2022-2023學(xué)年陜西省榆林市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題

高三模擬試題PAGEPAGE1絕密★啟用前榆林市2022～2023年度第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題(文科)考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分。考試時(shí)間120分鐘。2．請(qǐng)將各題〖答案〗填寫(xiě)在答題卡上。3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)z＝－i(1＋2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2．已知集合A＝{x|y＝ln(x＋1)}，B＝{x|2x－1＞－5}，則(RA)∩B＝()(A)(－1，＋∞)(B)(－2，－1)(C)(－2，－1〗(D)(－2，＋∞)3．若m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()(A)若m∥α，α∥β，則m∥β(B)若m⊥α，α⊥β，則m∥β(C)若m∥n，n∥α，則m∥α(D)若m⊥α，α∥β，則m⊥β4．已知tan(α＋EQ\f(π,4))＝9，則tanα＝()(A)EQ\f(4,5)(B)－EQ\f(4,5)(C)EQ\f(3,4)(D)－EQ\f(3,4)5．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2的圖像在x＝1處的切線方程為3x－y＋b＝0，則a＋b＝()(A)－2(B)－1(C)0(D)16．為了解市民的生活幸福指數(shù)，某組織隨機(jī)選取了部分市民參與問(wèn)卷調(diào)查，將他們的生活幸福指數(shù)(滿分100分)按照〖0，20)，〖20，40)，〖40，60)，〖60，80)，〖80，100〗分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方圖，估計(jì)市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為()(A)70(B)EQ\f(200,3)(C)EQ\f(190,3)(D)607．如圖1，某建筑物的屋頂像拋物線，建筑師通過(guò)拋物線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑輕盈、極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì)．若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例處理后可看成圖2所示的拋物線C：x2＝2py(p＞0)的一部分，P為拋物線C上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，若∠OFP＝120°，且|OP|＝EQ\f(\R(21),2)，則p＝()(A)1(B)2(C)3(D)48．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asinA＋(b＋λa)sinB＝csinC，則λ的取值范圍為()(A)(－2，2)(B)(0，2)(C)〖－2，2〗(D)〖0，2〗9．在平行四邊形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，EQ\o\ac(CE,\s\up7(→))＝2EQ\o\ac(ED,\s\up7(→))，EQ\o\ac(BC,\s\up7(→))＝2EQ\o\ac(BF,\s\up7(→))，則EQ\o\ac(AE,\s\up7(→))?EQ\o\ac(EF,\s\up7(→))＝()(A)4(B)eq\f(32,9)(C)eq\f(28,9)(D)310．已知四面體ABCD外接球的球心O與正三角形ABC外接圓的圓心重合，若該四面體體積的最大值為2EQ\r(3)，則該四面體外接球的體積為()(A)8π(B)EQ\f(32π,3)(C)16π(D)EQ\f(64π,3)11．已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝EQ\r(3)sin(ωx＋EQ\f(π,3))＋3cos(ωx＋EQ\f(π,3))在(0，2π)上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的取值范圍為()(A)(eq\f(23,12)，eq\f(35,12)〗(B)〖eq\f(23,12)，eq\f(35,12))(C)(eq\f(35,12)，eq\f(47,12)〗(D)〖eq\f(35,12)，eq\f(47,12))12．已知a2＋lna＝9b4＋2lnb＋1，則下列結(jié)論一定成立的是()(A)a＜b2＋1(B)a＜2b2＋1(C)a＞3b(D)a＜3b2第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x＋3≥0,y－4≤0,x－y－2≤0))，則z＝2x＋y的最小值為▲．14．自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，也稱為歐拉數(shù)，它是數(shù)學(xué)中重要的常數(shù)之一，和π一樣是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，e的近似值約為2.7182818…．若從歐拉數(shù)的前4位數(shù)字2，7，1，8中任選2個(gè)，則至少有1個(gè)偶數(shù)被選中的概率為▲．15．已知函數(shù)f(x)是定義在(－2，2)上的增函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，－2)對(duì)稱，則關(guān)于x的不等式f(x)＋f(x＋2)＋4＞0的解集為▲．16．已知雙曲線C：EQ\f(x2,2)－EQ\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，直線l：x＝my＋2(m＞0)與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(6，0)，以PF為直徑的圓與l相交于F，M兩點(diǎn)，若M為線段AB的中點(diǎn)，則|MF|＝▲．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17題~第21題為必考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．(一)必考題：共60分．17．(12分)第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾正式拉開(kāi)序幕，這是歷史上首次在北半球冬季舉行的世界杯足球賽．某市為了解高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別的關(guān)系，隨機(jī)對(duì)該市50名高中生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表．關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男高中生4女高中生14合計(jì)已知在這50名高中生中隨機(jī)抽取1人，抽到關(guān)注世界杯足球賽的高中生的概率為EQ\f(4,5)．(1)完成上面的2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有90%的把握認(rèn)為該市高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別有關(guān)．附：χ2＝EQ\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d．P(χ2≥k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.82818．(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝3，Sn+1＋Sn＝(n＋1)an+1．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝EQ\f(1,anan+1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．