數(shù)學示范教案：第一章第四節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（第四課時）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章第四節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第四課時作者：張云全eq\o（\s\up7（）,\s\do5(整體設計))教學分析本節(jié)課的背景是：這之前我們已經(jīng)用了三節(jié)課的時間學習了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式．一般來說，對函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖象，通過觀察圖象獲得對函數(shù)性質(zhì)的直觀認識,然后再從代數(shù)的角度對性質(zhì)作出嚴格表述．但對正切函數(shù)，教科書換了一個新的角度，采取了先根據(jù)已有的知識(如正切函數(shù)的定義、誘導公式、正切線等）研究性質(zhì),然后再根據(jù)性質(zhì)研究正切函數(shù)的圖象．這樣處理,主要是為了給學生提供研究數(shù)學問題更多的視角，在性質(zhì)的指導下可以更加有效地作圖、研究圖象，加強了理性思考的成分，并使數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)得更加全面．教師要在學生探究活動過程中引導學生體會這種解決問題的方法．通過多媒體教學，讓學生通過對圖象的動態(tài)觀察,對知識點的理解更加直觀、形象．以提高學生的學習興趣，提高課題教學質(zhì)量．從學生的實際情況為教學出發(fā)點，通過各種數(shù)學思想的滲透，合理運用各種教學課件,逐步培養(yǎng)學生養(yǎng)成學會通過對圖象的觀察來整理相應的知識點的能力，學會運用數(shù)學思想解決實際問題的能力．這樣既加強了類比這一重要數(shù)學思想的培養(yǎng)，也有利于學生綜合運用能力的提高，有利于學生把新舊知識前后聯(lián)系，融會貫通，提高教學效果．由于學生已經(jīng)有了研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗，這種經(jīng)驗完全可以遷移到對正切函數(shù)性質(zhì)的研究中，因此,我們可以通過“探究"提出,引導學生根據(jù)前面的經(jīng)驗研究正切函數(shù)的性質(zhì)，讓學生深刻領(lǐng)悟這種遷移與類比的學習方法．三維目標1．通過對正切函數(shù)的性質(zhì)的研究，注重培養(yǎng)學生類比思想的養(yǎng)成,以及培養(yǎng)學生綜合運用新舊知識的能力．學會通過對圖象的觀察來整理相應的知識點，學會運用數(shù)學思想解決實際問題的能力．2．在學習了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎上,運用類比的方法，學習正切函數(shù)的圖象與性質(zhì),從而培養(yǎng)學生的類比思維能力．3．通過正切函數(shù)圖象的教學，培養(yǎng)學生欣賞（中心)對稱美的能力，激發(fā)學生熱愛科學、努力學好數(shù)學的信心．重點難點教學重點:正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象的簡單應用．教學難點：正切函數(shù)性質(zhì)的深刻理解及其簡單應用．課時安排1課時eq\o（\s\up7（)，\s\do5（教學過程)）導入新課思路1。(直接導入)常見的三角函數(shù)還有正切函數(shù)，前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗，以同樣的方法研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)？由此展開新課．思路2.先由圖象開始,讓學生先畫正切線，然后類比正弦、余弦函數(shù)的幾何作圖法來畫出正切函數(shù)的圖象．這也是一種不錯的選擇,這是傳統(tǒng)的導入法．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題）)①我們通過畫正弦、余弦函數(shù)圖象探究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)．