高數(shù)A下總復(fù)習(xí)

1、1. 設(shè)區(qū)域 ，則 = 。2設(shè)是單位球面的外側(cè)，則曲面積分：=（ ）。CA B. C D. 3 對于二元函數(shù) ，極限為（ ）。 BA不存在 B. 0 C1 D. 無窮大4改變積分次序后 =（ ）。AA B C D 5.計(jì)算 ，其中是球面 被平面 所截得的圓周。解：由對稱性知道所以 6. 應(yīng)用格林公式計(jì)算曲線積分：，其中是以為頂點(diǎn)的三角形，方向取正向。解：三條線段的方程為： 而 ，從而其中三角形區(qū)域（如圖），分成兩部分。7. 計(jì)算二重積分，其中是由直線 圍成的三角形區(qū)域。解：設(shè) 型區(qū)域：，分成：從而 8. 應(yīng)用冪級數(shù)性質(zhì)求 。解：令 ，由于 即收斂區(qū)域?yàn)椋?，由逐?xiàng)微分之性質(zhì)， ，由逐項(xiàng)積分之性質(zhì)

2、，所以，從而，因此，9.對于二元函數(shù) ，極限為（ ）。AA不存在 B. 0 C1 D. 無窮大10. 改變積分次序后 =（ ）。C A B C D 11. 計(jì)算第一型曲線積分：，其中是以為頂點(diǎn)的三角形。12.應(yīng)用格林公式計(jì)算曲線積分：，為由到經(jīng)過圓上半部的路線。13. 求級數(shù) 的收斂域及和函數(shù)，并求 。級數(shù)的收斂域?yàn)?級數(shù)的和函數(shù)為 冪級數(shù)中取得數(shù)項(xiàng)級數(shù) 14 設(shè) 是由方程所確定的隱函數(shù)，其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則 。1 15改變積分次序后 =（ ）。CA. , B. C. , D. 16. 若級數(shù)收斂，則級數(shù) _ D A. 一定絕對收斂； B. 一定條件收斂； C. 一定發(fā)散； D. 可能

3、收斂也可能發(fā)散17. 求二重積分，其中D為三直線 所圍成的平面區(qū)域 18. 利用格林公式計(jì)算曲線積分，其中曲線L為的上半圓左端點(diǎn)A（-1，0）到右端點(diǎn)B（1，0）的有向弧線段。解：補(bǔ)充由格林公式得, 所以 19. 求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)。20. 向量在向量 上的投影為 21. 函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向?qū)?shù)為 ，最大方向?qū)?shù)為：_22. 求冪級數(shù)的收斂域。23. 計(jì)算曲面積分：，其中是錐面 與平面所圍空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè)。24. 設(shè)，證明：在原點(diǎn)處連續(xù)，且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微分。證明：令，從而因此在原點(diǎn)處連續(xù)。因此在原點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在?？紤]極限 因此，極限不存在，從而在原點(diǎn)不可微。25.

4、求級數(shù) 的和函數(shù)，并求 的和。收斂區(qū)域?yàn)椤?6. 設(shè)方程組確定隱函數(shù)，求第二學(xué)期模擬題目（說明：本題目只是為了幫學(xué)生再一次梳理知識(shí)作用）1函數(shù) （ A ）。 （A）處處連續(xù) （B）處處有極限，但不連續(xù) （C）僅在（0，0）點(diǎn)連續(xù) （D）除（0，0）點(diǎn)外處處連續(xù)同類題目1：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在的：(A)必要而非充分條件； (B)充分而非必要條件；(C)充分必要條件； (D)既非充分又非必要條件。同類題目2：在點(diǎn)處可微的充分條件是（ ）（A）的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) （B）連續(xù) （C）的所有一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) （D）連續(xù)且對的偏導(dǎo)數(shù)都存在。同類題目3：函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在點(diǎn)有極值的（

5、）為。A、必要條件； B、充分條件； C、充要條件； D、既非充分又非必要條件同類題目4：函數(shù)在點(diǎn)存在 ，則有（ ）。 A、函數(shù)在點(diǎn)有定義；B、函數(shù)在點(diǎn)存在極限C、函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)； D、函數(shù)在點(diǎn)可微。同類題目5：是級數(shù)收斂的 （ ）A、必要條件； B、充分條件； C、充要條件；D、既非充分又非必要條件同類題目6：是級數(shù)發(fā)散的 。A、 必要條件； B、充分條件； C、充要條件； D、既非充分又非必要。同類題目7：若級數(shù)和都發(fā)散，則（ ）A、必發(fā)散； B、發(fā)散；C、必發(fā)散； D、以上說法都不對。同類題目8：若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有二階偏導(dǎo)數(shù)則（ ）A、必有= B、在內(nèi)連續(xù)C、在內(nèi)可微 D、A、B、C結(jié)論都

