2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十章復數(shù)單元素養(yǎng)評價練習含解析新人教B版必修第四冊

PAGE單元素養(yǎng)評價(二)(第十章)(120分鐘150分)一、單選題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若a+i=2-bi,則(a+bi)2= ()A.3-4i B.3+4iC.4-3i D.4+3i【解析】選A.由a+i=2-bi可得a=2,b=-1,則(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.2.復數(shù)z滿意(-1+i)z=(1+i)2,其中i為虛數(shù)單位,則在復平面上復數(shù)z對應的點位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i,故z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(1,-1),位于第四象限.3.(2024·全國Ⅲ卷)復數(shù)QUOTE·(1+i)=1-i,則z= ()A.1-i B.1+i C.-i D.i【解析】選D.因為QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-i,所以z=i.4.(2024·合肥高一檢測)復數(shù)z滿意z(1-i)=QUOTE,則復數(shù)z的實部是 ()A.-1 B.1 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.依題意QUOTE=QUOTE,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,故z的實部為QUOTE.5.(2024·亳州高二檢測)已知復數(shù)QUOTE=x+yi(a,x,y∈R,i是虛數(shù)單位),則x+2y= ()A.1 B.QUOTE C.-QUOTE D.-1【解析】選A.由題意得a+i=(x+yi)(2+i)=2x-y+(x+2y)i,所以x+2y=1,故選A.6.已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,則實數(shù)a的值為 ()A.1 B.-1 C.1或-1 D.±1或0【解析】選C.因為復數(shù)z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,所以a2+4=4+1,解得a=±1.7.(2024·牡丹江高一檢測)i是虛數(shù)單位,復數(shù)QUOTE為純虛數(shù),則實數(shù)a為 ()A.2 B.-2 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,復數(shù)QUOTE為純虛數(shù),所以QUOTE解得a=2.8.復數(shù)2+i與復數(shù)QUOTE在復平面上的對應點分別是A,B,若O為坐標原點,則∠AOB等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,所以它在復平面上的對應點為BQUOTE,而復數(shù)2+i在復平面上的對應點是A(2,1),明顯AO=QUOTE,BO=QUOTE,AB=QUOTE.由余弦定理得cos∠AOB=QUOTE=QUOTE,所以∠AOB=QUOTE.二、多選題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項是符合題目要求的,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是 ()A.(1-i)2 B.i2(1-i)C.(1+i)2 D.i(1+i)【解析】選AC.(1-i)2=-2i,-2i是純虛數(shù),故A正確;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是純虛數(shù),解除B;i(1+i)=-1+i,不是純虛數(shù),解除D;(1+i)2=2i,2i是純虛數(shù).故C正確.10.已知a∈N,i為虛數(shù)單位,復數(shù)z=QUOTE+i,若|z|<QUOTE,則a的值可能為 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選ABC.z=QUOTE+i=QUOTE+i=QUOTE+i=QUOTE+QUOTEi,由|z|<QUOTE得QUOTE<QUOTE得a2-2a-3<0,所以-1<a<3,又a∈N,所以a=0,1,2.11.(2024·海南高一檢測)已知x,y∈R,i為虛數(shù)單位,且QUOTEi-y=-1+2i,復數(shù)z=QUOTE,則以下結論正確的是 ()A.z的虛部為-2i B.z的模為2C.z的共軛復數(shù)為2i D.z對應的點在第四象限【解析】選BC.因為QUOTEi-y=-1+2i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=QUOTE=-2i.對于A,z的虛部為-2,A錯誤;對于B,QUOTE=2,B正確;對于C,z的共軛復數(shù)為2i,C正確;對于D,z對應的點為QUOTE,不在第四象限,D錯誤.12.(2024·江陰高一檢測)已知i為虛數(shù)單位,則下面說法正確的是 ()A.若復數(shù)z=3+i,則QUOTE=QUOTE-QUOTEB.復數(shù)z滿意QUOTE=1,z在復平面內(nèi)對應的點為QUOTE,則x2+QUOTE=1C.若復數(shù)z1,z2滿意z1=QUOTE,則z1z2≥0D.復數(shù)z=1-3i的虛部是3【解析】選ABC.由QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,故A正確;由z在復平面內(nèi)對應的點為QUOTE,則QUOTE=QUOTE=1,即QUOTE=1,則x2+QUOTE=1,故B正確;設復數(shù)z1=a+bi,則z2=a-bi,所以z1z2=QUOTE=a2+b2≥0,故C正確;復數(shù)z=1-3i的虛部是-3,故D不正確.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.i為虛數(shù)單位,設復數(shù)z1,z2在復平面內(nèi)對應的點關于原點對稱,若z1=2-3i,則z2=,z1+z2=.

