理學(xué)第4章-能量守恒定律-63

能量、能量守恒定律第4章11）動(dòng)能和功，著重掌握變力作功。2）保守力作功和勢(shì)能。3）一維勢(shì)能曲線4）能量守恒定律。2√第4章能量、能量守恒定律4-1動(dòng)能和功恒力作功及功的定義1.功力的時(shí)間積累是沖量，力的空間積累稱為功。

物體在恒力作用下作直線運(yùn)動(dòng)，并位移了，則定義力對(duì)物體作的功為：

功是標(biāo)量，當(dāng)0

/2時(shí)，W>0，F(xiàn)作正功；當(dāng)

/2<

時(shí)，W<0，F(xiàn)作負(fù)功；當(dāng)

=

/2，W=0，即F與位移垂直時(shí)，不作功。3

變力作用于質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)沿曲線從a點(diǎn)移到b點(diǎn)，用微元法，將ab分成n小段，每一小段上力近似恒力，

W=Fi?

ri，從a到b，力F作的總功為W≈∑Fi?

ri，當(dāng)n→∞時(shí)

元功

dW=F?dr=F∣dr∣cos

=Fcos

ds=F

ds總功

功率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體作的功稱為功率，是反映作功快慢的物理量。單位：瓦特，W，1W=1J/sabF

rarbroF

dr變力作功4在直角坐標(biāo)系中功的表達(dá)式，在自然坐標(biāo)系中功的表達(dá)式，．．．5由功的定義式，做一個(gè)定積分。解:例1

一個(gè)在x-y平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，在力的作用下移動(dòng)一段位移，求此過(guò)程中力所做的功。(習(xí)題二

,9)解:

由功的定義式求解例2一物體受到的力的作用，x以米為單位，F(xiàn)

以N

為單位。問(wèn)物體從x=1.0m移到x=2.0m時(shí)，力F做了多少功？(習(xí)題二,10)6解I:例3質(zhì)量m=1kg的質(zhì)點(diǎn)在外力作用下，其運(yùn)動(dòng)方程為：，則在最初2s內(nèi)外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為多少？(習(xí)題二,12，lue)由功的定義式求解解2:2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位移：質(zhì)點(diǎn)受力：外力作功：7運(yùn)用動(dòng)能定理求解速度：速度大小：功：

變力作功舉例解∴例1作用于質(zhì)點(diǎn)的力為質(zhì)點(diǎn)自O(shè)點(diǎn)徑OAB和ODB至B點(diǎn)時(shí)，分別求力所作的功。1)

沿OAB至B作的功8∴2）沿ODB至B作的功可見(jiàn)：功不僅依賴于受力點(diǎn)的始、末位置，且依賴于受力點(diǎn)的路徑。功是過(guò)程量。9例2彈簧對(duì)物體的作用力為，k為物體在xy平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的勁度系數(shù)，求當(dāng)物體從起點(diǎn)(x1,y1)移到終點(diǎn)(x2,y2)時(shí)彈力作功的表達(dá)式。解:由功的定義，有10解I例3一條長(zhǎng)l、質(zhì)量M的勻質(zhì)鐵鏈，卷放在光滑桌面上，現(xiàn)抓往鐵鏈一端，垂直而又緩慢上提，求抓起整條鐵鏈所需做的功。提起整條鐵鏈所做的功：桌面

設(shè)鐵鏈密度為。上提至?xí)r，所需力為鐵鏈重力，即，再令鐵鏈位移，則外力作的元功為解II：由能量守恒，做功等于勢(shì)能增加，直接得出：

變力作功解題步驟（1）選取坐標(biāo)；（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)在某一位置，并分析質(zhì)點(diǎn)受力，將力投影到坐標(biāo)軸上，給出沿坐標(biāo)軸力的分量；然后再令質(zhì)點(diǎn)位移(位移元)，寫(xiě)出元功表達(dá)式；（3）用積分計(jì)算總功(確定積分上、下限)。

小結(jié)12

2.動(dòng)能、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理

drabFmorar+drF

r

設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，受合力F作用，沿曲線由a移到b，所作元功

dW=F·dr=F

ds

由故

以v0和v表示質(zhì)點(diǎn)在a點(diǎn)和b點(diǎn)時(shí)的速率，對(duì)上式積分：

得

W=Ek

–Ek0=

Ek或13表示外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。定義：動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理143.質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理

由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，考察第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)：

---質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)其它質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)i的作用力

