2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.2圓與圓的方程2.2.2圓的一般方程學(xué)案含解析北師大版必修2

PAGE2.2圓的一般方程考綱定位重難突破1.正確理解圓的一般方程及其特點(diǎn)．2.會(huì)由圓的一般方程求其圓心、半徑．3.會(huì)依據(jù)不同條件利用待定系數(shù)法求圓的一般方程，并能簡(jiǎn)潔應(yīng)用．4.初步駕馭點(diǎn)的軌跡方程的求法，并能簡(jiǎn)潔應(yīng)用.重點(diǎn)：用二元二次方程表示圓的條件及圓的一般方程解題．難點(diǎn)：圓與方程、不等式結(jié)合命題．方法：數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第49頁(yè)[自主梳理]圓的一般方程1．方程：當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圓的一般方程，其圓心為C(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，半徑為r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).2．說明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不肯定表示圓，當(dāng)且僅當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，表示圓；當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))；當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，不表示任何圖形．[雙基自測(cè)]1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的圖形是()A．以(1，－2)為圓心，eq\r(11)為半徑的圓B．以(1,2)為圓心，eq\r(11)為半徑的圓C．以(－1，－2)為圓心，eq\r(11)為半徑的圓D．以(－1,2)為圓心，eq\r(11)為半徑的圓解析：方程可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝11，可知該方程表示圓心為(－1,2)，半徑為eq\r(11)的圓．答案：D2．假如方程2x2＋2y2－ax＋eq\f(1,2)＝0表示的曲線是圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．RC．(－2,2)D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：原方程可化為x2＋y2－eq\f(a,2)x＋eq\f(1,4)＝0，所以方程表示圓的條件是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))2－4×eq\f(1,4)>0，即a2>4，解得a>2或a<－2.答案：A3．圓x2＋y2－2x＋6y＋6＝0的周長(zhǎng)是________．解析：圓的半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(4＋36－24)＝2.∴周長(zhǎng)為2πr＝4π.答案：4π4．到兩定點(diǎn)O(0,0)，A(0,3)距離的比為eq\f(1,2)的點(diǎn)的軌跡方程為________．解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)是所求軌跡上隨意一點(diǎn)，則由題意可知eq\f(|PO|,|PA|)＝eq\f(1,2)，由兩點(diǎn)間距離公式，上式可表示為eq\f(\r(x2＋y2),\r(x2＋y－32))＝eq\f(1,2)，化簡(jiǎn)整理得x2＋y2＋2y－3＝0.答案：x2＋y2＋2y－3＝05．求過點(diǎn)A(1,2)，B(1,0)且圓心在直線x－2y＋1＝0上的圓的方程．解析：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＋2E＋F＋5＝0，,D＋F＋1＝0，,\f(D,2)－E－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－2，,F＝1，))所以圓的方程為x2＋y2－2x－2y＋1＝0.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第49頁(yè)探究一推斷二元二次方程是否表示圓[典例1]推斷方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圓．若能表示圓，求出圓心和半徑[解析]解法一由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m可知D＝－4m，E＝2m，F(xiàn)＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，當(dāng)m＝2時(shí)，它表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)m≠2時(shí)，原方程表示圓的方程，此時(shí)，圓的圓心為(2m，－m)，半徑為r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)＝eq\r(5)|m－2|.解法二原方程可化為(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，當(dāng)m＝2時(shí)，它表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)m≠2時(shí)，表示圓的方程，此時(shí)，圓的圓心為(2m，－m)，半徑為r＝eq\r(5)|m－2|.1．解決這種類型的題目，一般先看這個(gè)方程是否具備圓的一般方程的特征，即(1)x2與y2的系數(shù)是否相等；(2)不含xy項(xiàng)．當(dāng)它具有圓的一般方程的特征時(shí)，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通過配方化成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后，視察等號(hào)右邊是否為正數(shù)2．(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\o(,\s\up7(平方綻開整理),\s\do5(配方))圓的一般方程．(2)由公式求半徑和圓心坐標(biāo)時(shí)，肯定要留意圓的一般方程的形式，二次項(xiàng)系數(shù)相等且為1.1．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圓．(1)求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(2)求該圓的半徑r的取值范圍．解析：(1)∵方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圓，∴4(t＋3)2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)＞0，即7t2－6t－1＜0，解得－eq\f(1,7)＜t＜1.故實(shí)數(shù)t的取值范圍為(－eq\f(1,7)，1)．(2)r2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－(16t4＋9)＝－7t2＋6t＋1＝－7(t－eq\f(3,7))2＋eq\f(16,7)，∴r2∈(0，eq\f(16,7)]，∴r∈(0，eq\f(4\r(7),7)]，即r的取值范圍為(0，eq\f(4\r(7),7)]．探究二求圓的一般方程[典例2](1)已知點(diǎn)A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圓的方程；(2)已知一個(gè)圓經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且圓心到直線PQ的距離為eq\f(\r(2),2)，求該圓的方程．[解析](1)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－2E＋F＝－8，,5D＋3E＋F＝－34，,3D－E＋F＝－10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝8，,E＝－10,F＝－44.))于是圓的方程為x2＋y2＋8x－10y－44＝0.