2023屆河南省鄭州市高三第一次質量預測理科數(shù)學試題（原卷版）

高考模擬試題PAGEPAGE1鄭州市2023年高中畢業(yè)年級第一次質量預測理科數(shù)學試題卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合．則（）A B. C. D.2.已知是虛數(shù)單位，若復數(shù)的實部為1，，則復數(shù)的虛部為（）A.或 B.或 C.或1 D.或3.已知雙曲線（）的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為A B. C. D.4.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素（也稱互質）的正整數(shù)的個數(shù)，例如，，．則（）A.數(shù)列單調 B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.5.若實數(shù),滿足約束條件,則的（）A.最大值為4 B.最小值為4 C.最大值為5 D.最小值為56.設等差數(shù)列的前項和為，，，則公差的取值范圍是（）A. B. C. D.7.記函數(shù)的最小正周期為．若，且的圖象的一條對稱軸為，關于該函數(shù)有下列四個說法：①；②；③在上單調遞增；④為了得到的圖象，只需將的圖象向右平移個單位長度．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.48.河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺為原型，經藝術夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，上揚下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意．冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺．已知一個“方斗”的上底面與下底面的面積之比為，高為2，體積為，則該“方斗”的側面積為（）A24 B.12 C. D.9.記的內角，，的對邊分別為，，，已知角，，則角（）A. B. C. D.10.在如圖所示的實驗裝置中，兩個正方形框架，的邊長都為1，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子，分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記．則下列結論錯誤的是（）A.該模型外接球的半徑為 B.當時，的長度最小C.異面直線與所成的角為60° D.平面11.已知直線與拋物線交于，兩點，為坐標原點，，交于點，點的坐標為，則的值為（）A. B.2 C. D.312.已知函數(shù)定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足，則（）A. B.0 C.2 D.2023二、填空題（每題5分，滿分20分．）13.的展開式中的項系數(shù)為___________；14.已知四邊形是邊長為2的正方形，若，且為的中點，則______．15.經過點以及圓與交點的圓的方程為______．16.已知函數(shù)，若有兩個不同的極值點，且，則的取值范圍為______．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：每題12分，共60分．17.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項和．18.如圖，正四棱錐的底面邊長和高均為2，，分別為，的中點．（1）若點是線段上的點，且，判斷點是否在平面內，并證明你的結論；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19.世界杯足球賽淘汰賽階段比賽規(guī)則為：90分鐘內進球多的球隊取勝，如果參賽雙方在90分鐘內無法決出勝負（踢成平局），將進行30分鐘的加時賽，若加時賽階段兩隊仍未分出勝負，則進入“點球大戰(zhàn)”．點球大戰(zhàn)的規(guī)則如下：①兩隊各派5名隊員，雙方輪流踢點球，累計進球個數(shù)多者勝；②如果在踢滿5球前，一隊進球數(shù)已多于另一隊踢5球可能踢中的球數(shù)，則該隊勝出，譬如：第4輪結束時，雙方進球數(shù)比，則不需踢第5輪了；③若前5輪點球大戰(zhàn)中雙方進球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負，即從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點球，若均進球或均不進球，則繼續(xù)下一輪．直到出現(xiàn)一方進球另一方不進球的情況，進球方勝．現(xiàn)有甲乙兩隊在淘汰賽中相遇，雙方勢均力敵，120分鐘（含加時賽）仍未分出勝負，須采用“點球大戰(zhàn)”決定勝負．設甲隊每名球員射進的概率為，乙隊每名球員射進的概率為．每輪點球結果互不影響．（1）設甲隊踢了5球，為射進點球的個數(shù)，求的分布列與期望；（2）若每輪點球都由甲隊先踢，求在第四輪點球結束時，乙隊進了4個球并剛好勝出的概率．20.已知橢圓：的離心率為，且過點．（1）求橢圓的方程；（2）設不過點的直線與橢圓交于，兩點，關于原點的對稱點為，記直線，，的斜率分別為，，，若，證明直線的斜率為定值．21.已知函數(shù)，．（1）求的單調區(qū)間與最值；（2）若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答，在答題卷上將所選題號涂黑，如果多做，則按所做的第一題計分．22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）已知點，若直線與曲線交于A，兩點，求的值．23.已知．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，正實數(shù)，，滿足，求證：．