6、不對同類題目9：下列級數(shù)中條件收斂的是（ ）A、 B、C、 D、同類題目10：若，則在點(diǎn)處函數(shù)是（ ）A、連續(xù)； B、不連續(xù)； C、可微； D、都不定。同類題目11：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，則在點(diǎn)處 （ ）A、偏導(dǎo)數(shù)一定不存在 B、全微分一定不存在C、至少有一個(gè)方向的方向?qū)?shù)不存在 D、以上說法都不對2.設(shè)為平面在第一卦限的部分，則（B ） （A） （B） （C） （D）3若，則（A） （B）（C） （D）同類題目1：設(shè)，其中存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。答案：2分 8分4.設(shè)C為正向圓周，則 答案：1/2 a4同類題目1：設(shè)L是圓周：的正向，則（ ）（A） （B）0 （C） （D）。答案：D5.設(shè)函數(shù)由

7、方程所確定，則 6設(shè)在內(nèi)連續(xù)，為使它在區(qū)間上的傅里葉展開式具有形式，須將作何種延拓？ 偶延拓 ， 同類題目1：周期為的函數(shù)的傅里葉級數(shù)中， 。同類題目2：周期函數(shù)的傅里葉展開式中，系數(shù)（ ）。A、； B、；C、 ； D、同類題目3：若在上滿足狄里赫條件，則=。 答案：同類題目4：設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，在上的表達(dá)式為，則在處的傅里葉級數(shù)收斂于 。7.設(shè)，由二重積分的幾何意義知8.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，改變二次積分的積分次序。答案：同類題目1：設(shè)為連續(xù)函數(shù)，交換下列積分的積分次序，并寫出該積分在極坐標(biāo)系中先積r后積的二次積分。解：同類題目2：設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分 的積分次序。答案：原式

8、= 同類題目3：積分換序 :將下積分化為先對X后對Y的積分 答案： 同類題目4：設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，交換二次積分的積分次序后的結(jié)果為 答案：C同類題目5：更換積分次序：答案如下：9. 計(jì)算曲線積分。式中由極坐標(biāo)方程所表示的曲線上從到的一段。答案：解：積分與路徑無關(guān)，選擇沿坐標(biāo)軸由點(diǎn)(2,0)到(0,1)原積分同類題目1：計(jì)算積分 式中L是從點(diǎn)O(0，0)沿曲線y=sinx到點(diǎn)A(，0)的弧段。10. 計(jì)算，其中為球面的外側(cè)。答案：解：由高斯公式，原積分同類題目1： 設(shè)空間區(qū)域由曲面和平面所圍，為的表面外側(cè)，求：解：原積分同類題目2：計(jì)算其中是z=1x2y2在xoy面上方的部分曲面的上側(cè)。

9、答案如下：解：補(bǔ)一平面塊1：z=0,x2+y21，取下側(cè)，和1圍成立體，由高斯公式同類題目3：計(jì)算。其中為錐面介于到之間部分的下側(cè)，為在點(diǎn)處的法向量的方向余弦。答案如下：添加曲面的上側(cè)，在曲面上用高斯公式得：所以。11. 求函數(shù)在（1，1）點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)。同類題目1：函數(shù)在點(diǎn)（1，2，1）處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)值最大，并求此最大方向?qū)?shù)的值。答案如下：解：(4分)設(shè)則，其中為與的夾角。所以當(dāng)與同向時(shí)，=取最大值。 (10分)同類題目2：求函數(shù)u=在點(diǎn)（1，1，4）處沿曲線在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù)。答案：在點(diǎn)處對應(yīng)的t0= 1，切線方向1,2t,9t²t=1=1,2,9cos= c

10、os= cos= 同類題目3：設(shè)則在點(diǎn)處方向?qū)?shù)的最大值為 （A ）A、 B、 C、 D、以上都不對同類題目4：設(shè)是曲面在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量，則在點(diǎn)P沿方向的方向?qū)?shù)為（ ）（A）0 （B） （C） （D）2 12. 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。答案如下：同類題目1：試求冪函數(shù)的收斂域及和函數(shù)。解：收斂x=1與x=-1時(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)一般項(xiàng)不趨于0，故皆發(fā)散，收斂區(qū)間為(-1,1)。設(shè)和函數(shù)S(x)= 同類題目2：求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)答案如下：，收斂區(qū)間為同類題目3：求級數(shù)在其收斂域中的和函數(shù)。答案如下：=5分令，8分，則=12分13. 設(shè)都是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)，且

