1.1.1探索勾股定理(共3)-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊同步課堂（北師版）

1.1.1探索勾股定理數(shù)學(xué)（北師大版）八年級

上冊第一章勾股定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1、用數(shù)格子的辦法體驗勾股定理的探索過程。2、理解勾股定理，會初步運用勾股定理進(jìn)行簡單的計算和實際運用。

導(dǎo)入新課如圖，這是一幅美麗的圖案，仔細(xì)觀察，你能發(fā)現(xiàn)這幅圖中的奧秘嗎？帶著疑問我們來一起探索吧.

導(dǎo)入新課觀察下面地板磚示意圖：

你發(fā)現(xiàn)圖中三個正方形的面積之間存在什么關(guān)系嗎？講授新課勾股定理的初步認(rèn)識一1.閱讀課本P2回答問題ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1-1圖1-2（1）觀察圖1—1正方形A中含有

個小方格，即A的面積是

個單位面積；正方形B中含有

個小方格，即B的面積是

個單位面積；正方形C中含有

個小方格，即C的面積是

個單位面積；你是怎樣得到上面的結(jié)果的？與同學(xué)交流。99991818講授新課1.閱讀課本P2回答問題ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1-1圖1-2（2）在圖1-2中，正方形A，B，C中各含有多少個小方格？它們的面積各是多少？（3）你能發(fā)現(xiàn)兩圖中三個正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系嗎？

SA+SB=SC4,4,89,9,18；4,4,8講授新課ABCABC思考：在這幅圖中，邊長的平方如何刻畫？用正方形A，B，C的面積刻畫，就是證SA+SB=SC.我們的猜想如何驗證？cba講授新課ABCABC請想辦法計算左邊圖形中A，B，C的面積.你用什么辦法計算C的面積呢？SA=9

SB=9SC=18數(shù)格子講授新課驗證法1方法：可把正方形C分成兩個全等的等腰直角三角形，可求得正方形C的面積為18.割CBA還可以用什么辦法計算C的面積呢？講授新課驗證法2方法：可把正方形C分成四個全等的等腰直角三角形，可求得正方形C的面積為18.割CBA還可以用什么辦法計算C的面積呢？講授新課驗證法3方法：可在正方形C外邊圈一個大正方形用大正方形的面積減去4個直角三角形的面積，即可求得正方形C的面積為18.補(bǔ)CBA還可以用什么辦法計算C的面積呢？講授新課CBASA=9

SB=9SC=18由以上計算A，B，C三個圖形的面積，我們能得到什么結(jié)論？SA+SB=SCcba結(jié)論：以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積.講授新課幾何語言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc∟總結(jié)歸納定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系.

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2．勾股定理講授新課求下列直角三角形中未知邊的長:練一練8x17125x解：由勾股定理可得：82+x2=172即:x2=172-82

x=15解:由勾股定理可得：

52+122=x2即：x2=52+122

x=13講授新課例1已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長.利用勾股定理進(jìn)行計算二解：由勾股定理可得，AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根據(jù)三角形面積公式，∴AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34講授新課方法總結(jié)

由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，這個規(guī)律也稱“弦高公式”，它常與勾股定理聯(lián)合使用．講授新課例2

如圖，已知AD是△ABC的中線．求證：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．證明：如圖，過點A作AE⊥BC于點E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．E講授新課方法總結(jié)

構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理把需要證明的線段聯(lián)系起來．一般地，涉及線段之間的平方關(guān)系問題時，通常沿著這個思路去分析問題．講授新課解：當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長為25＋20＋15＝60.例3

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長．講授新課

題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內(nèi)的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．當(dāng)高AD在△ABC外部時，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長為42或60.方法總結(jié)解析：因為AE＝BE，所以S△ABE＝AE·BE＝AE2.又因為AE2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝AB2＝；同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又因為AC2＋BC2＝AB2，所以陰影部分的面積為AB2＝.例4

如圖，以Rt△ABC的三邊長為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，則圖中△ABE的面積為________，陰影部分的面積為________．講授新課講授新課方法總結(jié)

求解與直角三角形三邊有關(guān)的圖形面積時，要結(jié)合圖形想辦法把圖形的面積與直角三角形三邊的平方聯(lián)系起來，再利用勾股定理找到圖形面積之間的等量關(guān)系．當(dāng)堂檢測一、判斷題.1.△ABC的兩邊AB=5,AC=12,則BC=13()2.△ABC的a=6,b=8,則c=10()二、填空題3.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,則△ABC面積為_____,斜邊為上的高為______.

244.8ABCD當(dāng)堂檢測4．在△ABC中，∠C=90o,（1）

若a=5，b=12，則c=________；（2）

若a=15，c=25，則b=________；（3）

若c=61，b=60，則a=________；（4）

若a:b=3:4，c=10，則a=________，b=________；（5）

若a:c=3:5，b=8，則a=________；201311686當(dāng)堂檢測5.求出下列字母所代表的正方形的面積.正方形A面積為625正方形B面積為144BA當(dāng)堂檢測6.求出下列三角形中未知邊的長度.（1）（2）解：（1）由勾股定理得：x2=62+82=100.x86y135因為x>0，所以x=10.（2）由勾股定理得：y2=132－52=144.因為y>0，所以y=12.當(dāng)堂檢測7.強(qiáng)大的臺風(fēng)使得一個旗桿在離地面9m處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，請問旗桿折斷前有多高？解：設(shè)旗桿折斷前有xm，由勾股定理得：（x－9）2=122+92因為x－9>0，所以x－9=15，所以x=24.當(dāng)堂檢測8.臺風(fēng)使得一個旗桿折斷倒下，倒下部分長比未倒下部分長4m，如圖，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷之前有多高？即：8x=128.解得x=16.∴x+4=20（m），16+20=36（m）.

答：旗桿折斷之前有36m