正切函數(shù)是我們高中要學習的最后一個基本初等函數(shù)．你能運用類比的方法先探究出正切函數(shù)的性質(zhì)嗎?都研究函數(shù)的哪幾個方面的性質(zhì)？②我們學習了正弦線、余弦線、正切線,你能畫出四個象限的正切線嗎?③我們知道作周期函數(shù)的圖象一般是先作出長度為一個周期的區(qū)間上的圖象，然后向左、右擴展，這樣就可以得到它在整個定義域上的圖象．那么我們先選哪一個區(qū)間來研究正切函數(shù)呢？為什么？④我們用“五點法”能簡捷地畫出正弦、余弦函數(shù)的簡圖，你能畫出正切函數(shù)的簡圖嗎？你能類比“五點法”也用幾個字總結(jié)出作正切簡圖的方法嗎？活動：問題①，教師先引導學生回憶:正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)是從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性這幾個方面來研究的，有了這些知識準備，然后點撥學生也從這幾個方面來探究正切函數(shù)的性質(zhì)．由于還沒有作出正切函數(shù)圖象，教師指導學生充分利用正切線的直觀性．(1)周期性由誘導公式tan（x＋π）＝tanx，x∈R，x≠eq\f（π，2）＋kπ，k∈Z可知，正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π。這里可通過多媒體課件演示，讓學生觀察由角的變化引起正切線的變化的周期性，直觀理解正切函數(shù)的周期性，后面的正切函數(shù)圖象作出以后，還可從圖象上觀察正切函數(shù)的這一周期性．(2)奇偶性由誘導公式tan（－x）＝－tanx，x∈R，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z可知,正切函數(shù)是奇函數(shù)，所以它的圖象關(guān)于原點對稱．教師可進一步引導學生通過圖象還能發(fā)現(xiàn)對稱點嗎？與正余弦函數(shù)相對照，學生會發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)也是中心對稱函數(shù)，它的對稱中心是(eq\f（kπ,2），0）k∈Z.（3)單調(diào)性（4）定義域根據(jù)正切函數(shù)的定義tanα＝eq\f(y，x），顯然，當角α的終邊落在y軸上任意一點時,都有x＝0,這時正切函數(shù)是沒有意義的;又因為終邊落在y軸上的所有角可表示為kπ＋eq\f(π,2）,k∈Z，所以正切函數(shù)的定義域是｛α|α≠kπ＋eq\f（π,2)，k∈Z},而不是{α≠eq\f（π，2)＋2kπ,k∈Z}，這個問題不少初學者很不理解，在解題時又很容易出錯，教師應提醒學生注意這點，深刻明了其內(nèi)涵本質(zhì)．(5)值域由多媒體課件演示正切線的變化規(guī)律，從正切線知，當x大于－eq\f(π,2）且無限接近－eq\f（π，2）時,正切線AT向Oy軸的負方向無限延伸；當x小于eq\f（π,2)且無限接近eq\f(π,2）時,正切線AT向Oy軸的正方向無限延伸．因此，tanx在（－eq\f(π，2)，eq\f（π,2））內(nèi)可以取任意實數(shù)，但沒有最大值、最小值．因此，正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R。問題②，教師引導學生作出正切線，并觀察它的變化規(guī)律，如圖1。圖1問題③，正切函數(shù)圖象選用哪個區(qū)間作為代表區(qū)間更加自然呢？教師引導學生在課堂上展開充分討論，這也體現(xiàn)了“教師為主導，學生為主體”的新課改理念．有的學生可能選取了[0，π］作為正切函數(shù)的周期選取，這正是學生作圖的真實性的體現(xiàn)．此時，教師應調(diào)整計劃，把課件中先作出(－eq\f（π,2)，eq\f(π，2））內(nèi)的圖象，改為先作出[0，π］內(nèi)的圖象，再進行圖象的平移,得到整個定義域內(nèi)函數(shù)的圖象，讓學生觀察思考．最后由學生來判斷究竟選用哪個區(qū)間段內(nèi)的函數(shù)圖象既簡單又能完全體現(xiàn)正切函數(shù)的性質(zhì),讓學生通過分析得到先作區(qū)間（－eq\f(π,2),eq\f(π，2))的圖象為好．這時條件成熟，教師引導學生來作正切函數(shù)的圖象，如圖2。