【解析】因為(2,-3)關于原點的對稱點是(-2,3),所以z2=-2+3i.z1+z2=2-3i+(-2+3i)=0.答案:-2+3i014.設復數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為QUOTE,則(a+bi)(a-bi)=.

【解析】因為|a+bi|=QUOTE=QUOTE,所以(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.答案:315.(2024·西寧高一檢測)設z-2i=QUOTE,則QUOTE=.

【解析】因為z-2i=QUOTE=QUOTE=-i,所以z=2i-i=i,則|z|=1.答案:116.已知z,ω為復數(shù),(1+3i)z為純虛數(shù),ω=QUOTE,且|ω|=5QUOTE,則ω=.

【解析】由題意設(1+3i)z=ki(k≠0且k∈R),則ω=QUOTE.因為|ω|=5QUOTE,所以k=±50,故ω=±(7-i).答案:±(7-i)四、解答題(本大題共6小題,共70分.)17.(10分)已知復數(shù)z1=2-3i,z2=QUOTE.求:(1)z1z2.(2)QUOTE.【解析】z2=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-3i.(1)z1z2=(2-3i)(1-3i)=-7-9i.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi.18.(12分)已知復數(shù)z=(1-i)2+1+3i.(1)求|z|.(2)若z2+az+b=QUOTE,求實數(shù)a,b的值.【解析】z=(1-i)2+1+3i=-2i+1+3i=1+i.(1)|z|=QUOTE=QUOTE.(2)z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=2i+a+ai+b=a+b+(a+2)i,因為QUOTE=1-i,所以a+b+(a+2)i=1-i,所以QUOTE所以a=-3,b=4.19.(12分)(2024·西藏高一檢測)復數(shù)z=-QUOTE+(6m-16)i.(i為虛數(shù)單位)(1)若復數(shù)z為純虛數(shù),求實數(shù)m的值;(2)若復數(shù)z對應的點在第三象限或第四象限,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)z=-QUOTE+(6m-16)i,因為復數(shù)z為純虛數(shù),所以QUOTE所以m=-2;(2)因為復數(shù)z對應的點在第三象限或第四象限,所以QUOTE解得QUOTE因此實數(shù)m的取值范圍為QUOTE∪(-8,-2)∪QUOTE.20.(12分)已知復數(shù)z滿意(1+2i)QUOTE=4+3i.(1)求復數(shù)z.(2)若復數(shù)(z+ai)2在復平面內(nèi)對應的點在第一象限,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因為(1+2i)QUOTE=4+3i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2-i,所以z=2+i.(2)由(1)知z=2+i,則(z+ai)2=(2+i+ai)2=[2+(a+1)i]2=4-(a+1)2+4(a+1)i,因為復數(shù)(z+ai)2在復平面內(nèi)對應的點在第一象限,所以QUOTE解得-1<a<1,即實數(shù)a的取值范圍為(-1,1).21.(12分)(2024·南京高一檢測)已知z是復數(shù),z+2i與QUOTE均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位),且復數(shù)QUOTE在復平面上的對應點在第一象限.(1)求z的值;(2)求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)設z=x+yiQUOTE,又z+2i=x+QUOTEi,且為實數(shù),所以y+2=0,解得y=-2.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為QUOTE為實數(shù),所以QUOTE=0,解得x=4,所以z=4-2i.(2)因為復數(shù)QUOTE=QUOTE=16-QUOTE+8QUOTEi=QUOTE+QUOTEi,所以QUOTE解得2<a<6.即實數(shù)a的取值范圍是QUOTE.22.(12分)已知復數(shù)z滿意|z|=QUOTE,z2的虛部是2.(1)求復數(shù)z.(2)設z,z2,z-z2在復平面上