---質(zhì)點(diǎn)組外其它質(zhì)對(duì)質(zhì)點(diǎn)i的作用力

對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，有：積分后為15對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理，再全部相加，有：．．．．∴去掉腳標(biāo)得：或質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理--外力和質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)力所作的功等于質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能增量。16

質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理的說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能變化不僅取決于系統(tǒng)外的外力作功，而且也與系統(tǒng)內(nèi)的內(nèi)力作功有關(guān)。③內(nèi)力作的功取決于系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移。如果用、表示外力、內(nèi)力所作的功，動(dòng)能定理又可寫(xiě)成：17解II:由功的定義式，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，例1

一質(zhì)量m=10kg的物體在合力F=3+4x(SI)的作用下，沿x軸運(yùn)動(dòng)。設(shè)物體開(kāi)始時(shí)靜止在坐標(biāo)原點(diǎn)，求該物體經(jīng)過(guò)x=3m處時(shí)的速度？(練習(xí)二、11)18按運(yùn)動(dòng)學(xué)中的第2類問(wèn)題，積分求解解I:按動(dòng)能定理求解x=3m時(shí)，v=2.3m/s解I：由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理求解質(zhì)點(diǎn)速度：例2質(zhì)量為0.1kg的質(zhì)點(diǎn)，由靜止開(kāi)始沿曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為：，則在t=0到t=2s時(shí)間內(nèi)，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的合外力所做的功為_(kāi)___。由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，解II：根據(jù)做功的定義式

求解19質(zhì)點(diǎn)速度：或根據(jù)做功的定義式

求解20解:(1)

由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理求功功：(2)

沖量值例3

一沿x方向的力，作用在一質(zhì)量為3kg的質(zhì)點(diǎn)上，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=3t-4t2+t3(SI)，則力在最初4秒內(nèi)作的功為_(kāi)_____，力在最初4秒內(nèi)的沖量值為_(kāi)_____

?；蛴晒Φ亩x求解(略)：21一維運(yùn)動(dòng)可以用標(biāo)量，從功的定義求例4

質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)在力（SI）的作用下，從靜止出發(fā)，沿x軸正向作直線運(yùn)動(dòng)。求前三秒內(nèi)該力所作的功。（lue）解：(將被積函數(shù)中的化成)∴或解：從動(dòng)能定理求22

由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理求功

先求出質(zhì)點(diǎn)的速度表式，然后再求動(dòng)能增量。速度表達(dá)式：動(dòng)能增量：；∴由動(dòng)能定理，得23例5質(zhì)量為15g的子彈，以v0=

200m/s的速率射入一固定木塊。若木塊的阻力與子彈射入的深度成正比，即

F=-kx，式中，x為子彈進(jìn)入木塊的深度，k=5.0×10-5

N/m。求子彈射入木塊的最大深度d。解：由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理求解

以子彈為研究對(duì)象，子彈所受到外力即為木塊阻力，由動(dòng)能定理，阻力的功=子彈動(dòng)能增量。功：動(dòng)能增量：∴241）動(dòng)能和功，著重掌握變力作功。2）保守力作功和勢(shì)能。3）一維勢(shì)能曲線4）能量守恒定律。25√第4章能量、能量守恒定律4-2

保守力作功和勢(shì)能根據(jù)力作功的特性不同，力分為保守力和非保守力。1.保守力及保守力作的功dhdr

maboGhh+dhh

設(shè)質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)在重力G的作用下，從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，在位移元dr中重力作功為

當(dāng)m從a點(diǎn)沿任意路徑移動(dòng)到b點(diǎn)過(guò)程中，重力做功為

重力作功26

結(jié)果表明，重力做功只決定于質(zhì)點(diǎn)始、終態(tài)的相對(duì)位置。若使m沿任意閉合回路移動(dòng)一周回到a點(diǎn)，則重力做功為零：說(shuō)明，重力做功與路徑無(wú)關(guān)。27

彈性力作功m

k

設(shè)質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)在彈性力F作用下移動(dòng)到x位置，再令m位移dx，則彈性力作的元功dW為故，質(zhì)點(diǎn)m從坐標(biāo)，彈性力作的功為:

表明，彈性力作功只與質(zhì)點(diǎn)始、末位置有關(guān)。若使m始、末位置重合，則彈性力作功為零。28

做功與路徑無(wú)關(guān)，只決定于始、末相對(duì)位置的力。萬(wàn)有引力、彈性力和靜電力等都是保守力。力的閉合路徑積分為零：

做功與路徑有關(guān)的力。例如爆炸力、牽引力、渦旋力、生物力等。力的閉合路徑積分不為零：保守力：非保守力：29

若質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)之間的作用力都是保守力，因保守力做功只和位置有關(guān)，所以系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)所處的不同位置就決定了系統(tǒng)所具有的不同能量狀態(tài)；