根據(jù)正切函數(shù)的周期性,把圖2向左、右擴展,得到正切函數(shù)y＝tanx，x∈R,且x≠eq\f(π，2)＋kπ（k∈Z)的圖象，我們稱正切曲線，如圖3。圖2圖3問題④，教師引導學生觀察正切曲線,點撥學生討論思考，只需確定哪些點或線就能畫出函數(shù)y＝tanx，x∈(－eq\f(π,2），eq\f(π，2)）的簡圖．學生可看出有三個點很關(guān)鍵:(－eq\f（π，4），－1)，(0,0)，（eq\f（π，4），1)，還有兩條豎線．因此，畫正切函數(shù)簡圖的方法就是：先描三點(－eq\f(π，4），－1)，（0，0），(eq\f（π，4)，1），再畫兩條平行線x＝－eq\f(π,2)，x＝eq\f（π，2)，然后連線．教師要讓學生動手畫一畫，這對今后解題很有幫助．討論結(jié)果：①略．②正切線是AT.③略．④能，“三點兩線”法．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題）)①請同學們認真觀察正切函數(shù)的圖象特征，由數(shù)及形從正切函數(shù)的圖象討論它的性質(zhì)．②設問:每個區(qū)間都是增函數(shù),我們可以說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎?請舉一個例子．活動：問題①,從圖中可以看出，正切曲線是被相互平行的直線x＝eq\f（π,2）＋kπ，k∈Z所隔開的無窮多支曲線組成的．教師引導學生進一步思考，這點反應了它的哪一性質(zhì)——定義域；并且函數(shù)圖象在每個區(qū)間都無限靠近這些直線，我們可以將這些直線稱之為正切函數(shù)的什么線--漸近線；從y軸方向看，上下無限延伸，得到它的哪一性質(zhì)—-值域為R；每隔π個單位，對應的函數(shù)值相等，得到它的哪一性質(zhì)——周期π；在每個區(qū)間圖象都是上升趨勢，得到它的哪一性質(zhì)——單調(diào)性，單調(diào)增區(qū)間是(－eq\f(π，2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)，k∈Z,沒有減區(qū)間．它的圖象是關(guān)于原點對稱的，得到是哪一性質(zhì)——奇函數(shù)．通過圖象我們還能發(fā)現(xiàn)是中心對稱，對稱中心是（eq\f（kπ，2)，0)，k∈Z。問題②,正切函數(shù)在每個區(qū)間上都是增函數(shù)，但我們不可以說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)．如在區(qū)間(0，π）上就沒有單調(diào)性．討論結(jié)果：①略．②略．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應用示例）)例1比較大?。?）tan138°與tan143°;（2)tan（－eq\f（13π，4）)與tan（－eq\f(17π，5））．活動:利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小,可以先利用誘導公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，然后再比較大?。處熆煞攀肿寣W生自己去探究完成，由學生類比正弦、余弦函數(shù)值的大小比較,學生不難解決，主要是訓練學生鞏固本節(jié)所學的基礎知識,加強類比思想的運用．解:（1）∵y＝tanx在90°<x<180°上為增函數(shù)，∴由138°〈143°，得tan138°〈tan143°.（2）∵tan（－eq\f（13π,4)）＝－taneq\f（13π,4）＝－tan（3π＋eq\f（π，4)）＝－taneq\f(π,4），tan（－eq\f(17π，5））＝－taneq\f(17π,5)＝－tan（3π＋eq\f(2π,5)）＝－taneq\f（2π,5)。又0<eq\f(π,4)<eq\f（2π,5)〈eq\f(π，2），而y＝tanx在(0，eq\f（π，2)）上是增函數(shù)，∴taneq\f(π,4）<taneq\f(2π，5).∴－taneq\f（π，4）>－taneq\f(2π，5），即tan（－eq\f（13π，4)）〉tan(－eq\f（17π,5)）．點評：不要求學生強記正切函數(shù)的性質(zhì),只要記住正切函數(shù)的圖象或正切線即可．例2用圖象求函數(shù)y＝eq\r(tanx－\r（3）)的定義域．活動：如圖4,本例的目的是讓學生熟悉運用正切曲線來解題．