向量法解決立體幾何中的夾角問(wèn)題

向量法解決立體幾何夾角問(wèn)題1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

3.二面角：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍知識(shí)儲(chǔ)備在利用空間向量解答立體幾何夾角問(wèn)題時(shí)，主要要突破“四關(guān)”：第一，突破“建系關(guān)”；第二，突破“坐標(biāo)關(guān)”；第三，突破“法向量關(guān)”；第四，突破“夾角公式關(guān)”。在四關(guān)中建系是入門(mén)關(guān)，如何建立合適的直角坐標(biāo)系是解決立體幾何問(wèn)題的入門(mén)關(guān)鍵所在第一關(guān)：建系關(guān)1、空間直角坐標(biāo)系的建立方法：在空間中取原點(diǎn)0，從原點(diǎn)0引三條兩兩垂直的直線做為坐標(biāo)軸，最后選定某個(gè)長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度。如右圖（1）建系轉(zhuǎn)化：把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題（2）向量運(yùn)算：運(yùn)用向量相關(guān)知識(shí)。（3）回到圖形下結(jié)論：把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義.xyzzyxxyz類型一：用“墻角”用墻角：有三條兩兩垂直的直線，直接建系.●類型分析造墻角：通過(guò)作輔助線并加以證明，“造”出“墻角”，從而可建系.類型二：造“墻角”.

歸納1:1.有三條兩兩垂直的直線（墻角）時(shí)建系最方便；2.沒(méi)有明顯的“墻角”時(shí)需通過(guò)條件或輔助線“找墻角”或“造墻角”；3.實(shí)在沒(méi)有時(shí)可借助直角建系，可令一條坐標(biāo)軸“懸空”.第二關(guān)：坐標(biāo)關(guān)ⅡⅦ面ⅤⅥⅠ面面ⅢⅣⅧ?O空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限空間直角坐標(biāo)系的劃分回顧?P1P2P3yxz??11P?1?空間中點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)于空間任意一點(diǎn)P，要求它的坐標(biāo)

過(guò)P點(diǎn)分別做三個(gè)平面分別垂直于x,y,z軸，平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為P1、P2、P3，在其相應(yīng)軸上的坐標(biāo)依次為x,y,z，那么(x,y,z)就叫做點(diǎn)P的空間直角坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱為坐標(biāo)，記作P(x,y,z)，數(shù)值x,y,z叫做P點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)?；仡?111?P?P0xyzP點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z)P1空間中點(diǎn)的坐標(biāo)方法二：過(guò)P點(diǎn)作xOy面的垂線，垂足為點(diǎn)。點(diǎn)在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)x、y依次是P點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)。再過(guò)P點(diǎn)作z軸的垂線，垂足在z軸上的坐標(biāo)z就是P點(diǎn)的豎坐標(biāo)。MN回顧例2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn)，設(shè)△AB1D1的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫(xiě)出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(1)A1、B1、A、D1；(2)G;(3)B;(4)若N為DD1上點(diǎn)，且ON⊥DD1寫(xiě)出N坐標(biāo)。ABCDB1C1D1A1O例2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn)，設(shè)△AB1D1的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫(xiě)出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(1)A1、B1、A、D1；(2)G;(3)B;解（1）A1

(2,-2,0)

B1

(2,2,0)、A(2,0,)、D1

(0,-2,0)

(2)投影法公式法yzxABCDB1C1D1A1O例2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn)，設(shè)△AB1D1的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫(xiě)出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(3)設(shè)B(x,y,z),則

又∵,比較得

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為

ABCDB1C1D1A1Oyzx向量法例2

在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn).(4)若N為DD1上點(diǎn)，且ON⊥DD1寫(xiě)出N坐標(biāo)。ABCDB1C1D1A1OyzxN解:(4)∵

三點(diǎn)共線，可設(shè)即,

∵故向量法求空間直角坐標(biāo)下點(diǎn)的坐標(biāo)的方法:

一、投影法

將空間點(diǎn)P分別投影到

x軸、

y軸、z軸所得投影點(diǎn)為A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)則點(diǎn)

P坐標(biāo)為(a,b,c)。二、公式法利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式三角形的重心坐標(biāo)公式、距離公式、夾角公式等求出點(diǎn)的坐標(biāo)。三、向量法利用向量相等、垂直、共線等運(yùn)算求出點(diǎn)坐標(biāo)。第三關(guān)：法向量關(guān)求法向量的步驟：第四關(guān)：夾角關(guān)1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

3.二面角：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍例

正三棱柱中，D是AC的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值。CADBC1B1A1

如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b,則C(0,0,0)故則可設(shè)=1，，則B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE設(shè)面的一個(gè)法向量為已求得B(0,1,0)可取