19．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝EQ\r(2)，AB＝2CD＝2．(1)證明：AD⊥PB．(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．20．(12分)已知P(1，0)是橢圓C：eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)，圓E：(x－2)2＋(y－2)2＝4經(jīng)過(guò)C的一個(gè)頂點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若直線l：y＝kx＋1與C相交于M、N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，記直線PM與直線PN的斜率分別為k1、k2，且k1＋k2＝k1k2，求k的值．21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(x－EQ\f(1,2)x2)lnx＋(EQ\f(1,2)k＋EQ\f(1,4))x2－(k＋1)x，k∈R．(1)若k＞0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若k∈Z，且當(dāng)x＞1時(shí)，f'(x)＜lnx＋1，求k的最大值．(二)選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．〖選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〗(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(1，0)，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ,y＝2＋2sinφ))(φ為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin(θ＋eq\f(π,4))－EQ\r(2)＝0．(1)求C的普通方程與l的直角坐標(biāo)方程；(2)若l與C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|＋|PB|．23．〖選修4－5：不等式選講〗(10分)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a－2|＋|x＋3|．(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函數(shù)f(x)＞2，求a的取值范圍．絕密★啟用前榆林市2022～2023年度第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題逐題〖解析〗第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)z＝－i(1＋2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限〖答案〗D〖解析〗z＝－i(1＋2i)＝2－i，所以復(fù)數(shù)z＝－i(1＋2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選(D)．2．已知集合A＝{x|y＝ln(x＋1)}，B＝{x|2x－1＞－5}，則(RA)∩B＝()(A)(－1，＋∞)(B)(－2，－1)(C)(－2，－1〗(D)(－2，＋∞)〖答案〗C〖解析〗因?yàn)锳＝{x|y＝ln(x＋1)}＝{x|x＞－1}，B＝{x|2x－1＞－5}＝{x|x＞－2}，所以(RA)∩B＝(－2，－1〗，故選(C)．3．若m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()(A)若m∥α，α∥β，則m∥β(B)若m⊥α，α⊥β，則m∥β(C)若m∥n，n∥α，則m∥α(D)若m⊥α，α∥β，則m⊥β〖答案〗D〖解析〗(A)(B)(C)中都可能出現(xiàn)線在面內(nèi)的情況，故選(D)．4．已知tan(α＋EQ\f(π,4))＝9，則tanα＝()(A)EQ\f(4,5)(B)－EQ\f(4,5)(C)EQ\f(3,4)(D)－EQ\f(3,4)〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閠an(α＋EQ\f(π,4))＝EQ\f(tanα＋1,1－tanα)＝9，所以tanα＝EQ\f(4,5)，故選(A)．5．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2的圖像在x＝1處的切線方程為3x－y＋b＝0，則a＋b＝()(A)－2(B)－1(C)0(D)1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閒(1)＝1，所以3－1＋b＝0，即b＝－2，而f'(x)＝EQ\f(a,x)＋2x，故k＝f'(1)＝a＋2＝3，解得：a＝1，所以a＋b＝－1，故選(B)．6．為了解市民的生活幸福指數(shù),某組織隨機(jī)選取了部分市民參與問(wèn)卷調(diào)查，將他們的生活幸福指數(shù)(滿分100分)按照〖0，20)，〖20，40)，〖40，60)，〖60，80)，〖80，100〗分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方圖，估計(jì)市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為()(A)70(B)EQ\f(200,3)(C)EQ\f(190,3)(D)60〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?0.0050＋0.0075＋a＋0.0125＋0.0150)×20＝1，解得：a＝0.0100，前3組的頻率之和為0.1＋0.15＋0.2＝0.45，第4組的頻率為0.3，故市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為60＋20×EQ\f(0.5－0.45,0.3)＝EQ\f(190,3)，故選(C)．7．如圖1，某建筑物的屋頂像拋物線，建筑師通過(guò)拋物線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑輕盈、極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì)．若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例處理后可看成圖2所示的拋物線C：x2＝－2py(p＞0)的一部分，P為拋物線C上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，若∠OFP＝120°，且|OP|＝EQ\f(\R(21),2)，則p＝()(A)1(B)2(C)3(D)4〖答案〗A〖解析〗設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線為l，|FP|＝r，過(guò)P作l的垂線交l于A，連結(jié)AP，過(guò)F作FB⊥AF于B，則|BP|＝r－p，因?yàn)椤螼FP＝120°，所以|FP|＝2|BP|，r＝2(r－p)，解得：r＝2p，P(EQ\r(3)p，－EQ\f(3p,2))，|OP|2＝3p2＋EQ\f(9p2,4)＝EQ\f(21p2,4)＝EQ\f(21,4)，解得：p＝1，故選(A)．8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asinA＋(b＋λa)sinB＝csinC，則λ的取值范圍為()(A)(－2，2)(B)(0，2)(C)〖－2，2〗(D)〖0，2〗〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閍sinA＋(b＋λa)sinB＝csinC，所以由正弦定理可得：a2＋b2＋λab＝c2，即：a2＋b2－c2＝－λab＝2abcosC，即：λ＝－2cosC，因?yàn)镃∈(0，π)，所以λ∈(－2，2)，故選(A)．9．