(2)依題意，設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則有(4－a)2＋(－2－b)2＝r2，①(－1－a)2＋(3－b)2＝r2，②又kPQ＝eq\f(3－－2,－1－4)＝－1，于是PQ所在直線的方程為y－3＝－(x＋1)，即x＋y－2＝0，因此有eq\f(|a＋b－2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).③解①②③組成的方程組可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，,r＝\r(13)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,r＝\r(13).))于是所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝13.1．用待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟：(1)設(shè)出一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)依據(jù)題意，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組；(3)解出D，E，F(xiàn)的值代入即得圓的一般方程．2．對(duì)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的選擇：(1)假如由已知條件簡(jiǎn)潔求得圓心坐標(biāo)和半徑或需用到圓心坐標(biāo)或半徑來列方程組時(shí)，通常設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解；(2)假如已知條件與圓心坐標(biāo)和半徑均無(wú)干脆的關(guān)系，可通過設(shè)圓的一般方程求解．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，求圓C的方程．解析：法一：曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(3＋2eq\r(2)，0)，(3－2eq\r(2)，0)，設(shè)圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，,3＋2\r(2)2＋D3＋2\r(2)＋F＝0，,3－2\r(2)2＋D3－2\r(2)＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1，))滿意D2＋E2－4F＞0，故圓的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.法二：曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(3＋2eq\r(2)，0)，(3－2eq\r(2)，0)．故可設(shè)圓C的圓心為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(2eq\r(2))2＋t2，解得t＝1.則圓C的半徑為eq\r(32＋t－12)＝3，所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.探究三圓的方程的綜合應(yīng)用[典例3]如圖所示，一座圓拱橋，當(dāng)水面在圖示位置時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬12m，當(dāng)水面下降1[解析]以圓拱橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點(diǎn)為A，B，則由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)，設(shè)圓拱所在的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因?yàn)樵c(diǎn)在圓上，所以F＝0，另外點(diǎn)A，點(diǎn)B在圓上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40＋6D－2E＝0，,40－6D－2E＝0.))∴D＝0，E＝20，∴圓的方程為x2＋y2＋20y＝0.當(dāng)水面下降1m后，可設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(x0，－3)(x0>0)，如圖所示，將A′的坐標(biāo)(x0，－3)代入圓的方程，求得x0＝eq\r(51)，所以，水面下降1m后，水面寬為2x0＝2eq\r(51)(m)．在解決圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題時(shí)，借助坐標(biāo)系，利用方程求解可取得簡(jiǎn)便、精確的效果．應(yīng)用解析法的關(guān)鍵是建系，合理適當(dāng)?shù)慕ㄏ祵?duì)問題的解決會(huì)有很大幫助．3．一輛卡車寬3m，要經(jīng)過一個(gè)半徑為5m的半圓形隧道(雙車道，不得違章)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距離地面的距離不得超過解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則圓的方程為x2＋y2＝25(y>0)，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝4，即高度不得超過4m.圓的一般方程的應(yīng)用[典例](本題滿分12分)已知方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝(1)若此方程表示圓，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求此方程表示的圓的面積最大時(shí)a的值及此時(shí)圓的方程．[規(guī)范解答](1)由條件知a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0.即3a2＋4a－4<0，所以－2<a<eq\f(2,3).即實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3))).6分(2)要使圓的面積最大，只需圓的半徑最大即可，由于r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)＝eq\f(1,2)eq\r(－3a2－4a＋4)＝eq\f(1,2)eq\r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,3)))2＋\f(16,3)).②9分因?yàn)椋?<a<eq\f(2,3)，所以a＝－eq\f(2,3)時(shí)，r取得最大值，從而圓的面積取得最大值，此時(shí)圓的方程為x2＋y2－eq\f(2,3)x－eq\f(4,3)y－eq\f(7,9)＝0.12分[規(guī)范與警示](1)解題過程中①處依據(jù)一般式確定出關(guān)于a的不等式是解題的關(guān)鍵，也是失分點(diǎn)．(2)在求圓的面積的最大值時(shí)，將面積問題轉(zhuǎn)化為求半徑的函數(shù)問題，利用函數(shù)最值的求法求圓的面積最大時(shí)a的值，如②處，是又一失分點(diǎn)．[隨堂訓(xùn)練]對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第50頁(yè)1．方程x2＋y2－4x＋4y＋10－k＝0表示圓，則k的取值范圍是()A．k<2 B．k>2C．k≥2 D．k≤2解析：依題意有(－4)2＋42－4×(10－k)>0，解得k>2.答案：B2．圓x2＋y2－4x＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為()A．(0,2)，2 B．(2,0)，4C．(－2,0)，2 D．(2,0)，2解析：圓的方程可化為(x－2)2＋y2＝4，可知圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2.故選D.答案：D3．若圓經(jīng)過兩點(diǎn)(2,0)和(0，－4)，且圓心在直線y＝－x上，則其方程為________．解析：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋0＋2D＋F＝0，,0＋16－4E＋F＝0，,－\f(D,2)＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝6，,F＝8，))所以圓的方程是x2＋y2－6x＋6y＋8＝0.答案：x2＋y2－6x＋6y＋8＝04．已知一個(gè)