初中數(shù)學(xué).全等與幾何變換.第09講教師版

全等與幾何變換全等與幾何變換內(nèi)容基本要求略高要求較高要求軸對稱了解圖形的軸對稱，理解對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分性質(zhì)；了解物體的鏡面對稱能按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；掌握簡單圖形之間的軸對稱關(guān)系，并能指出對稱軸；掌握基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性及相關(guān)性質(zhì)。能運用軸對稱進行圖案設(shè)計旋轉(zhuǎn)了解圖形的旋轉(zhuǎn)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；會識別中心對稱圖形能按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，能依據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形，指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角能運用旋轉(zhuǎn)的知識解決簡單問題；平移了解圖形平移，理解平移中對應(yīng)點連線平行（或在同一條直線上）且相等的性質(zhì)能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形；能依據(jù)平移前后的圖形，指出平移的方向和距離能運用平移的知識解決簡單的計算問題；模塊一全等三角形與軸對稱?角平分線類“角”是軸對稱圖形，對稱軸為角平分線所在的直線。因此在遇見與角平分線有關(guān)問題的時候，可以有下面幾個基本解題思路：①平分角；②角平分線上點到角兩邊的距離相等；③沿角平分線進行翻折。如圖，在中，，為的平分線．求證：．【難度】3星【解析】輔助線：有兩個基本思路，一是將沿進行翻折，點落在點，主要目的：構(gòu)造,因此可將問題順利轉(zhuǎn)化為證明：“”二是將沿進行翻折，基本思路同“思路一”【答案】思路一、如圖，在上截取，連接，可證，因此可得，，，∵∴∴∴∴∴思路二、略【鞏固】如圖，中，平分，，則．【難度】2星【解析】根據(jù)角平分線的對稱性，將翻折，如圖，則，,結(jié)合已知條件“”，可得，∴為等腰三角形思路二，可將進行翻折，分析略【答案】在中，，是的平分線．是上任意一點．求證：．【難度】星【解析】為角平分線，將沿翻折，點落在點，連接，則，，∴可以將問題“”轉(zhuǎn)化為“”，則用三邊關(guān)系很容易能夠解決【答案】略【鞏固】如圖，是的外角的平分線上的點（不與重合）求證：【難度】星【解析】為角平分線，將沿翻折，點落在點，連接，則，，∴可以將問題“”轉(zhuǎn)化為“”，則用三邊關(guān)系很容易能夠解決【答案】在上截取一點使得，其他略如圖，在中，，，是上一點，交的延長線于，且．求證：是的角平分線．【難度】3星【解析】結(jié)論要證明：“是的角平分線”，而且已知條件中有“”，即“”因此可以通過沿翻折“”構(gòu)造“”，但是，問題在于“是的角平分線”是我們所需要證明的結(jié)論，而并非已知條件，所以輔助線的描述方式為：“延長、交于點”【答案】延長、交于點，先證明，得，則，再證．?垂直平分線類垂直平分線：“垂直平分線上點到線段兩個端點的距離相等”，主要是轉(zhuǎn)化線段之間的關(guān)系，尤其是在軸對稱有關(guān)作圖中，應(yīng)用更為廣泛如圖，的兩邊、的垂直平分線分別交于、，若,則的度數(shù)是【難度】星【解析】由垂直平分線的性質(zhì)可得，、均為等腰三角形，設(shè)，，則，，因此解得，∴【答案】【鞏固】如圖中，平分，且平分，于，于.⑴說明的理由；⑵如果，，求，的長.【難度】星【解析】⑴要證明，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可連接、證明即可⑵求、的長，可設(shè)，，根據(jù)題意得，解得【答案】略?構(gòu)造等腰三角形類構(gòu)造等腰三角形類的主要方法有兩種：①是將直角三角形沿著某一直角邊翻折；②是截取等長線段如圖，在中，，于，且，那么的度數(shù)是_______【難度】星【解析】已知條件“”，為了構(gòu)造與之相關(guān)的條件，將沿翻折，點落在點，因此在上截取一點，使得，連接，易證，因此設(shè)，則，∵，∴，∴【答案】【鞏固】如圖，在中，于，．求證：．【難度】3星【解析】根據(jù)已知條件，可考慮將沿折疊，點落在的延長線上的點，因此將求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為，因此只需證明即可，輔助線描述如下：延長到點使得，連接，易證為線段的垂直平分線，∴，∴，∵∴∴∴也可以，延長至，使，連接．易證，所以，進而是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可知【答案】略?構(gòu)造等邊三角形類構(gòu)造等邊三角形類的方式主要有兩種：①直接以某一線段長為邊，直接構(gòu)造等邊三角形；②作等腰三角形，然后利用題目給出的特殊角，如，證明此等腰三角形為等邊三角形如圖，在中，，是外的一點，且，．求證：．【難度】4星【解析】本題輔助線的思路隱含在結(jié)論“”以及中，很容易讓人聯(lián)想到等邊三角形，因此也只需將這個等邊三角形補全即可【答案】延長至，使，連接．∵，∴為等邊三角形．∴．∴，∴，∴，∴，故原題得證．【鞏固】如圖，已知，且．求證：是等腰三角形．