在平行四邊形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，EQ\o\ac(CE,\s\up7(→))＝2EQ\o\ac(ED,\s\up7(→))，EQ\o\ac(BC,\s\up7(→))＝2EQ\o\ac(BF,\s\up7(→))，則EQ\o\ac(AE,\s\up7(→))?EQ\o\ac(EF,\s\up7(→))＝()(A)4(B)eq\f(32,9)(C)eq\f(28,9)(D)3〖答案〗B〖解析〗解法1：設(shè)EQ\o\ac(AB,\s\up7(→))＝a，EQ\o\ac(AD,\s\up7(→))＝b，所以EQ\o\ac(AE,\s\up7(→))?EQ\o\ac(EF,\s\up7(→))＝(eq\f(1,3)a＋b)?(eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b)＝eq\f(2,9)a2－eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)a?b＝eq\f(32,9)－2＋2＝eq\f(32,9)，故選(B)．解法2：連結(jié)BD，因?yàn)锳B＝2AD＝4，∠BAD＝60°，所以BD⊥AD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(2，0)，F(xiàn)(－1，2EQ\r(3))，E(－eq\f(2,3)，eq\f(2,3)EQ\r(3))，EQ\o\ac(AE,\s\up7(→))＝(－eq\f(8,3)，eq\f(2,3)EQ\r(3))，EQ\o\ac(EF,\s\up7(→))＝(－eq\f(1,3)，eq\f(4,3)EQ\r(3))，所以EQ\o\ac(AE,\s\up7(→))?EQ\o\ac(EF,\s\up7(→))＝eq\f(32,9)，故選(B)．10．已知四面體ABCD外接球的球心O與正三角形ABC外接圓的圓心重合，若該四面體體積的最大值為2EQ\r(3)，則該四面體外接球的體積為()(A)8π(B)EQ\f(32π,3)(C)16π(D)EQ\f(64π,3)〖答案〗B〖解析〗設(shè)該四面體外接球的半徑為R，體積為V，正三角形ABCD的面積為S，則S＝2R2sinAsinBsinC＝EQ\f(3\R(3)R2,4)，V四面體≤EQ\f(1,3)SR＝EQ\f(\R(3)R3,4)＝2EQ\r(3)，所以R＝2，V＝EQ\f(4πR3,3)＝EQ\f(32π,3)，故選(B)．11．已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝EQ\r(3)sin(ωx＋EQ\f(π,3))＋3cos(ωx＋EQ\f(π,3))在(0，2π)上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的取值范圍為()(A)(eq\f(23,12)，eq\f(35,12)〗(B)〖eq\f(23,12)，eq\f(35,12))(C)(eq\f(35,12)，eq\f(47,12)〗(D)〖eq\f(35,12)，eq\f(47,12))〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閒(x)＝EQ\r(3)sin(ωx＋EQ\f(π,3))＋3cos(ωx＋EQ\f(π,3))＝EQ\r(3)sin(ωx＋EQ\f(2π,3))，令ωx＋EQ\f(2π,3)＝EQ\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，可得：x＝EQ\f((12k－1)π,6ω)，故f(x)的第3個(gè)正極大值點(diǎn)依次為EQ\f(35π,6ω)，第4個(gè)正極大值點(diǎn)依次為EQ\f(47π,6ω)，因?yàn)閒(x)在(0，2π)上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，所以eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(EQ\f(35π,6ω)＜2π,EQ\f(47π,6ω)≥2π))，即：ω∈(eq\f(35,12)，eq\f(47,12)〗，故選(C)．12．已知a2＋lna＝9b4＋2lnb＋1，則下列結(jié)論一定成立的是()(A)a＜b2＋1(B)a＜2b2＋1(C)a＞3b(D)a＜3b2〖答案〗D〖解析〗令f(x)＝x2＋lnx，因?yàn)閍2＋lna＝9b4＋2lnb＋1＜9b4＋2lnb＋ln3＝9b4＋ln3b2，所以f(a)＜f(3b2)，而f(x)在(0，＋∞)上遞增，所以a＜3b2，故選(D)．第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x＋3≥0,y－4≤0,x－y－2≤0))，則z＝2x＋y的最小值為▲．〖答案〗－11〖解析〗易知當(dāng)x＝－3，y＝－5時(shí)，z＝2x＋y取得最小值－11．14．自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，也稱為歐拉數(shù)，它是數(shù)學(xué)中重要的常數(shù)之一，和π一樣是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，e的近似值約為2.7182818…．若從歐拉數(shù)的前4位數(shù)字2，7，1，8中任選2個(gè)，則至少有1個(gè)偶數(shù)被選中的概率為▲．〖答案〗eq\f(5,6)〖解析〗從歐拉數(shù)的前4位數(shù)字2，7，1，8中任選2個(gè)，有(1，2)，(1，7)，(1，8)，(2，7)，(2，8)，(7，8)，共6種可能，沒(méi)有偶數(shù)有1種，故至少有1個(gè)偶數(shù)被選中的概率為eq\f(5,6)．15．已知函數(shù)f(x)是定義在(－2，2)上的增函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，－2)對(duì)稱，則關(guān)于x的不等式f(x)＋f(x＋2)＋4＞0的解集為▲．〖答案〗(－1，0)〖解析〗因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，－2)對(duì)稱，所以f(x)＋f(－x)＝－4，故不等式f(x)＋f(x＋2)＋4＞0可化為：f(x＋2)＞f(－x)，而f(x)是定義在(－2，2)上的增函數(shù)，所以－2＜－x＜x＋2＜2，解得：x∈(－1，0)．16．已知雙曲線C：EQ\f(x2,2)－EQ\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，直線l：x＝my＋2(m＞0)與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(6，0)，以PF為直徑的圓與l相交于F，M兩點(diǎn)，若M為線段AB的中點(diǎn)，則|MF|＝▲．〖答案〗2〖解析〗解法1：設(shè)M(x0，y0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(EQ\f(x2,2)－EQ\f(y2,2)＝1,x＝my＋2))可得：(m2－1)y2＋4my＋2＝0，y0＝－EQ\f(2m,m2－1)，x0＝my0＋2＝－EQ\f(2,m2－1)，kMP＝EQ\f(y0,x0－6)＝EQ\f(m,3m2－2)＝－m，因?yàn)閙＞0，所以m＝EQ\f(\R(3),3)，∠MFP＝60°，故|MF|＝|PF|cos60°＝2．解法2：設(shè)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosφ,y＝tsinφ))(t為參數(shù))，代入C：EQ\f(x2,2)－EQ\f(y2,2)＝1可得：(cos2φ－sin2φ)t2＋4tcosφ＋2＝0，tM＝－EQ\f(2cosφ,cos2φ－sin2φ)＝4cosφ，即：cos2φ＝－EQ\f(1,2)，故φ＝60°，故|MF|＝4cosφ＝2．解法3：根據(jù)雙曲線的焦半徑公式可得：r1＝|AF|＝EQ\f(\R(2),1－\R(2)cosθ)，r2＝|BF|＝EQ\f(\R(2),1＋\R(2)cosθ)(θ為直線l的傾斜角)，即：|MF|＝|PF|cosθ＝4cosθ＝EQ\f(r1－r2,2)＝EQ\f(2cosθ,1－2cos2θ)．cos2θ＝－EQ\f(1,2)，故θ＝60°，故|MF|＝4cosθ＝2．