專(zhuān)題04 構(gòu)造中位線的方法

第五章平行四邊形專(zhuān)題構(gòu)造中位線的方法類(lèi)型1取一邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線1.如圖,在△ABC中,延長(zhǎng)BC至D,使得CD=12BC,A.3 B.4 C.23 第1題圖第2題圖2.如圖,DE是△ABC的中位線,F是DE的中點(diǎn)，CF的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)G，若△CEF的面積為12cm2,則S△DGF的值為(A.4cm2 B.6cm2 C.8cm2 D.9cm23.如圖,在四邊形ABCD中,AB與CD不平行,M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),AB=4,DC=2.對(duì)于MN的長(zhǎng),給出了四種猜測(cè):①M(fèi)N=4;②MN=3;③MN=2;④MN=1.猜測(cè)正確的是()A.① B.② C.③ D.④第3題圖第4題圖4.如圖，AD是△ABC的中線,M是AD的中點(diǎn),連接BM并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N,若AC=4,則AN=___________.5.如圖,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,E,F分別為CA,CB上一點(diǎn),且CE=CF,M,N分別為AF,BE的中點(diǎn),求證:AE2=2MN2.類(lèi)型2連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線6.如圖，四邊形ABCD中,∠A=90°,AB=8,AD=6,點(diǎn)M,N分別為線段BC,AB上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為()A.8 B.7 C.6 D.5第6題圖第7題圖7.如圖,在?ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),EH⊥AC,垂足為H,與AF交于點(diǎn)G,若AC=24,GF=65,則EG的長(zhǎng)為8.已知在△ABC中,D是BC上的一點(diǎn),E,F,G,H分別是BD,BC,AC,AD的中點(diǎn).求證:EG,HF互相平分.類(lèi)型3取連接線中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線9.如圖,在?ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，連接AE,BE,F是AE的中點(diǎn),連接CF交BE于點(diǎn)G,若BE=8,則GE的長(zhǎng)為_(kāi)___________.10.如圖，在四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn).(1)若AB=6,CD=8,∠ABD=30°,∠BDC=120°,求EF的長(zhǎng);(2)若∠BDC-∠ABD=90°,求證:AB2+CD2=4EF2.類(lèi)型4利用角平分線和垂直構(gòu)造三角形的中位線11.如圖,在△ABC中,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),AD為△ABC的外角平分線,且AD⊥BD,若AB=6,AC=9,則MD的長(zhǎng)為_(kāi)____________.12.如圖,在△ABC中,AD是中線,AE是∠BAC的平分線,CF⊥AE于F,AB=10,AC=6,求DF的長(zhǎng).13.如圖,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于點(diǎn)E,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),連接EF.(1)如圖(1)，BE的延長(zhǎng)線與AC邊相交于點(diǎn)D,求證:EF=(2)如圖(2),AB=9,AC=5,求線段EF的長(zhǎng).

第五章平行四邊形專(zhuān)題構(gòu)造中位線的方法參考答案1.B【解析】如圖,取BC的中點(diǎn)G,連接EG.∵E是AC的中點(diǎn),∴EG=12.A【解析】如圖,取CG的中點(diǎn)H,連接EH.∵E是AC的中點(diǎn),∴EH是△ACG的中位線,∴EH∥AD,∴∠GDF=∠HEF.∵F是DE的中點(diǎn),∴DF=EF.又∵∠DFG=∠EFH,∴△DFG≌△EFH(ASA),∴FG=FH,又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH,∴S3.C【解析】如圖,連接BD,取BD的中點(diǎn)G,連接MG,NG.∵點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),∴MG是△ABD的中位線,NG是△BCD的中位線,∴AB=2MG,DC=2NG.∵AB=4,DC=2,∴MG=2,NG=1,由三角形三邊關(guān)系得MG-NG<MN<MG+NG,∴1<MN<3,∴③猜測(cè)正確.故選C.4.4∵AD是△ABC的中線,∴BD=CD.∵CE=EN,∴DE∥BN.∵M(jìn)是AD的中點(diǎn),∴易知點(diǎn)N為AE中點(diǎn),∴AN=EN,∴AN=EN=CE=1∵AC=4,∴AN=43第4題圖第5題圖5.【證明】如圖,取AB的中點(diǎn)G,連接MG,NG.∵M(jìn),N分別為AF,BE的中點(diǎn),∴NG=∵CA=CB,CE=CF,AC⊥BC,∴AE=BF,NG⊥MG,∴MG=NG,∠MGN=90°,∴△MNG是等腰直角三角形,∴MG2+NG2=MN2,∴2NG2=MN2.∵AE=2NG,∴AE2=4NG2=2MN2.6.D【解析】如圖,連接DN.∵點(diǎn)E,F分別為DM,MN的中點(diǎn),∴EF是△MND的中位線,∴EF=∵點(diǎn)M,N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合)，∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合時(shí)，DN有最大值，此時(shí)DN=AB27.6【解析】如圖,連接EF.∵E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),∴EF是△BAC的中位線,∴EF=1∵EH⊥AC,∴EH⊥EF,即∠FEG=90°,∴EG=G8.【證明】連接EH,GH,GF.∵E,F,G,H分別是BD,BC,AC,AD的中點(diǎn),∴AB∥EH∥GF,GH∥BC,∴GH∥EF,∴四邊形EHGF為平行四邊形.∵GE,HF為平行四邊形EHGF的對(duì)角線,∴EG,HF互相平分.9.2【解析】取BE的中點(diǎn)M,連接FM,CM,如圖所示.∵F為AE的中點(diǎn),M為BE的中點(diǎn),∴MF=12∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DC=AB,DC∥AB.∵E為CD的中點(diǎn),∴CE=1∵BM=EM=110.(1)【解】如圖,取BD的中點(diǎn)P,連接EP,FP.∵E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),AB=6,CD=8,∴PE∥AB,且PE=12AB=3,PF在Rt△EPF中,由勾股定理得EF=E(2)【證明】∵E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),∴PE∥AB,且PE=12AB,∵∠BDC-∠ABD=90°,∴∠BDC=90°+∠ABD,∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=∠ABD+180°-∠BDC=∠ABD+180°-(90°+∠ABD)=90°,∴PE11.7.5【解析】如圖,延長(zhǎng)BD交CA的延長(zhǎng)線于E.∵AD為∠BAE的平分線,BD⊥AD,∴∠EAD=∠BAD,∠ADE=∠ADB=90°.∵AD=AD,∴△ADE≌△ADB(ASA),∴BD=DE,AB=AE=6,∴CE=AC+AE=9+6=15.又∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),∴DM是△BCE的中位線,∴MD=1第11題圖第12題圖12.【解】如圖,延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G,交AD于點(diǎn)H.∵AE平分∠BAC,∴∠GAF=∠CAF.∵AF⊥CG,∴∠AFG=∠AFC=90°.又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFC(ASA),∴AG=AC,GF=CF.又∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn),∴DF是△CBG的中位線,∴DF=13.(1)【證明】∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠DAE.∵BE⊥