5.6 幾何證明舉例 同步練習(xí)

5.6幾何證明舉例第一課時全等三角形的判定與“HL”定理基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點一全等三角形的判定1.如圖，已知AC與BD相交于點O，OA=OC，OB=OD，則圖中的全等三角形有（）A.1對B.2對C.3對D.4對2.如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，則BD的長為.

3.（2022山東成武期中）如圖，△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，EF是過點C的直線，AE⊥EF于E，BF⊥EF于F，EF=8，BF=3，求AE的長.知識點二直角三角形全等的判定定理“HL”4.（2022廣東韶關(guān)期末）如圖，已知∠C=∠D=90°，添加一個條件，可使用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等.以下給出的條件適合的是（）A.∠ABC=∠ABDB.∠BAC=∠BADC.AC=ADD.AC=BC5.如圖，∠C=90°，AC=10，BC=5，AX⊥AC，點P和點Q從A點出發(fā)，分別在線段AC和射線AX上運動，且AB=PQ，當(dāng)AP=時，△ABC與△APQ全等.

6.（2022山東聊城茌平期末）已知∠A=∠D=90°，AB=DC，點E，F(xiàn)在直線BC上，位置如圖所示，且BE=CF.（1）求證:AF=DE；（2）若PO平分∠EPF，求證:PO垂直平分線段BC.第二課時等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理與判定定理基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點三等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理7.（2022北京順義期末）如圖，△ABC中，直線l是邊AB的垂直平分線，若直線l上存在點P，使得△PAC，△PAB均為等腰三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為（）A.1B.3C.5D.78.（2021山東濱州中考）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上的一點.若AB=AD=DC，∠BAD=44°，則∠C的度數(shù)為.

9.（2021山東淄博中考）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點D，過點D作DE∥BC交AB于點E.（1）求證:BE=DE；（2）若∠A=80°，∠C=40°，求∠BDE的度數(shù).知識點四等邊三角形的性質(zhì)定理與判定定理10.（2022山東單縣期末）如圖，AB=AC，DB=DC，若∠ABC=60°，BE=3，則AB=.

11.（2020浙江臺州中考）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點.分別過點E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA的方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是.

12.（2022山東陽谷期末）已知△ABC是等邊三角形，點D是BC邊上一動點（點D不與B，C重合），連接AD，以AD為邊作∠ADE=∠ADF，分別交AB，AC于點E，F(xiàn).（1）如圖1，若點D是BC的中點，求證:AE=AF；（2）如圖2，若∠ADE=∠ADF=60°，猜測AE與AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測.圖1圖2第三課時垂直平分線、角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點五線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理13.（2021浙江臺州中考）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC.分別以點A，B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E兩點，直線DE交BC于點F，連接AF.以點A為圓心，AF的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點H，連接AH.若BC=3，則△AFH的周長為.14.（2021山東陽谷期末）如圖，在銳角△ABC中，∠A=80°，DE和DF分別垂直平分邊AB、AC，則∠DBC的度數(shù)為.

15.（2021山東濱州濱城期中）△ABC是三邊都不相等的三角形，點O和點P是這個三角形內(nèi)部的點.（1）如圖①，如果點P是這個三角形三個內(nèi)角平分線的交點，那么∠BPC和∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由；（2）如圖②，如果點O是這個三角形三邊垂直平分線的交點，那么∠BOC和∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由；（3）如圖③，如果點P（三角形三個內(nèi)角平分線的交點），點O（三角形三邊垂直平分線的交點）同時在不等邊△ABC的內(nèi)部，那么∠BPC和∠BOC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接回答.圖①圖②圖③知識點六角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理16.（2022山東聊城東昌府期末）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算∠α=.

17.（2020遼寧鞍山中考）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE=AF，CE=CF.求證:CB=CD.18.如圖，已知點F、G是OA上兩點，點M、N是OB上兩點，且FG=MN，△PFG和△PMN的面積相等.判斷點P是否在∠AOB的平分線上，并說明理由.能力提升全練19.（2021內(nèi)蒙古通遼中考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A.∠BDE=∠BACB.∠BAD=∠BC.DE=DCD.AE=AC20.（2019浙江衢州中考）“三等分角”大約是在公元前5世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角.這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點固定，OC=CD=DE，點D，E可在槽中滑動.若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是（）A.60°B.65°C.75°D.80°21.（2021山東冠縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當(dāng)PC與PE的和最小時，∠CPE的度數(shù)是（）A.30°B.45°C.60°D.90°22.（2020湖北鄂州中考）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°.連接AC，BD交于點M，連接OM.下列結(jié)論:①∠AMB=36°；②AC=BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.4B.3C.2D.123.（2021山東威海中考）如圖，在△ABC中，∠BAC>90°，分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點D，E.作直線DE，交BC于點M.分別以點A，C為圓心，以大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，G.作直線FG，交BC于點N.連接AM，AN.若∠BAC=α，則∠MAN=24.（2021湖北仙桃中考）已知△ABC和△CDE都為正三角形，點B，C，D在同一直線上，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.（1）如圖1，當(dāng)BC=CD時，作△ABC的中線BF；（2）如圖2，當(dāng)BC≠CD時，作△ABC的中線BG.圖1圖225.（2022山東高密期末）如圖，BD平分△ABC的外角∠ABP，DA=DC，DE⊥BP于點E.若AB=5，BC=3，求BE的長.素養(yǎng)探究全練26.[邏輯推理]（2022山東濰坊濰城期末）已知△ABC是等邊三角形，點D在邊BC上.【問題解決】如圖1，以AD為一邊作等邊三角形ADE，連接BE，求證:BE+BD=AB；【遷移運用】如圖2，點F是AB邊上一點，以DF為一邊作等邊三角形DEF，連接BE，求證:BE+BD=BF；【類比探究】如圖3，點F是AB延長線上一點，以DF為一邊作等邊三角形DEF，連接BE，試探究BE，BD，BF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并說明理由.圖1圖2圖3