解法4：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，|AF|＝r1，|BF|＝r2，|AP|＝|BP|＝t，在△AF1P中，由中線定理可得：(r1＋2EQ\r(2))2＋t2＝2(req\o\al(\o\ac(,\s\up4(2)),\o\ac(,\s\down3(1)))＋16)，同理可得：(r2＋2EQ\r(2))2＋t2＝2(req\o\al(\o\ac(,\s\up4(2)),\o\ac(,\s\down3(2)))＋16)，兩式相減可得：r1＋r2＝4EQ\r(2)＝EQ\f(2EQ\r(2),1－2cos2θ)．cos2θ＝－EQ\f(1,2)，故θ＝60°，故|MF|＝4cosθ＝2．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17題~第21題為必考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．(一)必考題：共60分．17．(12分)第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾正式拉開(kāi)序幕，這是歷史上首次在北半球冬季舉行的世界杯足球賽．某市為了解高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別的關(guān)系，隨機(jī)對(duì)該市50名高中生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表．關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男高中生4女高中生14合計(jì)已知在這50名高中生中隨機(jī)抽取1人，抽到關(guān)注世界杯足球賽的高中生的概率為EQ\f(4,5)．(1)完成上面的2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有90%的把握認(rèn)為該市高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別有關(guān)．附：χ2＝EQ\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d．P(χ2≥k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828〖解析〗(1)2×2列聯(lián)表如下：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男高中生26430女高中生14620合計(jì)401050(2)χ2＝EQ\f(50(26×6－14×4)2,30×20×40×10)＝EQ\f(25,12)＜2.706，故沒(méi)有90%的把握認(rèn)為該市高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別有關(guān)．18．(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝3，Sn+1＋Sn＝(n＋1)an+1．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝EQ\f(1,anan+1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．〖解析〗(1)因?yàn)镾n+1＋Sn＝(n＋1)an+1，所以Sn+2＋Sn+1＝(n＋2)an+2，兩式相減可得：(n＋2)an+1＝(n＋1)an+2，即：EQ\f(an+2,n＋2)＝EQ\f(an+1,n＋1)，n∈N＋，又因?yàn)閍1＝3，S2＋S1＝2a2，解得：a2＝6，故EQ\f(an,n)＝EQ\f(a2,2)＝3，即：an＝3n，n≥2，n＝1時(shí)，a1＝3也成立，故an＝3n；(2)bn＝EQ\f(1,anan+1)＝EQ\f(1,9n(n＋1))＝EQ\f(1,9)(EQ\f(1,n)－EQ\f(1,n＋1))，故Tn＝EQ\f(1,9)(1－EQ\f(1,n＋1))＝EQ\f(n,9(n＋1))．19．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝EQ\r(2)，AB＝2CD＝2．(1)證明：AD⊥PB．(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．〖解析〗(1)取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP、OB，因?yàn)椤螪AB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝EQ\r(2)，AB＝2，所以AD⊥PO，AD⊥BO，而PO∩BO＝O，PO、BO?平面POB，故AD⊥平面POB，AD⊥PB；(2)BC＝EQ\r(3)，PB＝PC＝2，S△PBC＝EQ\f(\r(13),4)，設(shè)A到平面PBC的距離為h，VA－PBC＝EQ\f(1,3)×S△PBC×h＝VP－ABC＝EQ\f(1,3)×S△ABC×PO，h＝EQ\f(S△ABC×PO,S△PBC)＝EQ\f(4\r(13),13)．20．(12分)已知P(1，0)是橢圓C：eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)，圓E：(x－2)2＋(y－2)2＝4經(jīng)過(guò)C的一個(gè)頂點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若直線l：y＝kx＋1與C相交于M、N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，記直線PM與直線PN的斜率分別為k1、k2，且k1＋k2＝k1k2，求k的值．〖解析〗(1)由題意：橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)為(1，0)，(0，2)，故C的方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1；(2)解法1：聯(lián)立eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x2＋eq\f(y2,4)＝1,y＝kx＋1))可得：(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－EQ\f(2k,k2＋4)，x1x2＝－EQ\f(3,k2＋4)，因?yàn)閗1＋k2＝k1k2，所以eq\f(1,k1)＋eq\f(1,k2)＝EQ\f(x1－1,y1)＋EQ\f(x2－1,y2)＝EQ\f(x1－1,kx1＋1)＋EQ\f(x2－1,kx2＋1)＝1，即：(k2－2k)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋3＝－EQ\f(3(k2－2k),k2＋4)－EQ\f(2k(2k－1),k2＋4)＋3＝0，解得：k＝3或k＝－1(舍去)．解法2：以P為坐標(biāo)原點(diǎn)建立新的坐標(biāo)系，在新坐標(biāo)系下橢圓C的方程為：(x＋1)2＋EQ\f(y2,4)＝1，即：4x2＋8x＋y2＝0，直線l的方程為y－kx＝k＋1(k≠－1)，則4(k＋1)x2＋8x(y－kx)＋4(k＋1)y2＝0，即：4(k＋1)y2＋8xy＋4(1－k)x2＝0，所以4(k＋1)(EQ\f(y,x))2＋8(EQ\f(y,x))＋4(1－k)＝0，因?yàn)閗1＋k2＝k1k2，所以4(1－k)＝－8，解得：k＝3．21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(x－EQ\f(1,2)x2)lnx＋(EQ\f(1,2)k＋EQ\f(1,4))x2－(k＋1)x，k∈R．(1)若k＞0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若k∈Z，且當(dāng)x＞1時(shí)，f'(x)＜lnx＋1，求k的最大值．〖解析〗(1)因?yàn)閒'(x)＝(1－x)(lnx－k)．