【難度】3星【解析】本題的結(jié)論：“是等腰三角形．”那么我們知道應(yīng)該有兩種方法：①通過三角形全等證明，②證明，但是通過對已知條件的分析發(fā)現(xiàn)，此兩種方法都沒有辦法解決，因此必須通過輔助線對結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，利用“”，構(gòu)造出等邊，因此只需要證明，即證明,這里有一個難點就是“”的應(yīng)用。【答案】延長到，使得，連結(jié)．∵，∴是等邊三角形，∴∵，∴則，即∵，∴，∴∴，∴∴是等腰三角形．模塊二全等三角形與旋轉(zhuǎn)?全等三角形與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)一般涉及到旋轉(zhuǎn)有關(guān)問題時，都會用到:旋轉(zhuǎn)前后，圖形對應(yīng)全等，由此轉(zhuǎn)化線段與角的對應(yīng)關(guān)系如圖，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至，使點恰好落在邊上，已知，，則的長是________【難度】星【解析】旋轉(zhuǎn)前后圖形對應(yīng)全等：對應(yīng)邊相等【答案】【鞏固】如圖，將繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點落在點位置，點落在點位置，若，則【難度】星【解析】旋轉(zhuǎn)前后圖形對應(yīng)全等：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等【答案】如圖，在上，在上，且，，則的長等于（）A.B.C.D.【難度】星【解析】旋轉(zhuǎn)前后圖形對應(yīng)全等：對應(yīng)邊相等【答案】C（提示：可證明）?倍長中線類倍長中線是我們耳熟能詳?shù)囊环N輔助線的作法，其實此作法最主要是通過旋轉(zhuǎn)的方式，構(gòu)造出一對“8”字型全等三角形，從而轉(zhuǎn)化線段與角的數(shù)量關(guān)系如圖，已知為邊的中點，，則（）A．大于B．小于C．等于D．與的大小關(guān)系無法確定【難度】3星【解析】延長到，使得，連接易證，∴又∵，∴，即是等腰三角形在中，，∴，故選A．【答案】A【鞏固】在后面的學(xué)習(xí)中，我們會學(xué)習(xí)到與直角三角形斜邊上有關(guān)的性質(zhì)：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，用數(shù)學(xué)語言改編如下：已知：在中，，為斜邊的中點，證明:【難度】星【解析】涉及到三角形中線的問題，一般可以考慮“倍長中線”，而從幾何變換的角度來講，“倍長中線”就是將某一個三角形旋轉(zhuǎn)，然后進行邊與角關(guān)系的轉(zhuǎn)化【答案】延長到點，連接易證則，，則易證，所以，則，∴在《四邊形》這一章中，我們會學(xué)習(xí)到中位線的概念以及性質(zhì)中位線的概念：三角形兩邊中點的連線，我們稱之為三角形的中位線中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半用數(shù)學(xué)語言改編如下：如圖，在中，為的中點，為的中點證明：，【難度】星【解析】類似于倍長中線的作法，構(gòu)造“”型全等，轉(zhuǎn)化線段與角的關(guān)系【答案】延長到點，使得，連接，易證,則，，易證則,，所以，【鞏固】兩個全等的含、角的三角板和三角板，如圖所示放置，、、三點在一條直線上，連結(jié)，取的中點，連結(jié)、，試判斷的形狀，并說明理由．【難度】3星【解析】類似于“倍長中線”的做法構(gòu)造“”字型全等，同時還有“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”【答案】延長，交于點，易證，則，易證為等腰直角三角形，則，∴為等腰直角三角形?一般等腰三角形旋轉(zhuǎn)一般等腰三角形旋轉(zhuǎn)的問題主要有：①通過對等腰三角形旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造全等三角形；②通過對一般三角形旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等腰三角形如圖，中，，,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置求證：，【難度】星【解析】旋轉(zhuǎn)等腰三角形構(gòu)造全等三角形【答案】提示：【鞏固】如圖，是邊長為1的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點分別在上，則的周長是．【難度】4星【解析】將繞點逆時針旋轉(zhuǎn),將繞點順時針旋轉(zhuǎn)【答案】如圖，由已知可得分別是的平分線．又∵，∴≌．同理得≌，．又，∴≌，∴=1．?等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)有關(guān)問題要充分考慮到：“邊相等”“角相等”，還有斜邊上的中線，這條特殊的線段，尤其是涉及到斜邊中點的時候，基本上都會連接這條中線已知：三角形中，，，為的中點．（1）如圖，分別是上的點，且，求證：為等腰直角三角形．（2）若分別為延長線上的點，仍有，其他條件不變，那么，是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．