5.6幾何證明舉例答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.D在△AOB和△COD中，OA所以△AOB≌△COD，所以AB=CD，同理△AOD≌△COB，所以AD=BC.在△ABC和△CDA中，AB=同理△ADB≌△CBD.綜上，全等三角形有4對.2.1解析如圖，延長BD，交AC于點E，因為∠A=∠ABD，所以BE=AE.因為BD⊥CD，所以∠BDC=∠EDC=90°.因為CD平分∠ACB，所以∠BCD=∠ECD.在△CBD與△CED中，∠所以△CBD≌△CED（ASA），所以BC=EC=3，BD=ED=12因為AE=AC-EC=5-3=2，所以BE=AE=2，所以BD=123.解析∵∠BCA=90°，∴∠ACE+∠BCF=180°-90°=90°.∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AEC=∠CFB=90°，∴∠EAC+∠ACE=90°，∴∠EAC=∠BCF.在△ACE與△CBF中，∠∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CE=BF=3，AE=CF，∴CF=EF-CE=8-3=5，∴AE=5.4.C在Rt△ABC與Rt△ABD中，∵AB=AB，∴要使用“HL”判定兩個直角三角形全等，需添加條件AC=AD或BC=BD，故選C.5.5或10解析∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，∴∠C=∠PAQ=90°.分兩種情況:①當(dāng)AP=BC=5時，在Rt△ABC和Rt△QPA中，AB∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②當(dāng)AP=AC=10時，在Rt△ABC和Rt△PQA中，AB∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）.綜上所述，當(dāng)AP=5或10時，△ABC與△APQ全等.6.證明（1）∵BE=CF，∴BE+BC=CF+CB，∴CE=BF.在Rt△ABF與Rt△DCE中，BF∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴AF=DE.（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE，∴∠E=∠F，∴PE=PF，又∵PO平分∠EPF，∴PO⊥BC，EO=FO，又∵EB=FC，∴BO=CO，∴PO垂直平分線段BC.7.C如圖，分三種情況考慮:①當(dāng)AP=AC時，以A為圓心，AC的長為半徑畫圓，交直線l于點P1，P2；②當(dāng)CA=CP時，以C為圓心，CA的長為半徑畫圓，交直線l于點P3，P4；③當(dāng)PA=PC時，作AC的垂直平分線，交直線l于點P5.∵直線l是邊AB的垂直平分線，∴直線l上任意一點（與AB的交點除外）與AB構(gòu)成的三角形均為等腰三角形，∴滿足條件的點P的個數(shù)為5.8.34°解析∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∵∠BAD=44°，∴∠B=∠ADB=180°?44°2∵AD=DC，∴∠C=∠DAC，∵∠ADB=∠C+∠DAC，∴∠C=129.解析（1）證明:∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE.（2）∵∠A=80°，∠C=40°，∴∠ABC=60°.∵∠ABC的平分線交AC于點D，∴∠ABD=∠CBD=12由（1）知∠BDE=∠EBD，∴∠BDE的度數(shù)為30°.10.6解析∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AB=BC.在△ABD和△ACD中，AB∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∴AE平分∠BAC，∴BC=2BE=6，∴AB=BC=6.11.6解析因為等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點，所以EF=2.因為△ABC是等邊三角形，所以∠B=∠C=60°，又因為DE∥AB，DF∥AC，所以∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，所以△DEF是等邊三角形，所以剪下的△DEF的周長是2×3=6.12.解析（1）證明:∵△ABC是等邊三角形，D為BC的中點，∴∠BAD=∠CAD，在△ADE和△ADF中，∠∴△ADE≌△ADF（ASA），∴AE=AF.（2）AE=AF，證明如下:如圖，過點A作AM⊥DF于點M，作AH⊥DE，交DE的延長線于點H.∵∠ADE=∠ADF=60°，∴DA平分∠EDF，又AH⊥DE，AM⊥DF，∴AH=AM.∵∠ADE=∠ADF=60°，∴∠EDF=120°，∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°，∠BAC=60°，∴∠AED+∠AFD=180°，∵∠AED+∠AEH=180°，∴∠AEH=∠AFD.在△AHE和△AMF中，∠∴△AHE≌△AMF（AAS），∴AE=AF.13.6解析由作圖方法可得DE垂直平分AB，∴AF=BF.由題意得AF=AH，AC⊥FH，∴FC=CH，∴AF+FC=AH+CH=BF+FC=BC=3，∴△AFH的周長=AF+FC+CH+AH=2BC=6.14.10°解析如圖，連接DA、DC，在△ABC中，因為∠BAC=80°，所以∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°.因為DE和DF分別垂直平分邊AB、AC，所以DA=DB，DA=DC，所以DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，所以∠DBC=∠DCB，∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=∠BAC=80°，所以∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）-（∠DBA+∠DCA）=100°-80°=20°，所以∠DBC=12×20°=10°15.