當(dāng)0＜x＜1或x＞ek時(shí)，f'(x)＜0，當(dāng)1＜x＜ek時(shí)，f'(x)＞0，故f(x)的增區(qū)間為(1，ek)，減區(qū)間為(0，1)和(ek，＋∞)；(2)f'(x)＝(1－x)(lnx－k)＜lnx＋1，即：k(x－1)＜xlnx＋1，因?yàn)閤＞1，所以k＜EQ\f(xlnx＋1,x－1)，令φ(x)＝EQ\f(xlnx＋1,x－1)，φ'(x)＝EQ\f(－lnx＋x－2,(x－1)2)，令r(x)＝－lnx＋x－2，r'(x)＝EQ\f(x－1,x)＞0，所以r(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閞(3)＜0，r(4)＞0，故存在唯一的x0∈(3，4)使得r(x0)＝－lnx0＋x0－2＝0，∴φ(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴φ(x)≥φ(x0)＝EQ\f(x0lnx0＋1,x0－1)＝EQ\f(x0(x0－2)＋1,x0－1)＝x0－1∈(2，3)，而若k∈Z，k＜x0－1，故k的最大值為2．(二)選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．〖選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〗(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(1，0)，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ,y＝2＋2sinφ))(φ為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin(θ＋eq\f(π,4))－EQ\r(2)＝0．(1)求C的普通方程與l的直角坐標(biāo)方程；(2)若l與C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|＋|PB|．〖解析〗(1)因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ,y＝2＋2sinφ))(φ為參數(shù))，所以C的普通方程為：x2＋(y－2)2＝4，即：x2＋y2－4y＝0；而直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin(θ＋eq\f(π,4))－EQ\r(2)＝0，即：EQ\r(2)ρsinθ＋EQ\r(2)ρcosθ－EQ\r(2)＝0，所以l的直角坐標(biāo)方程為：x＋y－1＝0；(2)直線l過(guò)點(diǎn)P(1，0)，設(shè)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，代入x2＋y2－4y＝0可得：t2－3EQ\r(2)t＋1＝0，所以t1＋t2＝3EQ\r(2)＞0，t1t2＝1＞0，故|PA|＋|PB|＝3EQ\r(2)．23．〖選修4－5：不等式選講〗(10分)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a－2|＋|x＋3|．(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函數(shù)f(x)＞2，求a的取值范圍．〖解析〗(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)≥9，即：|x－2|＋|x＋3|≥9．當(dāng)x≥2時(shí)，x－2＋x＋3≥9，解得：x≥4；當(dāng)－3＜x＜2時(shí)，2－x＋x＋3≥9，不成立；當(dāng)x≤－3時(shí)，2－x－x－3≥9，解得：x≤－5；故不等式的解集為(－∞，－5〗∪〖4，＋∞)；(2)|x＋a－2|＋|x＋3|≥|x＋a－2－(x＋3)|＝|a－5|，x＝－3時(shí)，等號(hào)成立，而f(x)＞2，所以|a－5|＞2，解得：a＞7或a＜－3，故a的取值范圍為(－∞，－3)∪(7，＋∞)．高三模擬試題PAGEPAGE1絕密★啟用前榆林市2022～2023年度第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題(文科)考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。2．請(qǐng)將各題〖答案〗填寫(xiě)在答題卡上。3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)z＝－i(1＋2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2．已知集合A＝{x|y＝ln(x＋1)}，B＝{x|2x－1＞－5}，則(RA)∩B＝()(A)(－1，＋∞)(B)(－2，－1)(C)(－2，－1〗(D)(－2，＋∞)3．若m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()(A)若m∥α，α∥β，則m∥β(B)若m⊥α，α⊥β，則m∥β(C)若m∥n，n∥α，則m∥α(D)若m⊥α，α∥β，則m⊥β4．已知tan(α＋EQ\f(π,4))＝9，則tanα＝()(A)EQ\f(4,5)(B)－EQ\f(4,5)(C)EQ\f(3,4)(D)－EQ\f(3,4)5．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2的圖像在x＝1處的切線方程為3x－y＋b＝0，則a＋b＝()(A)－2(B)－1(C)0(D)16．為了解市民的生活幸福指數(shù)，某組織隨機(jī)選取了部分市民參與問(wèn)卷調(diào)查，將他們的生活幸福指數(shù)(滿分100分)按照〖0，20)，〖20，40)，〖40，60)，〖60，80)，〖80，100〗分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方圖，估計(jì)市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為()(A)70(B)EQ\f(200,3)(C)EQ\f(190,3)(D)607．如圖1，某建筑物的屋頂像拋物線，建筑師通過(guò)拋物線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑輕盈、極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì)．若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例處理后可看成圖2所示的拋物線C：x2＝2py(p＞0)的一部分，P為拋物線C上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，若∠OFP＝120°，且|OP|＝EQ\f(\R(21),2)，則p＝()(A)1(B)2(C)3(D)48．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asinA＋(b＋λa)sinB＝csinC，則λ的取值范圍為()(A)(－2，2)(B)(0，2)(C)〖－2，2〗(D)〖0，2〗9．在平行四邊形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，EQ\o\ac(CE,\s\up7(→))＝2EQ\o\ac(ED,\s\up7(→))，EQ\o\ac(BC,\s\up7(→))＝2EQ\o\ac(BF,\s\up7(→))，則EQ\o\ac(AE,\s\up7(→))?EQ\o\ac(EF,\s\up7(→))＝()(A)4(B)eq\f(32,9)(C)eq\f(28,9)(D)310．已知四面體ABCD外接球的球心O與正三角形ABC外接圓的圓心重合，若該四面體體積的最大值為2EQ\r(3)，則該四面體外接球的體積為()(A)8π(B)EQ\f(32π,3)(C)16π(D)EQ\f(64π,3)11．已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝EQ\r(3)sin(ωx＋EQ\f(π,3))＋3cos(ωx＋EQ\f(π,3))在(0，2π)上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的取值范圍為()(A)(eq\f(23,12)，eq\f(35,12)〗(B)〖eq\f(23,12)，eq\f(35,12))(C)(eq\f(35,12)，eq\f(47,12)〗(D)〖eq\f(35,12)，eq\f(47,12))12．