山東省煙臺(tái)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題含答案

山東省煙臺(tái)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則有，解得，所以其傾斜角為．故選：A．2.直線的一個(gè)方向向量為，且直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，先求出直線的斜率，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式公式，即可求解．【詳解】直線的一個(gè)方向向量為則直線的斜率為，直線過點(diǎn)，則，即．故選：A．3.空間四邊形中，，點(diǎn)在上，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】空間四邊形OABC中，，且點(diǎn)在上，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，可得.故選：B.4.以直線恒過的定點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)可得圓心坐標(biāo)，再結(jié)合半徑可得圓的方程.【詳解】由，得，令，則，即直線恒過定點(diǎn)，則圓的方程為，即，故選：D.5.已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，然后兩邊平方，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算求向量的夾角.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，得，兩邊同時(shí)平方得，所以1，解得，又，所以.故選：D6.如圖，在直三棱柱中，且，則直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法求角，先求向量與的夾角，再轉(zhuǎn)化為線線角即可.【詳解】如圖，由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，則，則，又由兩直線所成角的范圍為，則直線與所成的角為.故選：C.7.在中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)A滿足，則面積的最大值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)，得到方程，求出點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓（除去與軸的兩個(gè)交點(diǎn)），數(shù)形結(jié)合得到點(diǎn)到直線的距離最大值為，求出面積的最大值.【詳解】設(shè)，則，由得，化簡(jiǎn)得，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓（除去與軸的兩個(gè)交點(diǎn)），故點(diǎn)到直線距離最大值為，故面積的最大值為.故選：B8.已知圓O的方程為，過圓O外一點(diǎn)作圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A?B，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得，即.設(shè)，由直線與圓的關(guān)系建立不等式組，求解即可.【詳解】解：由，得即，所以，即.設(shè)，根據(jù)題意，直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得（當(dāng)直線與圓相切時(shí)取等號(hào)），即的取值范圍為.故選：C.二、多選題9.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，.則下列結(jié)論中正確的是（）A.直線l的斜率是B.直線l的傾斜角是C.直線l的方向向量與向量平行D.直線l的法向量與向量平行【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)表示斜率即可判斷A；由推不得即可判斷B；根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示即可判斷CD.【詳解】A：由題意，知直線l的斜率是，故A正確；B：直線l的傾斜角滿足，但不一定有，故B錯(cuò)誤；C：直線l的一個(gè)方向向量為，因?yàn)?，所以直線l的一個(gè)方向向量與向量不平行，故C錯(cuò)誤；D：直線l的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以直線l的一個(gè)法向量與向量平行，故D正確.故選：AD10.給出下列命題正確的是（）A.直線的方向向量為，平面的法向量為，則與平行B直線恒過定點(diǎn)C.已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值是D.已知三點(diǎn)不共線，對(duì)于空間任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量、直線過定點(diǎn)、直線垂直、四點(diǎn)共面等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，所以與不平行，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由，得，由，解得，所以定點(diǎn)為，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由，解得或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由于，其中，所以四點(diǎn)共面，D選項(xiàng)正確.故選：BD11.P為棱長為2的正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積是定值B.當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，異面直線與所成角的取值范圍是C.當(dāng)P在面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，R為棱的中點(diǎn)且平面，則點(diǎn)P的軌跡長度為D.當(dāng)P在面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q為棱BC的中點(diǎn)且，則的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】由已知可得，平面，則直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，則三棱錐的體積是定值，即可判斷A；由，則異面直線與所成的角就是直線與所成的角，即可判斷B；由已知所在的平面為如圖所示正六邊形，該正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡即為，求出，即可判斷C；建立空間直角坐標(biāo)系，由，可得，設(shè)，由空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，可求得，即三棱錐的高取得最大值，則求得的最大值為，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，平面，所以直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，即為三棱錐的高，則三棱錐的體積是定值，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)直線與所成的角為，因?yàn)?，所以異面直線與所成的角就是直線與所成的角，當(dāng)在線段的端點(diǎn)處時(shí)，，當(dāng)在線段的中點(diǎn)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，P在面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，R為棱的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，作過的平面，平面平面，該六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則所在的平面為如圖所示正六邊形，設(shè)中點(diǎn)為，點(diǎn)P的軌跡即為，則，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻在面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，Q為棱BC的中點(diǎn)，因?yàn)樵谡襟w中，平面，平面，所以，則是直角三角形，同理，則是直角三角形，又，則，即，所以，則，因?yàn)?