【難度】3星【解析】要想證明“為等腰直角三角形”，首先得證明：“”，因此可以考慮構(gòu)造全等三角形，而且四邊形這類圖形，在以后的學(xué)習(xí)過程還經(jīng)常會遇見【答案】⑴連結(jié)，∵，，為的中點，∴，，．∵，∴≌．∴．∴，∴為等腰直角三角形．(2)若分別是延長線上的點，如圖所示．連結(jié)．∵為的中點，∴．∴．∴．又∵，∴≌．∴．∴．∴仍為等腰直角三角形．【鞏固】如圖，在中，＝，＝，為上任意一點，且⊥于，⊥于，為的中點，試判斷是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論．【難度】3星【解析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)：“斜邊上的中線垂直平分斜邊，且等于斜邊的一半”構(gòu)造全等三角形【答案】連接∵＝，＝，⊥，⊥，為的中點∴＝，＝，＝＝．又∵＝∴≌∴＝，＝又∵+＝∴＝∴是等腰直角三角形．?等邊三角形旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖①，已知中，，是內(nèi)任意一點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，使，連接、，則?！毙×潦莻€愛動腦筋的同學(xué)，他通過對圖①的分析，證明了，從而得，之后，他將點移到等腰三角形之外，原題中其他條件不變，發(fā)現(xiàn)“”仍然成立，請你就圖②給出證明?！倦y度】星【解析】典型的旋轉(zhuǎn)全等題，兩個圖形的證明思路完全一樣，只不過在證明時略有區(qū)別【答案】略【鞏固】如圖，已知四邊形中，，，證明：．【難度】3星【解析】典型的等邊三角形等點重合【答案】延長至，使．連接．∵，∴是等邊三角形，∴．又∵，∴，∴為等邊三角形．∴．∴，∴≌．∴．?三垂直全等及三垂直的變形在中，，，直線經(jīng)過點，且于，于．⑴當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，求證：；⑵當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，求證：；⑶當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，試問：、、有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【難度】級【解析】本題的關(guān)鍵是充分利用等腰直角三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化邊與角的關(guān)系，證明【答案】（1）略；（2）略；（3）．【鞏固】如圖，在等腰中，，為上一點，，，那么等于（）A．B．C．D．【難度】星【解析】本題主要是證明，利用全等三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化【答案】A【鞏固】如圖，是經(jīng)過頂點的一條直線，，、分別是直線上兩點，且．（1）若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且、在直線上，請解決下面兩個問題：①如圖①，若，，則；（填“”、“”、“”）；②如圖②，若，請?zhí)砑右粋€關(guān)于與關(guān)系的條件，使①中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明這兩個結(jié)論．（2）如圖③，若直線經(jīng)過的外部，，請?zhí)岢觥ⅰ⑷龡l線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．【難度】3級【解析】三垂直的變形，“”是本題的關(guān)鍵?！敬鸢浮浚?）①=；=；②；（2）．模塊三全等三角形與平移平移的基本思路是通過平移，將有關(guān)系但又不在一起的量集中起來，且對應(yīng)邊平行且相等如圖所示，兩條長度為的線段和相交于點，且，求證：．【難度】3星【解析】考慮將、和集中到同一個三角形中，以便運用三角形的不等關(guān)系．【答案】作且，則四邊形是平行四邊形，從而．(教師可告訴學(xué)生：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)，在中可得，即．由于，，所以是等邊三角形，故，所以．【鞏固】如圖所示，在的邊上取兩點、，且．求證：．【難度】3星【解析】本題所要證的四條線段分布于不同的三角形中，要比較它們的大小，就要將這四條線段相對集中．為此，可設(shè)想將平移到的位置，這樣，相當(dāng)于將平移到，將平移到．于是，要證，就相當(dāng)于證明——這個關(guān)系是顯然的．【答案】如圖所示，過作，過作，交于點．由于，，．故≌，則，．設(shè)與的交點為．由于，，所以．故．課堂檢測課堂檢測點是四邊形的邊的中點，，證明：【難度】星【解析】本題是典型軸對稱變換，條件非常少，不過結(jié)論“”非常有特點，即為什么會出現(xiàn)，同時還是證明不等關(guān)系，只有我們在接觸最短路程，已經(jīng)三角形三邊關(guān)系的時候做過類似的問題【答案】作點關(guān)于的對稱點，連接、，作點關(guān)于的對稱點，連接、、∴，，，易證，∴,∴∴是等邊三角形∴，∵∴如圖，在中，，是外的一點，且，．求證：．【難度】4星【解析】本題輔助線的思路隱含在結(jié)論“”以及中，很容易讓人聯(lián)想到等邊三角形，因此也只需將這個等邊三角形補全即可【答案】延長至，使，連接．∵，∴為等邊三角形．∴．∴，∴，∴，∴，故原題得證．總結(jié)復(fù)習(xí)總結(jié)復(fù)習(xí)1．通過本堂課你學(xué)會了．2．掌握的不太好的部分．3．老師點評：①