不足之處在于本例可以通過三角函數(shù)線來解決，教師在引導學生探究活動中，也應以兩種方法提出解決方案,但要有側(cè)重點,應體現(xiàn)函數(shù)圖象應用的重要性．圖4圖5解：由tanx－eq\r(3)≥0，得tanx≥eq\r（3)，利用圖4知，所求定義域為［kπ＋eq\f(π，3），kπ＋eq\f（π,2））（k∈Z）．點評：先在一個周期內(nèi)得出x的取值范圍，然后再加周期即可，亦可利用單位圓求解，如圖5.本節(jié)的重點是正切線，但在今后解題時,學生哪種熟練就用哪種．變式訓練根據(jù)正切函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的x的集合．（1)1＋tanx≥0；(2）tanx＋eq\r（3）＜0。解：(1）tanx≥－1，∴x∈[kπ－eq\f（π，4)，kπ＋eq\f（π，2)）,k∈Z；(2）x∈［kπ－eq\f（π,2)，kπ－eq\f（π，3）)，k∈Z。例3求函數(shù)y＝tan（eq\f（π，2）x＋eq\f(π，3）)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間．活動：類比正弦、余弦函數(shù)，本例應用的是換元法，由于在研究正弦、余弦函數(shù)的類似問題時已經(jīng)用過換元法，所以這里也就不用再介紹換元法，可以直接將eq\f（π,2）x＋eq\f(π，3)作為一個整體．教師可讓學生自己類比地探究,只是提醒學生注意定義域．解：函數(shù)的自變量x應滿足eq\f(π，2）x＋eq\f（π，3）≠kπ＋eq\f(π，2），k∈Z，即x≠2k＋eq\f(1，3)，k∈Z.所以函數(shù)的定義域是{x|x≠2k＋eq\f（1，3),k∈Z}．由于f(x)＝tan(eq\f(π，2）x＋eq\f(π,3））＝tan(eq\f(π,2）x＋eq\f(π,3)＋π）＝tan[eq\f（π，2）（x＋2）＋eq\f(π,3）]＝f(x＋2),因此，函數(shù)的周期為2.由－eq\f（π，2)＋kπ〈eq\f（π，2)x＋eq\f(π,3)<eq\f(π,2）＋kπ，k∈Z，解得－eq\f(5,3)＋2k〈x<eq\f（1，3)＋2k,k∈Z.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－eq\f（5,3）＋2k,eq\f(1，3）＋2k）,k∈Z.點評：同y＝Asin（ωx＋φ）（ω>0)的周期性的研究一樣，這里可引導學生探究y＝Atan（ωx＋φ)（ω>0)的周期T＝eq\f(π,ω).變式訓練求函數(shù)y＝tan（x＋eq\f（π，4）)的定義域，值域，單調(diào)區(qū)間，周期性．解：由x＋eq\f(π，4）≠kπ＋eq\f（π，2)，k∈Z可知，定義域為{x|x∈R且x≠kπ＋eq\f(π,4），k∈Z｝．值域為R.由x＋eq\f（π,4)∈（kπ－eq\f（π,2)，kπ＋eq\f(π，2）），k∈Z可得，在x∈(kπ－eq\f（3π，4)，kπ＋eq\f(π，4))上是增函數(shù)．周期是π,也可看作由y＝tanx的圖象向左平移eq\f(π，4)個單位得到，其周期仍然是π.例4把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的順序排列，并說明理由．活動:引導學生利用函數(shù)y＝tanx的單調(diào)性探究解題方法．也可利用單位圓中的正切線探究解題方法．但要提醒學生注意本節(jié)中活動的結(jié)論：正切函數(shù)在定義域內(nèi)的每個區(qū)間上都是增函數(shù)，但我們不可以說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)．學生可能的錯解有:錯解1：∵函數(shù)y＝tanx是增函數(shù),又1<2〈3〈4,∴tan1〈tan2<tan3<tan4.錯解2：∵2和3的終邊在第二象限,∴tan2，tan3都是負數(shù)．∵1和4的終邊分別在第一象限和第三象限，∴tan1，tan4都是正數(shù)．又∵函數(shù)y＝tanx是增函數(shù)，且2<3,1〈4，∴tan2<tan3<tan1<tan4。教師可放手讓學生自己探究問題的解法．發(fā)現(xiàn)錯解后不要直接糾正，立即給出正確解法，可再讓學生討論分析找出錯的原因．