2024-2025學(xué)年廣東省廣州五中高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省廣州五中高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|log2(x?1)<0}，B={x|2A.?UA=[2,+∞) B.B?A

C.A∩(?2.已知i5=a+bi(a,b∈R)，則a+b的值為(

)A.?1 B.0 C.1 D.23.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，有下列四個(gè)命題：

甲：P(X>m+1)>P(X<m?2)；

乙：P(X>m)=0.5；

丙：P(X≤m)=0.5；

?。篜(m?1<X<m)<P(m+1<X<m+2)．

如果只有一個(gè)假命題，則該命題為A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.若函數(shù)f(x)=sin(2x+π6)在區(qū)間[?t,t]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)A.[π6,π2] B.(0,5.某次足球賽共8支球隊(duì)參加，分三個(gè)階段進(jìn)行．

(1)小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組4隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分及凈勝球數(shù)取前兩名；

(2)半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主、客場(chǎng)交叉淘汰賽(每?jī)申?duì)主、客場(chǎng)各賽一場(chǎng))決出勝者；

(3)決賽：兩個(gè)勝隊(duì)參加，比賽一場(chǎng)，決出勝負(fù).則全部賽程共需比賽3位(

)A.15 B.16 C.17 D.186.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(2x+1)為偶函數(shù)，f(x)=f(x+1)?f(x+2)，若f(1)=2，則f(18)=(

)A.1 B.2 C.?1 D.?27.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，PF1⊥PF2，圓O：x2+y2=94(a2A.54 B.85 C.58.在某次數(shù)學(xué)節(jié)上，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別寫下了一個(gè)命題：

甲：ln3<3ln2；

乙：lnπ<πe；

丙：212<12；A.甲和乙 B.甲和丙 C.丙和丁 D.甲和丁二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an=2n?13,1≤n≤6(?3A.4 B.8 C.9 D.1210.已知向量a=(?1,3),b=(x,2)，且(aA.b=(1,2)

B.|3a?b|=25

C.向量a與向量b的夾角是45°

D.向量11.數(shù)學(xué)探究課上，小王從世界名畫《記憶的永恒》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1所示的《垂直時(shí)光》.已知《垂直時(shí)光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓形鐘沿著直徑MN折成了直二面角(其中M對(duì)應(yīng)鐘上數(shù)字3，N對(duì)應(yīng)鐘上數(shù)字9).設(shè)MN的中點(diǎn)為O，|MN|=43，已知長(zhǎng)度為2的時(shí)針OA指向了鐘上數(shù)字8，長(zhǎng)度為3的分針OB指向了鐘上數(shù)字12，現(xiàn)在小王準(zhǔn)備安裝長(zhǎng)度為3的秒針OC(安裝完秒針后，不考慮時(shí)針與分針可能產(chǎn)生的偏移，不考慮三根指針的粗細(xì))，則下列說法正確的是(

)

A.若秒針OC指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則OA⊥BC

B.若秒針OC指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則NA//平面OBC

C.若秒針OC指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則BC與AM所成角的余弦值為147

D.若秒針OC指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則四面體OABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若(1?2x)5(x+2)=a0+a113.已知圓O：x2+y2=r2(r>0)，設(shè)直線x+3y?3=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，若圓14.“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍.尋找“完全數(shù)”用到函數(shù)σ(n)：?n∈N?，σ(n)為n的所有正因數(shù)之和，如σ(6)=1+2+3+6=12，則σ(20)=______；σ(6n四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，acosB?2acosC=(2c?b)cosA．

(1)若c=3a，求cosB的值；

(2)若b=1，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，求16.(本小題15分)

在橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓F：x2+y2=a2+b2上，稱此圓為橢圓的蒙日?qǐng)A.橢圓C過P(1,22)，17.(本小題15分)

第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)獲得冠軍．

(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大.假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來?yè)潼c(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有23的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；

(2)好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住，記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知p1=1，p2=0．

①證明：{pn?13}為等比數(shù)列；

18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=xaex?1和g(x)=a+lnxx有相同的最大值．

(1)求實(shí)數(shù)a；

(2)設(shè)直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為x1，x2，19.(本小題17分)

離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為ΦP=1?12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠Qk?1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi(i=1,2,…,k,k≥3)為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk?1PQk和平面QkPQ1為多面體M

參考答案1.C

2.C

3.D

4.D

5.C

6.A

7.D

8.B

9.AC

10.AC

11.ACD

12.?120

13.1214.42

1215.解：(1)∵acosB?2acosC=(2c?b)cosA，

∴在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB?2sinAcosC=(2sinC?sinB)cosA，

∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sin(A+B)=2sin(A+C)，

∴sinC=2sinB，即c=2b,c=3a，

∴b=3a2，

∴cosB=a2+c2?b22ac=a2+3a2?34a22a?16.解：(1)設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=1，代入P(1,22)，Q(?62,12).