已知a2＋lna＝9b4＋2lnb＋1，則下列結(jié)論一定成立的是()(A)a＜b2＋1(B)a＜2b2＋1(C)a＞3b(D)a＜3b2第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x＋3≥0,y－4≤0,x－y－2≤0))，則z＝2x＋y的最小值為▲．14．自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，也稱為歐拉數(shù)，它是數(shù)學(xué)中重要的常數(shù)之一，和π一樣是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，e的近似值約為2.7182818…．若從歐拉數(shù)的前4位數(shù)字2，7，1，8中任選2個(gè)，則至少有1個(gè)偶數(shù)被選中的概率為▲．15．已知函數(shù)f(x)是定義在(－2，2)上的增函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，－2)對(duì)稱，則關(guān)于x的不等式f(x)＋f(x＋2)＋4＞0的解集為▲．16．已知雙曲線C：EQ\f(x2,2)－EQ\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，直線l：x＝my＋2(m＞0)與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(6，0)，以PF為直徑的圓與l相交于F，M兩點(diǎn)，若M為線段AB的中點(diǎn)，則|MF|＝▲．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17題~第21題為必考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．(一)必考題：共60分．17．(12分)第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾正式拉開(kāi)序幕，這是歷史上首次在北半球冬季舉行的世界杯足球賽．某市為了解高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別的關(guān)系，隨機(jī)對(duì)該市50名高中生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表．關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男高中生4女高中生14合計(jì)已知在這50名高中生中隨機(jī)抽取1人，抽到關(guān)注世界杯足球賽的高中生的概率為EQ\f(4,5)．(1)完成上面的2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有90%的把握認(rèn)為該市高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別有關(guān)．附：χ2＝EQ\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d．P(χ2≥k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.82818．(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝3，Sn+1＋Sn＝(n＋1)an+1．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝EQ\f(1,anan+1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．19．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝EQ\r(2)，AB＝2CD＝2．(1)證明：AD⊥PB．(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．20．(12分)已知P(1，0)是橢圓C：eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)，圓E：(x－2)2＋(y－2)2＝4經(jīng)過(guò)C的一個(gè)頂點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若直線l：y＝kx＋1與C相交于M、N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，記直線PM與直線PN的斜率分別為k1、k2，且k1＋k2＝k1k2，求k的值．21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(x－EQ\f(1,2)x2)lnx＋(EQ\f(1,2)k＋EQ\f(1,4))x2－(k＋1)x，k∈R．(1)若k＞0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若k∈Z，且當(dāng)x＞1時(shí)，f'(x)＜lnx＋1，求k的最大值．(二)選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．〖選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〗(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(1，0)，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ,y＝2＋2sinφ))(φ為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin(θ＋eq\f(π,4))－EQ\r(2)＝0．(1)求C的普通方程與l的直角坐標(biāo)方程；(2)若l與C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|＋|PB|．23．〖選修4－5：不等式選講〗(10分)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a－2|＋|x＋3|．(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函數(shù)f(x)＞2，求a的取值范圍．絕密★啟用前榆林市2022～2023年度第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題逐題〖解析〗第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)z＝－i(1＋2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限〖答案〗D〖解析〗z＝－i(1＋2i)＝2－i，所以復(fù)數(shù)z＝－i(1＋2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選(D)．2．已知集合A＝{x|y＝ln(x＋1)}，B＝{x|2x－1＞－5}，則(RA)∩B＝()(A)(－1，＋∞)(B)(－2，－1)(C)(－2，－1〗(D)(－2，＋∞)〖答案〗C〖解析〗因?yàn)锳＝{x|y＝ln(x＋1)}＝{x|x＞－1}，B＝{x|2x－1＞－5}＝{x|x＞－2}，所以(RA)∩B＝(－2，－1〗，故選(C)．3．若m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()(A)若m∥α，α∥β，則m∥β(B)若m⊥α，α⊥β，則m∥β(C)若m∥n，n∥α，則m∥α(D)若m⊥α，α∥β，則m⊥β〖答案〗D〖解析〗(A)(B)(C)中都可能出現(xiàn)線在面內(nèi)的情況，故選(D)．4．已知tan(α＋EQ\f(π,4))＝9，則tanα＝()(A)EQ\f(4,5)(B)－EQ\f(4,5)(C)EQ\f(3,4)(D)－EQ\f(3,4)〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閠an(α＋EQ\f(π,4))＝EQ\f(tanα＋1,1－tanα)＝9，所以tanα＝EQ\f(4,5)，故選(A)．5．