，設(shè)，，則即為三棱錐的高，所以，整理得，，當(dāng)時(shí)，，即三棱錐的高取得最大值，又，此時(shí)，.即的最大值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平行線間距離公式計(jì)算即得.【詳解】直線與直線平行，則，解得，直線為，所以它們之間的距離是.故答案為：13.在長方體中，已知異面直線與，與所成角的大小分別為和，為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_______.【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，根據(jù)異面直線與，與所成角求出，再應(yīng)用空間向量公式計(jì)算點(diǎn)到平面距離即可.【詳解】如圖建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為x軸，所在直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系，且設(shè)，則，則，因?yàn)楫惷嬷本€與所成角為，所以因?yàn)楫惷嬷本€與所成角為，所以計(jì)算可得，設(shè)平面法向量為n=x,y,z，則，令，則因?yàn)椋瑒t點(diǎn)到平面的距離.故答案為：.14.已知?jiǎng)訄A，則圓在運(yùn)動(dòng)過程中所經(jīng)過的區(qū)域的面積為______；為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為______.【答案】①.②.【解析】【分析】分析可得動(dòng)圓的圓心，半徑，在以圓心，半徑的圓上，圓在運(yùn)動(dòng)過程中所經(jīng)過的區(qū)域的面積相當(dāng)于以圓心，半徑為的圓的面積；由倍角公式及幾何關(guān)系可得，分析的范圍結(jié)合換元法即可求．【詳解】動(dòng)圓的圓心，半徑，令，則由得在以圓心，半徑的圓上．圓在運(yùn)動(dòng)過程中所經(jīng)過的區(qū)域的面積相當(dāng)于以圓心，半徑為的圓的面積，即；到直線的距離，由，則，即，，令，則，則，由對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，有.所以的取值范圍為.故答案為：；.四、解答題15.已知頂點(diǎn)、、．（1）求邊的垂直平分線的方程；（2）若直線過點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)、，即可得中點(diǎn)及斜率，進(jìn)而可得其中垂線方程；（2）當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)可得直線方程；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直線的截距式可得解.【小問1詳解】由、，可知中點(diǎn)為，且，所以其垂直平分線斜率滿足，即，所以邊的垂直平分線的方程為，即；【小問2詳解】當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線，符合題意；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線方程為，由過點(diǎn)，則，解得，所以直線方程為，即，綜上所述，直線的方程為或.16.如圖三棱柱中，，，，平面平面，D是棱AC的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求到直線BD的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證；（2）利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和，結(jié)合距離公式，即可求解.【小問1詳解】如圖所示，在三棱柱中，連接交于，再連接，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫鍭1BD，平面，所以平面.【小問2詳解】因?yàn)?，由余弦定理得，所以，可得，又由平面平面，平面平面，所以平面，又因?yàn)?，故兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，且，則，，，所以C1到直線BD的距離為.17.已知圓C：與圓：.（1）求C與相交所得公共弦長；（2）若過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由題意知，兩圓的方程相減可得公共弦所在直線方程，求得圓心到該直線的距離d，利用弦長公式可求得所求弦長；（2）易知直線l的方程為，與圓C的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合題意即可求得【小問1詳解】由題意知，兩圓的公共弦所在直線方程為整理得，圓心到直線的距離，所以所求弦長為；【小問2詳解】由題設(shè)可知直線l的方程為，設(shè)Px1,將代入方程，整理得，所以，，，因?yàn)?，解得k=1，經(jīng)檢驗(yàn)，直線與圓有交點(diǎn)，所以直線l的方程為，故圓心C在直線l上，所以18.已知平面五邊形如圖1所示，其中，是正三角形．現(xiàn)將四邊形沿翻折，使得，得到的圖形如圖2所示．（1）求證：平面平面．（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）線段上存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，此時(shí)．【解析】【分析】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，利用勾股定理的逆定理可證明，結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)線段上存在一點(diǎn)滿足題意，記．利用空間向量法求解面面角，建立關(guān)于的方程，解之即可求解.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭堑冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，，，所以四邊形為矩形．所以．又因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【小?詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．由題意知平面的法向量為．設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，記．因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕?，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則令，則，，即．所以．因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，，所以，解得或（舍去）．所以線段上存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，此時(shí)．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，以原點(diǎn)O為圓心的圓與線段相切．（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O相交于M，N兩點(diǎn)，且，求c的值；（3）在直線上是否存在異于A的定點(diǎn)Q，使得對(duì)圓O上任意一點(diǎn)P，都有（為常數(shù)）？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，且【解析】【分析】（1）根據(jù)圓和直線的位置關(guān)系求得圓的方程.（2）根據(jù)圓心到直線的距離列方程，化簡(jiǎn)求得的值.（3）設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)列方程，利用特殊值求得的值，同時(shí)求得點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】由于，，則線段與軸平行，且與圓相切.所以圓的圓心為，半徑為，所以圓的