可得m+12n=132m+14n=1，解得m=12n=1，

∴橢圓C的方程為x22+y2=1；

(2)證明：由題意可知，蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=3，

(i)當(dāng)MN的斜率不存在時(shí)，則直線MN的方程為：x=2或x=?2，

不妨取x=2，易得M(2,1)，N(2,?1)，kOM=12，kON=?1217.解：(1)X的所有可能取值為0，1，2，3，

在一次撲球中，撲到點(diǎn)球的概率P=13×13×13×3=19，

所以P(X=0)=CX0123P512192241E(X)=192729×1+24729×2+1729×3=13．

(2)證明：①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，

則當(dāng)n≥2時(shí)，第n?1次傳球之前球在甲腳下的概率為pn?1，

第n?1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1?pn?1，

則pn=pn?1×0+(1?pn?1)×12=?12pn?1+1218.解：(1)f′(x)=1a?ex?1?ex?1?x(ex?1)2=1a?1?xex?1，令f′(x)=0?x=1．

∵f(x)有最大值，

∴a>0且f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；(1,+∞)上單調(diào)遞減，

∴f(x)max=f(1)=1a.a=1時(shí)，g′(x)=1?a?lnxx2=?lnxx2，

當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

∴g(x)max=g(1)=a，

∴1a=a，即a=1；

(2)由f(x)=b?xex?1?b=0，由g(x)=b?1+lnxx?b=0，

令F(x)=xex?1?b,F′(x)=1?xex?1，

當(dāng)0<x<1時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，

所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；(1,+∞)上單調(diào)遞減，∴F(x)至多兩個(gè)零點(diǎn)，

令G(x)=1+lnxx?b,G′(x)=?lnxx2，

當(dāng)0<x<1時(shí)，G′(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，G′(x)<0，

所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；(1,+∞)上單調(diào)遞減；∴G(x)至多兩個(gè)零點(diǎn)．

令F(x)=G(x)?xex?1?1+lnxx=0，

當(dāng)x∈(0,1e]時(shí)，lnx≤?1，所以xex?1?1+lnxx>0；

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，由xex=lnexex=lnexelnex，

設(shè)m(x)=x?lnex，m′(x)=1?1x=x?1x，

所以當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，m′(x)=1?1x=x?1x>0，

所以m(x)=x?lnex在x∈(1,+∞)單調(diào)遞增，所以m(x)>m(1)=0，

所以x>lnex，且lnex>lne=1，所以x>lnex>1，

設(shè)φ(x)=xex,φ′(x)=1?xex，

當(dāng)0<x<1時(shí)，φ′(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，φ′(x)<0，

所以φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

∴φ(x)<φ(lnex)方程無解，

當(dāng)x∈(1e,1]時(shí)，由1≥x≥lnex,φ(x)=xex在(0,1]上單調(diào)遞增，

∴φ(x)≥φ(lnex)方程有唯一解x=1，

當(dāng)0<b<1時(shí)，注意到F(0)=?b<0，F(xiàn)(1)=1?b>0，

設(shè)n(x)=x?2lnx(x>2)，n′(x)=1?2x=x?2x>0對(duì)x>2恒成立，

所以n(x)>n(2)=2?2ln2>0，

所以當(dāng)x>2時(shí)，x>2lnx，即ex>x219.解：(1)由離散曲率的定義得：ΦP=1?12π(∠APB+∠BPC+∠CPA)，

ΦA(chǔ)=1?12π(∠BAP+∠BAC+∠CAP)，

ΦB=1?12π(∠ABP+∠CBP+∠ABC)，

ΦC=1?12π(∠ACB+∠BCP+∠ACP)，

四個(gè)式子相加得：ΦP+ΦA(chǔ)+ΦB+ΦC=4?12π×4π=2．

(2)①如圖，分別取AC，BC，AP的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接AE，DE，DF，EF，顯然有AB//DE，PC//DF，

所以∠FDE為異面直線AB與PC的夾角或其補(bǔ)角，

設(shè)AC=BC=2，

因?yàn)椤螦CB=90°，所以AB=22，AE=5，

因?yàn)镻A⊥平面ABC，AB，AC，AE，BC?平面ABC，

所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AE，PA⊥BC，

因?yàn)锳C⊥BC，