或者說(shuō)，可用一個(gè)表示能量的狀態(tài)函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)，這個(gè)狀態(tài)函數(shù)稱為系統(tǒng)的勢(shì)能。

定義系統(tǒng)相對(duì)位置變化的過(guò)程中，保守力做功等于系統(tǒng)勢(shì)能增量的負(fù)值。增量用

Ep表示：2.

勢(shì)能與保守力的關(guān)系勢(shì)能30在微元過(guò)程中勢(shì)能的增量：

保守力作正功時(shí)，W>0，系統(tǒng)以勢(shì)能減少為代價(jià)，當(dāng)作負(fù)功時(shí)，勢(shì)能增加；即外力克服保守力作功，增加系統(tǒng)的勢(shì)能。

要確定勢(shì)能的值，必須選定一個(gè)參考位置作為勢(shì)能的零點(diǎn)。設(shè)b點(diǎn)作為勢(shì)能零點(diǎn)S，Epb=Eps=0，則位置a的勢(shì)能Epa為:31

應(yīng)用公式時(shí)注意：（1）勢(shì)能是屬于相互作用的整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的。它實(shí)質(zhì)上是一種相互作用能，單一物體不存在所謂的勢(shì)能。32（3）系統(tǒng)內(nèi)力必須是保守力。勢(shì)能是與保守力作功有關(guān)的概念。對(duì)于非保守力作功，無(wú)勢(shì)能之概念。

（2）勢(shì)能零點(diǎn)的選擇是任意的。零點(diǎn)不同，系統(tǒng)勢(shì)能值不同，但兩個(gè)位置的勢(shì)能差是確定的，與勢(shì)能零點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。由保守力和勢(shì)能關(guān)系

不定積分

C為積分常量，決定于勢(shì)能零點(diǎn)的選擇，若選取無(wú)限遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)(r→

，Ep=0)，則C=0，得某場(chǎng)點(diǎn)的勢(shì)能引力

有限遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為負(fù)值，零是最大勢(shì)能值。

是徑向方向上的單位矢量3.

力學(xué)中的幾種勢(shì)能引力勢(shì)能33

是引力勢(shì)能的特例，質(zhì)量為M的地球與質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系，在地面，r=R，重力勢(shì)能為在離地面h高處，r=R+h，與地面的重力勢(shì)能差為:

當(dāng)h不太高時(shí)，h<<R，R+h

R，忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí)

，得若令地球表面為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則Ep=mgh重力勢(shì)能34選取彈簧的絕對(duì)伸長(zhǎng)x=0時(shí)為勢(shì)能零點(diǎn)，則C=0，得這樣定義勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)，彈性勢(shì)能總是大于零。

oxxF

如圖小球位于x處時(shí)，所受彈性力，有不定積分

彈性勢(shì)能35在直角坐標(biāo)系中，勢(shì)能的微小負(fù)增量為一維的情況下，有4.勢(shì)能梯度(從勢(shì)能求保守力)已知保守力F路徑積分勢(shì)能微分保守力

已知?jiǎng)菽蹺p36得：保守內(nèi)力等于勢(shì)能函數(shù)梯度的負(fù)值。

例1、一質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能函數(shù)可近似地表述為VP(x)=-ax2+bx

，式中a與b均為正常數(shù)，則該質(zhì)點(diǎn)所受的保守力F=___________。(復(fù)習(xí)題一、二.16)由保守力與勢(shì)能的關(guān)系，有解37例2、兩質(zhì)點(diǎn)的相互作用勢(shì)能函數(shù)式中a和b是正常量，r是兩質(zhì)點(diǎn)的間距，則兩質(zhì)點(diǎn)處于力平衡(F=0)時(shí)，r間距=_______。(06-07期末試題)解由保守力與勢(shì)能的關(guān)系，有平衡時(shí)，亦即得：38重力勢(shì)能引力勢(shì)能彈性勢(shì)能地面為零點(diǎn)(h=0)無(wú)窮遠(yuǎn)為零點(diǎn)(r→∞)平衡位置為零點(diǎn)(x=0)

