人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)3：7 4 2　超幾何分布教案

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE17.4.2超幾何分布教學(xué)目標(biāo)1.理解超幾何分布.2.了解二項(xiàng)分布同超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系．教學(xué)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)超幾何分布1．定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．2．均值：E(X)＝eq\f(nM,N).教學(xué)案例案例一超幾何分布的辨析例1.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)超幾何分布的模型是不放回抽樣.()(2)超幾何分布的總體里可以有兩類或三類特點(diǎn).()(3)超幾何分布中的參數(shù)是N，M，n.()(4)超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成.()〖答案〗1.(1)√(2)×(3)√(4)√反思感悟判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，應(yīng)看三點(diǎn)(1)總體是否可分為兩類明確的對(duì)象．(2)是否為不放回抽樣．(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類個(gè)體的個(gè)數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在產(chǎn)品檢驗(yàn)中，超幾何分布描述的是放回抽樣．()(2)在超幾何分布中，隨機(jī)變量X取值的最大值是M.()(3)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．()(4)在超幾何分布中，只要知道N，M和n，就可以根據(jù)公式，求出X取不同值m時(shí)的概率P(X＝m)．()〖答案〗(1)×(2)×(3)√(4)√案例二超幾何分布的概率例2.從一批含有13件正品、2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，求取得次品數(shù)ξ的概率分布，并求至少取得一件次品的概率．解：設(shè)隨機(jī)變量ξ表示取出次品的個(gè)數(shù)，則ξ服從超幾何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.ξ的可能取值為0，1，2，相應(yīng)的概率依次為：P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,2)Ceq\o\al(3,13),Ceq\o\al(3,15))＝eq\f(22,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,13),Ceq\o\al(3,15))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,13),Ceq\o\al(3,15))＝eq\f(1,35).所以ξ的概率分布如下表所示：ξ012Peq\f(22,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)故至少取得一件次品的概率為P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(12,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(13,35).反思感悟求超幾何分布的分布列的步驟跟蹤訓(xùn)練2.某校高三年級(jí)某班的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的概率分布．解：依題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝6，n＝4，所以P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,6)Ceq\o\al(4－k,4),Ceq\o\al(4,10))(k＝0，1，2，3，4)，即P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(4,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(1,210)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(4,35)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(8,21)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(0,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(1,14).所以X的概率分布如下表：X01234Peq\f(1,210)eq\f(4,35)eq\f(3,7)eq\f(8,21)eq\f(1,14)案例三超幾何分布與二項(xiàng)分布間的關(guān)系例3.在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品.(1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，①求顧客乙中獎(jiǎng)的概率；②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值為Y元，求Y的分布列.解：(1)抽獎(jiǎng)一次，只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況.P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,10))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，則P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).因此X的分布列為X01Peq\f(3,5)eq\f(2,5)(2)①顧客乙中獎(jiǎng)可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎(jiǎng)券中有1張中獎(jiǎng)或2張都中獎(jiǎng).故所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,4)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(30,45)＝eq\f(2,3).②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3)，P(Y＝10)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(18,45)＝eq\f(2,5)，P(Y＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15)，P(Y＝50)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)＝eq\f(2,15)，P(Y＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).因此隨機(jī)變量Y的分布列為Y010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)反思感悟二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系在n次試驗(yàn)中，某事件A發(fā)生的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項(xiàng)分布．區(qū)別①當(dāng)這n次試驗(yàn)是n重伯努利試驗(yàn)時(shí)(如有放回摸球)，X服從二項(xiàng)分布；②當(dāng)n次試驗(yàn)不是n重伯努利試驗(yàn)時(shí)(如不放回摸球)，X服從超幾何分布聯(lián)系在不放回n次試驗(yàn)中，如果總體數(shù)量N很大，而試驗(yàn)次數(shù)n很小，此時(shí)超幾何分布可近似轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)分布.跟蹤訓(xùn)練3.盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的卡片各2張，從盒中任意抽取3張，每張卡片被抽出的可能性都相等，求：(1)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率；(2)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概率；(3)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率．解：(1)“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的事件記為A，由題意P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(9,14).(2)“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3”的事件記為B，則P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(3,28).(3)“抽出的3張卡片的數(shù)字互不相同”的事件記為C，“抽出的3張卡片上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為D，由題意，C與D是對(duì)立事件，因?yàn)镻(D)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(3,7)，所以P(C)＝1－P(D)＝1－eq\f(3,7)＝eq\f(4,7).課堂小結(jié)1．知識(shí)清單：(1)超幾何分布的概念及特征．(2)超幾何分布的均值．(3)超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系．2．方法歸納：類比．3．常見(jiàn)誤區(qū)：超幾何分布與二項(xiàng)分布混淆，前者是不放回抽樣，后者是有放回抽樣．當(dāng)堂檢測(cè)1.今有電子元件50個(gè)，其中一級(jí)品45個(gè)，二級(jí)品5個(gè)，從中任取3個(gè)，出現(xiàn)二級(jí)品的概率為()A.eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,50)) B.eq\f(C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,5)＋C\o\al(3,5),C\o\al(3,50))C.1－eq\f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50)) D.eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,5)＋C\o\al(2,5)C\o\al(1,45),C\o\al(3,50))〖答案〗C〖解析〗出現(xiàn)二級(jí)品的情況較多，可以考慮不出現(xiàn)二級(jí)品概率為eq\f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50))，故〖答案〗為1－eq\f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50)).2.一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為()A.eq\f(28,45) B.eq\f(16,45)C.eq\f(11,45) D.eq\f(17,45)〖答案〗B〖解析〗由題意知10件產(chǎn)品中有2件次品，故所求概率為P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45).3．從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，若設(shè)X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)，則P(X＝1)＝________.〖答案〗eq\f(3,5)〖解析〗X＝1表示的結(jié)果是抽取的2臺(tái)彩電有甲型和乙型彩電各一臺(tái)，故所求概率P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).4．在某次國(guó)際會(huì)議中，需要從4個(gè)日本人，5個(gè)英國(guó)人和6個(gè)美國(guó)人中，任選4人負(fù)責(zé)新聞發(fā)布會(huì)，則恰好含有3個(gè)英國(guó)人的概率為_(kāi)_______．(用式子表示)〖答案〗eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,10),C\o\al(4,15))〖解析〗設(shè)選取的4人中英國(guó)人有X個(gè)，由題意知X服從參數(shù)為N＝15，M＝5，n＝4的超幾何分布，其中X的所有可能取值為0,1,2,3,4，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4－k,10),C\o\al(4,15))(k＝0,1,2,3,4)．∴P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,10),C\o\al(4,15)).5．一個(gè)袋中裝有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，它們大小相同，采用無(wú)放回地方式從袋中任取3個(gè)球，取到黑球的數(shù)目用X表示，求隨機(jī)變量X的分布列．解：X可能取的值為0,1,2.由題意