷透了腦筋.1859年，有人從歐洲帶到澳大利亞幾只兔子，由于澳大利亞牧草茂密，而且沒有兔子的天敵，于是兔子數(shù)目急速增加，不到100年，數(shù)量達(dá)到75億只，這75億只兔子吃掉了相當(dāng)于7.5億只羊所吃的牧草，草原的載畜量大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲畜，這使澳大利亞人頭痛不已．直到20世紀(jì)50年頭，科學(xué)家采納粘液瘤病毒殺死了90%的野兔，才使澳大利亞人松了一口氣．從數(shù)學(xué)上來看，這個問題可以用函數(shù)模型來體現(xiàn)野兔的增長狀況．(1)對函數(shù)y1＝100x，y2＝log100x，y3＝x100，y4＝100x，當(dāng)x越來越大時，增長速度最快的應(yīng)當(dāng)是哪一個函數(shù)？提示：由于指數(shù)函數(shù)的增長是爆炸式增長，則當(dāng)x越來越大時，函數(shù)y4＝100x增長速度最快．(2)若x∈(0,1)，則2x，xeq\f(1,2)，lgx的大小關(guān)系是什么？提示：在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y＝2x，y＝xeq\f(1,2)和y＝lgx的圖象即可得出結(jié)論，即2x＞xeq\f(1,2)＞lgx.學(xué)問梳理指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異一般地，在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上．隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n>0)的增長速度，而y＝logax(a>1)的增長速度則會越來越慢．因此，總會存在一個x0，使得當(dāng)x>x0時，就有l(wèi)ogax<xn<ax(a>1，n>0)．[自我檢測]1．某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個…這樣，一個細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是__________．答案：y＝2x(x∈N*)2．如圖所示的曲線反映的是__________函數(shù)模型的增長趨勢．答案：冪函數(shù)或?qū)?shù)型授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第63頁探究一函數(shù)模型的增長差異[例1](1)下列函數(shù)中隨x增大而增長速度最快的是()A．y＝2019lnx B．y＝x2019C．y＝eq\f(\r(x),2019) D．y＝2019·2x(2)三個變量y1，y2，y3隨著變量x的改變狀況如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.957.27.4則關(guān)于x分別呈對數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)改變的變量依次為()A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2[解析](1)由于指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長，則當(dāng)x越來越大時，函數(shù)y＝2019·2x增長速度最快．(2)通過指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)的增長規(guī)律比較可知，對數(shù)型函數(shù)的增長速度越來越慢，變量y3隨x的改變符合此規(guī)律；指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長，y2隨x的改變符合此規(guī)律；冪函數(shù)型函數(shù)的增長速度越來越快，y1隨x的改變符合此規(guī)律，故選C.[答案](1)D(2)C方法技巧1.指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a＞1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，形象地稱為“指數(shù)爆炸”．2．對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a＞1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢．3．冪函數(shù)模型y＝xn(n＞0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間．跟蹤探究1.函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，推斷f(6)，g(6)，f(2019)，g(2019)的大?。馕觯?1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)因?yàn)閒(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2019>x2.從圖象上可以看出，當(dāng)x1<x<x2時，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．當(dāng)x>x2時，f(x)>g(x)，所以f(2019)>g(2019)．又g(2019)>g(6)，所以f(2019)>g(2019)>g(6)>f(6)．探究二方案的擇優(yōu)問題[例2]某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為50元，其成本價(jià)為25元，因?yàn)樵谏a(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出，為了凈化環(huán)境，工廠設(shè)計(jì)兩套方案對污水進(jìn)行處理，并打算實(shí)施．方案一：工廠的污水先凈化處理后再排出，每處理1立方米污水所用原料費(fèi)2元，并且每月排污設(shè)備損耗費(fèi)為30000元；方案二：工廠將污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元的排污費(fèi)．(1)工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時，你作為廠長，在不污染環(huán)境，又節(jié)約資金的前提下應(yīng)選擇哪種方案？通過計(jì)算加以說明；(2)若工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品，你作為廠長，又該如何決策呢？[解析]設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品時，選擇方案一的利潤為y1，選擇方案二的利潤為y2，由題意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)當(dāng)x＝3000時，y1＝42000，y2＝54000，∵y1<y2，∴應(yīng)選擇方案二處理污水．(2)當(dāng)x＝6000時，y1＝114000，y2＝108000，∵y1>y2，∴應(yīng)選擇方案一處理污水．方法技巧不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)不同的函數(shù)模型能刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不同的改變規(guī)律：(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的改變規(guī)律；(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的改變規(guī)律；(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的改變規(guī)律；(4)冪函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的改變規(guī)律．因此，需抓住題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，恰當(dāng)、精確地建立相應(yīng)改變規(guī)律的函數(shù)模型來解決實(shí)際問題．跟蹤探究2.某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴(yán)峻，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y(萬公頃)關(guān)于年數(shù)x(年)的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x解析：將x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分別代入驗(yàn)算．答案：C授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第64頁[課后小結(jié)]1．常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)．(1)直線y＝kx＋b(k＞0)模型，其增長特點(diǎn)是直線上升；(2)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)模型，其增長緩慢；(3)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)模型，其增長快速．2．函數(shù)模型選取的擇優(yōu)意識解題過程中原委選用哪種增長的函數(shù)模型，要依據(jù)題目的詳細(xì)要求進(jìn)行抽象和概括，敏捷地選取和建立數(shù)學(xué)模型．[素養(yǎng)培優(yōu)]圖形信息題的求解誤區(qū)如圖的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用下面對應(yīng)的圖象顯示該容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系，其中正確的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個易錯分析：不能精確的從圖形中提取信息，不會把水的高度的改變速度與圖象的改變趨勢結(jié)合起來，是本題的求解誤區(qū)．自我訂正：圖1不對，因?yàn)檎襟w的底面積是定值，故水面高度的增加是勻稱的，即圖象是直線型的