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2的圖像在x＝1處的切線方程為3x－y＋b＝0，則a＋b＝()(A)－2(B)－1(C)0(D)1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閒(1)＝1，所以3－1＋b＝0，即b＝－2，而f'(x)＝EQ\f(a,x)＋2x，故k＝f'(1)＝a＋2＝3，解得：a＝1，所以a＋b＝－1，故選(B)．6．為了解市民的生活幸福指數(shù),某組織隨機(jī)選取了部分市民參與問(wèn)卷調(diào)查，將他們的生活幸福指數(shù)(滿分100分)按照〖0，20)，〖20，40)，〖40，60)，〖60，80)，〖80，100〗分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方圖，估計(jì)市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為()(A)70(B)EQ\f(200,3)(C)EQ\f(190,3)(D)60〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?0.0050＋0.0075＋a＋0.0125＋0.0150)×20＝1，解得：a＝0.0100，前3組的頻率之和為0.1＋0.15＋0.2＝0.45，第4組的頻率為0.3，故市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為60＋20×EQ\f(0.5－0.45,0.3)＝EQ\f(190,3)，故選(C)．7．如圖1，某建筑物的屋頂像拋物線，建筑師通過(guò)拋物線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑輕盈、極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì)．若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例處理后可看成圖2所示的拋物線C：x2＝－2py(p＞0)的一部分，P為拋物線C上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，若∠OFP＝120°，且|OP|＝EQ\f(\R(21),2)，則p＝()(A)1(B)2(C)3(D)4〖答案〗A〖解析〗設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線為l，|FP|＝r，過(guò)P作l的垂線交l于A，連結(jié)AP，過(guò)F作FB⊥AF于B，則|BP|＝r－p，因?yàn)椤螼FP＝120°，所以|FP|＝2|BP|，r＝2(r－p)，解得：r＝2p，P(EQ\r(3)p，－EQ\f(3p,2))，|OP|2＝3p2＋EQ\f(9p2,4)＝EQ\f(21p2,4)＝EQ\f(21,4)，解得：p＝1，故選(A)．8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asinA＋(b＋λa)sinB＝csinC，則λ的取值范圍為()(A)(－2，2)(B)(0，2)(C)〖－2，2〗(D)〖0，2〗〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閍sinA＋(b＋λa)sinB＝csinC，所以由正弦定理可得：a2＋b2＋λab＝c2，即：a2＋b2－c2＝－λab＝2abcosC，即：λ＝－2cosC，因?yàn)镃∈(0，π)，所以λ∈(－2，2)，故選(A)．9．在平行四邊形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，EQ\o\ac(CE,\s\up7(→))＝2EQ\o\ac(ED,\s\up7(→))，EQ\o\ac(BC,\s\up7(→))＝2EQ\o\ac(BF,\s\up7(→))，則EQ\o\ac(AE,\s\up7(→))?EQ\o\ac(EF,\s\up7(→))＝()(A)4(B)eq\f(32,9)(C)eq\f(28,9)(D)3〖答案〗B〖解析〗解法1：設(shè)EQ\o\ac(AB,\s\up7(→))＝a，EQ\o\ac(AD,\s\up7(→))＝b，所以EQ\o\ac(AE,\s\up7(→))?EQ\o\ac(EF,\s\up7(→))＝(eq\f(1,3)a＋b)?(eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b)＝eq\f(2,9)a2－eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)a?b＝eq\f(32,9)－2＋2＝eq\f(32,9)，故選(B)．解法2：連結(jié)BD，因?yàn)锳B＝2AD＝4，∠BAD＝60°，所以BD⊥AD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(2，0)，F(xiàn)(－1，2EQ\r(3))，E(－eq\f(2,3)，eq\f(2,3)EQ\r(3))，EQ\o\ac(AE,\s\up7(→))＝(－eq\f(8,3)，eq\f(2,3)EQ\r(3))，EQ\o\ac(EF,\s\up7(→))＝(－eq\f(1,3)，eq\f(4,3)EQ\r(3))，所以EQ\o\ac(AE,\s\up7(→))?EQ\o\ac(EF,\s\up7(→))＝eq\f(32,9)，故選(B)．10．已知四面體ABCD外接球的球心O與正三角形ABC外接圓的圓心重合，若該四面體體積的最大值為2EQ\r(3)，則該四面體外接球的體積為()(A)8π(B)EQ\f(32π,3)(C)16π(D)EQ\f(64π,3)〖答案〗B〖解析〗設(shè)該四面體外接球的半徑為R，體積為V，正三角形ABCD的面積為S，則S＝2R2sinAsinBsinC＝EQ\f(3\R(3)R2,4)，V四面體≤EQ\f(1,3)SR＝EQ\f(\R(3)R3,4)＝2EQ\r(3)，所以R＝2，V＝EQ\f(4πR3,3)＝EQ\f(32π,3)，故選(B)．11．已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝EQ\r(3)sin(ωx＋EQ\f(π,3))＋3cos(ωx＋EQ\f(π,3))在(0，2π)上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的取值范圍為()(A)(eq\f(23,12)，eq\f(35,12)〗(B)〖eq\f(23,12)，eq\f(35,12))(C)(eq\f(35,12)，eq\f(47,12)〗(D)〖eq\f(35,12)，eq\f(47,12))〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閒(x)＝EQ\r(3)sin(ωx＋EQ\f(π,3))＋3cos(ωx＋EQ\f(π,3))＝EQ\r(3)sin(ωx＋EQ\f(2π,3))，令ωx＋EQ\f(2π,3)＝EQ\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，可得：x＝EQ\f((12k－1)π,6ω)，故f(x)的第3個(gè)正極大值點(diǎn)依次為EQ\f(35π,6ω)，第4個(gè)正極大值點(diǎn)依次為EQ\f(47π,6ω)，因?yàn)閒(x)在(0，2π)上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，所以eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(EQ\f(35π,6ω)＜2π,EQ\f(47π,6ω)≥2π))，即：ω∈(eq\f(35,12)，eq\f(47,12)〗，故選(C)．12．已知a2＋lna＝9b4＋2lnb＋1，則下列結(jié)論一定成立的是()(A)a＜b2＋1(B)a＜2b2＋1(C)a＞3b(D)a＜3b2〖答案〗D〖解析〗令f(x)＝x2＋lnx，因?yàn)閍2＋lna＝9b4＋2lnb＋1＜9b4＋2lnb＋ln3＝9b4＋ln3b2，所以f(a)＜f(3b2)，而f(x)在(0，＋∞)上遞增，所以a＜3b2，故選(D)．第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x＋3≥0,y－4≤0,x－y－2≤0))，則z＝2x＋y的最小值為▲．〖答案〗－11〖解析〗易知當(dāng)x＝－3，y＝－5時(shí)，z＝2x＋y取得最小值－11．14．