解析（1）∠BPC=90°+12因為BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，所以∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1所以∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-1=180°-12=180°-12=90°+12（2）∠BOC=2∠BAC.理由如下:如圖，連接AO.因為點O是這個三角形三邊垂直平分線的交點，所以O(shè)A=OB=OC，所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，所以∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，所以∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）=2∠OAB+2∠OAC=2（∠OAB+∠OAC）=2∠BAC.故∠BOC=2∠BAC.（3）4∠BPC-∠BOC=360°.因為點P為三角形三個內(nèi)角平分線的交點，所以∠BPC=90°+12QUOTE12∠BAC，所以∠BAC=2∠BPC-180°.因為點O為三角形三邊垂直平分線的交點，所以∠BOC=2∠BAC，所以∠BOC=2（2∠BPC-180°）=4∠BPC-360°，即4∠BPC-∠BOC=360°.16.56°解析如圖，∵四邊形ABCD為長方形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°，由作圖痕跡得AE平分∠DAC，∴∠EAC=12∠DAC=1由作圖痕跡得EH垂直平分線段AC，∴∠AHE=90°，∴∠AEH=90°-∠EAH=56°，∴∠α=∠AEH=56°.17.證明如圖，連接AC，在△AEC與△AFC中，AC所以△AEC≌△AFC（SSS），所以∠CAE=∠CAF.因為∠B=∠D=90°，所以CB⊥AB，CD⊥AD，所以CB=CD.18.解析點P在∠AOB的平分線上.理由如下:如圖，過點P作PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E.∵S△PFG=12FG·PD，S△PMN=1∴12FG·PD=1又∵FG=MN，∴PD=PE，又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴點P在∠AOB的平分線上.能力提升全練19.B根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分線，∴∠B+∠BDE=90°.∵DC⊥AC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=DC，∠B+∠BAC=90°，∴∠BDE=∠BAC.在Rt△AED和Rt△ACD中，AD∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE=AC，∵DE不一定是AB的垂直平分線，∴不能證明∠BAD=∠B.綜上所述，選項A，C，D正確，選項B錯誤.20.D因為OC=CD=DE，所以∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，所以∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，因為∠O+∠OED=∠ODC+∠DCE=3∠ODC=∠BDE=75°，所以∠ODC=25°，因為∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°，所以∠CDE=105°-∠ODC=80°.故選D.21.C如圖，連接BE，與AD交于點P，因為△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，所以PC=PB，所以PE+PC=PE+PB=BE，即BE的長就是PE+PC的最小值.因為△ABC是等邊三角形，所以∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC=AC.又因為E為AC的中點，所以AE=EC，所以BE⊥AC，∠EBC=12因為PB=PC，所以∠PCB=∠PBC=30°，所以∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，故選C.22.B因為∠AOB=∠COD=36°，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中，OA所以△AOC≌△BOD（SAS），所以∠OCA=∠ODB，∠OAC=∠OBD，AC=BD，②正確；由三角形的外角性質(zhì)，得∠CMD+∠OCA=∠COD+∠ODB，因為∠OCA=∠ODB，所以∠CMD=∠COD=36°，所以∠AMB=∠CMD=36°，①正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，則∠OGA=∠OHB=90°.在△OGA和△OHB中，∠所以△OGA≌△OHB（AAS），所以O(shè)G=OH，所以MO平分∠AMD，④正確；假設(shè)OM平分∠AOD，則∠DOM=∠AOM.在△AMO與△DMO中，∠所以△AMO≌△DMO（ASA），所以AO=OD.因為OC=OD，所以O(shè)A=OC，而OA<OC，與題干條件矛盾，③錯誤.綜上，正確的為①②④，共3個，故選B.23.2α-180°解析在△ABC中，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α.由作圖痕跡得DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，∴MA=MB，NA=NC，∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，∴∠MAB+∠NAC=∠B+∠C=180°-α，∴∠MAN=∠BAC-（∠MAB+∠NAC）=α-（180°-α）=2α-180°.24.解析（1）如圖1，線段BF即為所求.（2）如圖2，線段BG即為所求.圖1圖225.解析過點D作BA的垂線，交AB于點H，∵BD平分∠ABP，DE⊥BP，∴DE=DH.在△DEB和△DHB中，∠∴△DEB≌△DHB