11、使曲線積分與都與積分路徑無關(guān)。試證：對于函數(shù)，恒有。答案如下：同類題目1：驗(yàn)證(sin y-y sin x+x)dx+(cos x+x cos y+y)dy是某函數(shù)u(x,y)的全微分，并求出該函數(shù)u(x,y).14. 設(shè)是由及所圍的有界閉區(qū)域。試計(jì)算。答案如下：15. 周期為2的函數(shù)，設(shè)它在一個(gè)周期上的表達(dá)式為，將展成傅立葉級數(shù)。答案如下：16. 設(shè)，求 答案：2x17. 設(shè)冪級數(shù)的收斂域?yàn)椋?，2），則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 。答案：（0，6）18. 在圓的部分上找點(diǎn)P，使其到點(diǎn)M(2,1)的距離為最小。答案如下：解：設(shè)所求點(diǎn) 最小，條件極值由拉格朗日乘數(shù)法設(shè)：解出：19. 證明不存在。提示：

12、取y=kx即可驗(yàn)證。20. 計(jì)算二重積分，其中D：答案如下：同類題目1：，其中是由和所圍成。答案：4分8分同類題目2：設(shè)，則。同類題目3：計(jì)算。答案：Y X =5分=10分21. 求冪級數(shù)的收斂域。當(dāng)x=1時(shí)，是絕對收斂還是條件收斂？并給出證明。答案如下：解：收斂半徑R1當(dāng)x=1時(shí)令 ，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)減 當(dāng) 又 故為萊布尼茲級數(shù)收斂，從而原級數(shù)收斂。 一般項(xiàng)加絕對值后，當(dāng)時(shí)， ，故 發(fā)散。 故原級數(shù)條件收斂。當(dāng)x= -1時(shí)即由上面討論知發(fā)散。收斂域(-1,122. 求正數(shù)，使曲面與橢球面在某點(diǎn)有相同的切平面，并寫出切點(diǎn)的坐標(biāo)。答案如下：解：設(shè)在點(diǎn)處相切則即由此及，故相應(yīng)點(diǎn)是22. 設(shè)由確定則=

13、23. 曲線積分，其中是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓周，則積分面積是（ C ）A、； B、； C、； D、。24. 曲面2在點(diǎn)(2,-2,2)處的切平面方程為 答案：25. 將坐標(biāo)面上的曲線饒軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 。26. 直線與平面的位置關(guān)系是（ ）A、直線與平面平行； B、直線與平面垂直；C、直線在平面上； D、直線與平面只有一個(gè)交點(diǎn)，但不垂直。27. 設(shè)，其中存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求答案：2分6分28. 計(jì)算球面與旋轉(zhuǎn)錐面之間包含軸的部分的體積。簡要答案：由,因此。29. 證明是某個(gè)函數(shù)的全微分，并求出。答案如下：因?yàn)樗允悄硞€(gè)函數(shù)的全微分。并且。30. 已知，則當(dāng) 時(shí)，向量。1、數(shù)

14、項(xiàng)級數(shù)斂散性判斷；利用比較法證明數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂。2、求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和；求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)。1、數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判斷；利用比較法證明數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂。數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判斷:（1）必要性，（2）正項(xiàng)級數(shù)的判別法：比較(通常與等比級數(shù)或P-級數(shù)作比較),方法一：直接比，放大或縮小不等式；方法二:比較判別法的極限形式)，比值，根值比較 (3) 交錯(cuò)級數(shù)的審斂法，絕對收斂與條件收斂例1：（1）（09-2-A， 一（5）若級數(shù)收斂，則級數(shù) _ A. 一定絕對收斂； B. 一定條件收斂； C. 一定發(fā)散； D. 可能收斂也可能發(fā)散（如例：）（2） 08年一（2）若級數(shù)在處收斂，在發(fā)散，則該冪級數(shù)（ ） A必在處發(fā)散； B必在處收斂 C必在處發(fā)散； D.其收斂區(qū)間為 （3） 08年一（5）級數(shù)=（ ） (10:)A發(fā)散 B條件收斂 C絕對收斂 D以上結(jié)論都不對（4） 06年試題：一（5）級數(shù) 收斂，則=（ ） （答案 -2）例2：級數(shù)A 絕對收斂 B 條件收斂 C 發(fā)散 D 收斂性與a有關(guān) 例3：下列正確的是（ ）A B C D（例4：判斷級數(shù)的斂散性，如收斂，說明是條件收斂還是絕對收斂（1）；（2）；（3）（4）例4 （1）條件；（2）絕對；（3）絕對；（4）絕對例5 ：書P225, 1, 8，9（必須作）2求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和；求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)。冪級數(shù)的收斂半徑與