小結(jié)重力引力彈性力保守力勢(shì)能保守力與勢(shì)能關(guān)系391）動(dòng)能和功，著重掌握變力作功。2）保守力作功和勢(shì)能。3）一維勢(shì)能曲線4）能量守恒定律。40√第4章能量、能量守恒定律由勢(shì)能曲線可以知道：1、在一維情況下有：

因此，保守力大小等于勢(shì)能曲線的斜率，方向指向勢(shì)能減少的方向。4-4一維勢(shì)能曲線41

2、可判斷質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍。在封閉保守系統(tǒng)中，作總能量為E的水平線，與勢(shì)能曲線相交的點(diǎn)表示E=Ep，這些位置物體的Ek=0。42

3、勢(shì)能曲線上每一個(gè)局部的最低點(diǎn)(“谷”)都是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，勢(shì)能曲線上每個(gè)局部最高點(diǎn)（“峰”）都是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，一旦質(zhì)點(diǎn)偏離了不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)就會(huì)遠(yuǎn)離而去。因此，勢(shì)能曲線還能形象地表示出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。43重力勢(shì)能彈性勢(shì)能引力勢(shì)能44例1

一粒子沿x軸運(yùn)動(dòng)，它的勢(shì)能Ep

(x)為x的函數(shù)，函數(shù)圖象如圖所示。若該粒子所具的總能量E=0，則該粒子的運(yùn)動(dòng)范圍

。當(dāng)粒子處在x2位置時(shí)，其動(dòng)能為

。x1xx2Ep

U0o45例2

一雙原子分子的勢(shì)能函數(shù)為

式中

0和x0為常量，x為原子間距離。求：（1）原子間相互作用力為零時(shí)的距離；（2）當(dāng)分子總能量為E時(shí)，分子動(dòng)能的最大值。解(1)由得x0xEp

0o46說(shuō)明x0為極小值點(diǎn)，求得（2）上式所得x=x0為可能的極值點(diǎn)，其二階導(dǎo)數(shù)動(dòng)能最大值為471）動(dòng)能和功，著重掌握變力作功。2）保守力作功和勢(shì)能。3）一維勢(shì)能曲線4）能量守恒定律。48√第4章能量、能量守恒定律

4-3能量守恒定律1.功能原理由質(zhì)點(diǎn)組(系統(tǒng))的動(dòng)能定理，

式中，是系統(tǒng)以外物體對(duì)系統(tǒng)作的功，是系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間相互作用力所作的功。49考慮到：則，質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理又可表述為：式中，稱為機(jī)械能系統(tǒng)的機(jī)械能增量等于系統(tǒng)的外力和系統(tǒng)內(nèi)的非保守力作功之和。功能原理502.機(jī)械能守恒和轉(zhuǎn)換定律功能原理機(jī)械能守恒定律：

在封閉、保守系統(tǒng)中總機(jī)械能保持恒定51例1有一人造地球衛(wèi)星，質(zhì)量為m，在地球表面上空2倍于地球半徑R的高度沿圓軌道運(yùn)行，用m、R、引力常數(shù)G和地球的質(zhì)量M表示：(1)衛(wèi)星的動(dòng)能為

；(2)衛(wèi)星的引力勢(shì)能為

。相對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為:52解:（練習(xí)三、6）例2質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)粒子，最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，且彼此相距無(wú)限遠(yuǎn)，在以后任一瞬間，由于萬(wàn)有引力的作用，彼此接近，求它們接近的相對(duì)速度大小(用其間的距離d來(lái)表示)*。解：

用動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒定律求解機(jī)械能守恒②動(dòng)量守恒①以兩個(gè)粒子為系統(tǒng)，因系統(tǒng)只受保守力(萬(wàn)有引力)，所以兩粒子的動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。設(shè)m1

、m2速度分別為v1

、v253*若m1或m2中的一個(gè)是固定不動(dòng)的，則對(duì)于這兩個(gè)粒子所組成的系統(tǒng)，其動(dòng)量和機(jī)械能是否守恒？（都不守恒）由①、②兩式，得兩個(gè)粒子的相對(duì)速度（不考慮相對(duì)論效應(yīng)）：54解例3測(cè)子彈速度的方法如圖所示。已知子彈量m=0.02kg，木塊質(zhì)量M=9.98kg，彈簧勁度系數(shù)k=100N/m，子彈射入木塊后，彈簧被壓縮了0.10m，求子彈的速度。設(shè)木塊與平面間摩擦因數(shù)μ=0.2。練習(xí)三(2).7

由動(dòng)量守恒定律