解法一:∵函數(shù)y＝tanx在區(qū)間(eq\f（π,2)，eq\f（3π,2)）上是單調(diào)遞增函數(shù)，且tan1＝tan(π＋1），又eq\f(π,2)〈2<3〈4<π＋1〈eq\f（3π，2)，∴tan2〈tan3〈tan4〈tan1.解法二：如圖6，1，2,3,4的正切函數(shù)線分別是AT1，AT2，AT3，AT4，圖6∴tan2<tan3<tan4〈tan1.點評：本例重在讓學生澄清正切函數(shù)單調(diào)性問題,這屬于學生易錯點．把正切函數(shù)y＝tanx的單調(diào)性簡單地說成“在定義域內(nèi)是增函數(shù)"是不對的．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓練））課本本節(jié)練習1～5.解答：1．在x軸上任取一點O1，以O1為圓心，單位長為半徑作圓，作垂直于x軸的直徑,將⊙O1分成左右兩個半圓，過右半圓與x軸的交點作⊙O1的切線，然后從圓心O1引7條射線把右半圓分成8等份，并與切線相交，得到對應于－eq\f(3π，8）,－eq\f（π,4），－eq\f（π,8），0，eq\f（π，8），eq\f（π，4)，eq\f（3π，8)等角的正切線．相應地,再把x軸上從－eq\f（π，2）到eq\f（π,2)這一段分成8等份．把角x的正切線向右平行移動，使它的起點與x軸上的點x重合，再把這些正切線的終點用光滑的曲線連接起來，就得到函數(shù)y＝tanx，x∈（－eq\f(π,2)，eq\f（π,2））的圖象．點評：可類比正弦函數(shù)圖象的作法．2．(1)｛x｜kπ〈x<eq\f(π,2）＋kπ，k∈Z}；(2){x|x＝kπ，k∈Z}；(3){x|－eq\f（π，2)＋kπ<x<kπ，k∈Z｝．點評：只需根據(jù)正切曲線寫出結(jié)果，并不要求解三角方程或三角不等式．3．x≠eq\f（π，6）＋eq\f(kπ,3），k∈Z.點評：可用換元法．4．（1）eq\f（π，2)；（2)2π。點評：可根據(jù)函數(shù)圖象得解，也可直接由函數(shù)y＝Atan（ωx＋φ），x∈R的周期T＝eq\f（π，ω)得解．5．(1）不是．例如0<π,但tan0＝tanπ＝0.(2)不會．因為對于任何區(qū)間A來說，如果A不含有eq\f(π,2）＋kπ（k∈Z)這樣的數(shù)，那么函數(shù)y＝tanx,x∈A是增函數(shù)；如果A至少含有一個eq\f（π,2)＋kπ(k∈Z)這樣的數(shù)，那么在直線x＝eq\f(π，2）＋kπ兩側(cè)的圖象都是上升的（隨自變量由小到大)．點評：理解正切函數(shù)的單調(diào)性．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié))）1．先由學生回顧本節(jié)都學到了哪些知識方法,有哪些啟發(fā)、收獲．本節(jié)課我們是在研究完正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)之后，研究的又一個具體的三角函數(shù),與研究正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)有什么不同？研究正、余弦函數(shù)，是由圖象得性質(zhì)，而這節(jié)課我們從正切函數(shù)的定義出發(fā)得出一些性質(zhì)，并在此基礎上得到圖象，最后用圖象又驗證了函數(shù)的性質(zhì)．2．（教師點撥）本節(jié)研究的過程是由數(shù)及形,又由形及數(shù)相結(jié)合，也是我們研究函數(shù)的基本方法，特別是又運用了類比的方法、數(shù)形結(jié)合的方法、化歸的方法．請同學們課后思考總結(jié):這種多角度觀察、探究問題的方法對我們今后學習有什么指導意義？eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)））課本習題1。4A組6、8、9。eq\o（\s\up7()，\s\do5(設計感想)）1．本教案的設計背景剛剛學完正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)．因此教案的設計主線是始終抓住類比思想這條主線，讓學生在鞏固原有知識的基礎上，通過類比，由學生自己來對新知識進行分析、探究、猜想、證明，使新舊知識點有機地結(jié)合在一起，學生對新知識也較易接受．2．本教案設計的學習程序是：溫故（相關(guān)知識準備)→新的學習對象與舊知識的聯(lián)系→類比探究→解決問題→應用成果→歸納總結(jié)→進一步的發(fā)散思考→探索提高．e