自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，也稱為歐拉數(shù)，它是數(shù)學(xué)中重要的常數(shù)之一，和π一樣是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，e的近似值約為2.7182818…．若從歐拉數(shù)的前4位數(shù)字2，7，1，8中任選2個(gè)，則至少有1個(gè)偶數(shù)被選中的概率為▲．〖答案〗eq\f(5,6)〖解析〗從歐拉數(shù)的前4位數(shù)字2，7，1，8中任選2個(gè)，有(1，2)，(1，7)，(1，8)，(2，7)，(2，8)，(7，8)，共6種可能，沒(méi)有偶數(shù)有1種，故至少有1個(gè)偶數(shù)被選中的概率為eq\f(5,6)．15．已知函數(shù)f(x)是定義在(－2，2)上的增函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，－2)對(duì)稱，則關(guān)于x的不等式f(x)＋f(x＋2)＋4＞0的解集為▲．〖答案〗(－1，0)〖解析〗因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，－2)對(duì)稱，所以f(x)＋f(－x)＝－4，故不等式f(x)＋f(x＋2)＋4＞0可化為：f(x＋2)＞f(－x)，而f(x)是定義在(－2，2)上的增函數(shù)，所以－2＜－x＜x＋2＜2，解得：x∈(－1，0)．16．已知雙曲線C：EQ\f(x2,2)－EQ\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，直線l：x＝my＋2(m＞0)與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(6，0)，以PF為直徑的圓與l相交于F，M兩點(diǎn)，若M為線段AB的中點(diǎn)，則|MF|＝▲．〖答案〗2〖解析〗解法1：設(shè)M(x0，y0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(EQ\f(x2,2)－EQ\f(y2,2)＝1,x＝my＋2))可得：(m2－1)y2＋4my＋2＝0，y0＝－EQ\f(2m,m2－1)，x0＝my0＋2＝－EQ\f(2,m2－1)，kMP＝EQ\f(y0,x0－6)＝EQ\f(m,3m2－2)＝－m，因?yàn)閙＞0，所以m＝EQ\f(\R(3),3)，∠MFP＝60°，故|MF|＝|PF|cos60°＝2．解法2：設(shè)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosφ,y＝tsinφ))(t為參數(shù))，代入C：EQ\f(x2,2)－EQ\f(y2,2)＝1可得：(cos2φ－sin2φ)t2＋4tcosφ＋2＝0，tM＝－EQ\f(2cosφ,cos2φ－sin2φ)＝4cosφ，即：cos2φ＝－EQ\f(1,2)，故φ＝60°，故|MF|＝4cosφ＝2．解法3：根據(jù)雙曲線的焦半徑公式可得：r1＝|AF|＝EQ\f(\R(2),1－\R(2)cosθ)，r2＝|BF|＝EQ\f(\R(2),1＋\R(2)cosθ)(θ為直線l的傾斜角)，即：|MF|＝|PF|cosθ＝4cosθ＝EQ\f(r1－r2,2)＝EQ\f(2cosθ,1－2cos2θ)．cos2θ＝－EQ\f(1,2)，故θ＝60°，故|MF|＝4cosθ＝2．解法4：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，|AF|＝r1，|BF|＝r2，|AP|＝|BP|＝t，在△AF1P中，由中線定理可得：(r1＋2EQ\r(2))2＋t2＝2(req\o\al(\o\ac(,\s\up4(2)),\o\ac(,\s\down3(1)))＋16)，同理可得：(r2＋2EQ\r(2))2＋t2＝2(req\o\al(\o\ac(,\s\up4(2)),\o\ac(,\s\down3(2)))＋16)，兩式相減可得：r1＋r2＝4EQ\r(2)＝EQ\f(2EQ\r(2),1－2cos2θ)．cos2θ＝－EQ\f(1,2)，故θ＝60°，故|MF|＝4cosθ＝2．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17題~第21題為必考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．(一)必考題：共60分．17．(12分)第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾正式拉開(kāi)序幕，這是歷史上首次在北半球冬季舉行的世界杯足球賽．某市為了解高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別的關(guān)系，隨機(jī)對(duì)該市50名高中生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表．關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男高中生4女高中生14合計(jì)已知在這50名高中生中隨機(jī)抽取1人，抽到關(guān)注世界杯足球賽的高中生的概率為EQ\f(4,5)．(1)完成上面的2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有90%的把握認(rèn)為該市高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別有關(guān)．附：χ2＝EQ\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d．P(χ2≥k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828〖解析〗(1)2×2列聯(lián)表如下：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男高中生26430女高中生14620合計(jì)401050(2)χ2＝EQ\f(50(26×6－14×4)2,30×20×40×10)＝EQ\f(25,12)＜2.706，故沒(méi)有90%的把握認(rèn)為該市高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別有關(guān)．18．(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝3，Sn+1＋Sn＝(n＋1)an+1．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝EQ\f(1,anan+1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．〖解析〗(1)因?yàn)镾n+1＋Sn＝(n＋1)an+1，所以Sn+2＋Sn+1＝(n＋2)an+2，兩式相減可得：(n＋2)an+1＝(n＋1)an+2，即：EQ\f(an+2,n＋2)＝EQ\f(an+1,n＋1)，n∈N＋，又因?yàn)閍1＝3，S2＋S1＝2a2，解得：a2＝6，故EQ\f(an,n)＝EQ\f(a2,2)＝3，即：an＝3n，n≥2，n＝1時(shí)，a1＝3也成立，故an＝3n；(2)bn＝EQ\f(1,anan+1)＝EQ\f(1,9n(n＋1))＝EQ\f(1,9)(EQ\f(1,n)－EQ\f(1,n＋1))，故Tn＝EQ\f(1,9)(1－EQ\f(1,n＋1))＝EQ\f(n,9(n＋1))．19．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝EQ\r(2)，AB＝2CD＝2．(1)證明：AD⊥PB．(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．〖解析〗(1)取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP、OB，因?yàn)椤螪AB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝EQ\r(2)，AB＝2，所以AD⊥PO，AD⊥BO，而PO∩BO＝O，PO、BO?平面POB，故AD⊥平面POB，AD⊥PB；(2)BC＝EQ\r(3)，PB＝PC＝2，S△PBC＝E