高考模擬試題PAGEPAGE1鄭州市2023年高中畢業(yè)年級第一次質量預測理科數(shù)學試題卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合．則（）A B. C. D.2.已知是虛數(shù)單位，若復數(shù)的實部為1，，則復數(shù)的虛部為（）A.或 B.或 C.或1 D.或3.已知雙曲線（）的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為A B. C. D.4.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素（也稱互質）的正整數(shù)的個數(shù)，例如，，．則（）A.數(shù)列單調 B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.5.若實數(shù),滿足約束條件,則的（）A.最大值為4 B.最小值為4 C.最大值為5 D.最小值為56.設等差數(shù)列的前項和為，，，則公差的取值范圍是（）A. B. C. D.7.記函數(shù)的最小正周期為．若，且的圖象的一條對稱軸為，關于該函數(shù)有下列四個說法：①；②；③在上單調遞增；④為了得到的圖象，只需將的圖象向右平移個單位長度．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.48.河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺為原型，經藝術夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，上揚下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意．冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺．已知一個“方斗”的上底面與下底面的面積之比為，高為2，體積為，則該“方斗”的側面積為（）A24 B.12 C. D.9.記的內角，，的對邊分別為，，，已知角，，則角（）A. B. C. D.10.在如圖所示的實驗裝置中，兩個正方形框架，的邊長都為1，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子，分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記．則下列結論錯誤的是（）A.該模型外接球的半徑為 B.當時，的長度最小C.異面直線與所成的角為60° D.平面11.已知直線與拋物線交于，兩點，為坐標原點，，交于點，點的坐標為，則的值為（）A. B.2 C. D.312.已知函數(shù)定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足，則（）A. B.0 C.2 D.2023二、填空題（每題5分，滿分20分．）13.的展開式中的項系數(shù)為___________；14.已知四邊形是邊長為2的正方形，若，且為的中點，則______．15.經過點以及圓與交點的圓的方程為______．16.已知函數(shù)，若有兩個不同的極值點，且，則的取值范圍為______．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：每題12分，共60分．17.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項和．18.如圖，正四棱錐的底面邊長和高均為2，，分別為，的中點．（1）若點是線段上的點，且，判斷點是否在平面內，并證明你的結論；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19.世界杯足球賽淘汰賽階段比賽規(guī)則為：90分鐘內進球多的球隊取勝，如果參賽雙方在90分鐘內無法決出勝負（踢成平局），將進行30分鐘的加時賽，若加時賽階段兩隊仍未分出勝負，則進入“點球大戰(zhàn)”．點球大戰(zhàn)的規(guī)則如下：①兩隊各派5名隊員，雙方輪流踢點球，累計進球個數(shù)多者勝；②如果在踢滿5球前，一隊進球數(shù)已多于另一隊踢5球可能踢中的球數(shù)，則該隊勝出，譬如：第4輪結束時，雙方進球數(shù)比，則不需踢第5輪了；③若前5輪點球大戰(zhàn)中雙方進球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負，即從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點球，若均進球或均不進球，則繼續(xù)下一輪．直到出現(xiàn)一方進球另一方不進球的情況，進球方勝．現(xiàn)有甲乙兩隊在淘汰賽中相遇，雙方勢均力敵，120分鐘（含加時賽）仍未分出勝負，須采用“點球大戰(zhàn)”決定勝負．設甲隊每名球員射進的概率為，乙隊每名球員射進的概率為．每輪點球結果互不影響．（1）設甲隊踢了5球，為射進點球的個數(shù)，求的分布列與期望；（2）若每輪點球都由甲隊先踢，求在第四輪點球結束時，乙隊進了4個球并剛好勝出的概率．20.已知橢圓：的離心率為，且過點．（1）求橢圓的方程；（2）設不過點的直線與橢圓交于，兩點，關于原點的對稱點為，記直線，，的斜率分別為，，，若，證明直線的斜率為定值．21.已知函數(shù)，．（1）求的單調區(qū)間與最值；（2）若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第